इष्टतम एनपी सॉल्वर

फिक्स एक एन पी-सम्पूर्ण खोज सैट की खोज प्रपत्र जैसे समस्या। लेविन खोज को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्रदान करता है जो कुछ अर्थों में इष्टतम है। विशेष रूप से, एल्गोरिथ्म " इनपुट पर डिटेलिंग में सभी संभावित कार्यक्रमों को निष्पादित करें , एक बार कुछ रिटर्न उत्तर परीक्षण करते हैं कि क्या यह सही है"। यह इस अर्थ में इष्टतम है कि एक कार्यक्रम दिया गया है जो समय जटिलता साथ को हल करता है $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ , समय जटिलता के संतुष्ट $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

जहां एक निश्चित बहुपद है जो सटीक गणना मॉडल पर निर्भर करता है $p$

की इष्टतमता को कुछ हद तक मजबूत बनाया जा सकता है। अर्थात्, हर के लिए और एक कार्यक्रम को सुलझाने वादे के साथ समय में , समय जटिलता के में आदानों के लिए प्रतिबंधित संतुष्ट $L$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

जहाँ एक निश्चित बहुपद होता है। महत्वपूर्ण अंतर है कि है हो सकता है जैसे बहुपद भले ही $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

की स्पष्ट "कमजोरी" बड़े कारक इस बाउंड में। यह देखने के लिए कि अगर वहाँ एक एल्गोरिथ्म एक साथ एक ही फार्म के लिए बाध्य संतोषजनक आसान है एक बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित फिर । इसका कारण यह है कि हम को एक प्रोग्राम के रूप में दिए गए कुछ उदाहरणों को हल करने के लिए ले सकते हैं जो उत्तर को हार्ड-कोडिंग करते हैं। इसी तरह, अगर के उप-घातीय कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ तब घातीय समय परिकल्पना का उल्लंघन किया जाता है। हालाँकि, निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर कम स्पष्ट है (मेरे लिए):

घातीय समय परिकल्पना और अन्य प्रसिद्ध अनुमान मान लिया जाये कि (बहुपद पदानुक्रम के जैसे गैर-पतन, एक तरह से काम करता है के अस्तित्व) यदि आवश्यक हो, वहाँ एक एल्गोरिथ्म है को सुलझाने हर के लिए सेंट और एक कार्यक्रम को सुलझाने वादे के साथ समय में , समय जटिलता की में आदानों के लिए प्रतिबंधित संतुष्ट $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
जहाँ बहुपद है, उप-घातांक है और मनमाना है $q$ $f$ $g$

अगर जवाब सकारात्मक है, कर सकते हैं बहुपद हो सकता है? की विकास दर क्या है (स्पष्ट रूप से ईटीएच के तहत कम से कम घातीय)? जवाब ऋणात्मक है, तो बहुपद कर सकते हैं मौजूद हैं ETH गलत है लेकिन ? $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— वैनेसा
स्रोत

निम्नलिखित एल्गोरिथ्म पर विचार करें (लेविन के एल्गोरिथ्म का एक प्रकार):

समानांतर में पहला एल्गोरिदम चलाएं । इसके अतिरिक्त, एक जानवर-बल एल्गोरिथ्म के समानांतर चलें जो एक-एक करके सभी संभव समाधानों की कोशिश करता है। (सभी एल्गोरिदम को समान गति से चलाएं।) $n$

एल्गोरिदम में से एक का हल मिलने पर रुकें।

दो मामलों पर विचार करें ( लंबाई का इनपुट दिया गया ): $x$ $n$

$Q$ $n$ $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
$Q$ $n$ $n < 2^{|Q|}$ $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

$f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— यूरी
स्रोत

2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$