# 2-SAT के # P- पूर्ण उप-क्षेत्र क्या हैं?

Question

लघु संस्करण।

मूल प्रमाण है कि # 2-सैट है #P -Complete शो, वास्तव में, कि # 2-सैट के उन लोगों के उदाहरण हैं जिनमें दोनों कर रहे हैं एक लय और (किसी भी चर के negations को शामिल नहीं) द्विपक्षीय (ग्राफ से अधिक खंड द्वारा गठित चर एक द्विदलीय ग्राफ है) #P -hard हैं । इस प्रकार, दो विशेष मामले # 2-MONOTONE-SAT और # 2-BIPARTITE-SAT #P -hard हैं । क्या अन्य विशेष मामले हैं जिन्हें सूत्र के 'प्राकृतिक' गुणों के संदर्भ में चित्रित किया जा सकता है, जो #P -hard भी हैं ?

दीर्घ संस्करण।

समस्या # 2-सैट कंप्यूटिंग का कार्य है - एक बूलियन सूत्र के लिए $\phi$ कई खंडों के संयोजन के रूप है, जहां प्रत्येक खंड दो शाब्दिक की एक अलगाव है से मिलकर $x_j$ या $\bar x_j$ बूलियन तार की संख्या - $x \in \{0,1\}^n$ ऐसा कि $\phi(x) = 1$ । यह पता लगाना कि ऐसी एक्स मौजूद है या नहीं , यह आसान है; लेकिन सामान्य रूप से समाधानों की संख्या की गिनती #P -complete है , जैसा कि वैलेंट द्वारा दिखाया गया है$x$जटिलता और विश्वसनीयता समस्याओं की जटिलता, सियाम जे । कम्प्यूट , 8 , पीपी 410-421 ।

विशेष रूप से # 2-सैट के मामले के लिए, वैलेन्ट वास्तव में जो दिखाता है वह # 2-सैट में कमी से होता है, बिपकाराइट ग्राफ में मैचिंग काउंटिंग (अपरिपक्व लोगों सहित) से, जो एक बहुत ही विशेष संरचना के साथ # 2-सैट के उदाहरणों को जन्म देता है। , निम्नलिखित नुसार।

1. सबसे पहले, ध्यान दें कि एक लय समस्या, बराबर है समस्या है, जिसमें प्रत्येक चर के लिए करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा, , या तो एक्स जे सूत्र में होता है φ या ˉ एक्स जे करता है लेकिन दोनों नहीं। विशेष रूप से, "एक लय घटते" समस्या है, जिसमें केवल negations ˉ एक्स जे हर चर के लिए होते हैं वास्तव में एक लय मामले के रूप में मुश्किल के रूप में है।$x_j$$x_j$$\phi$$\bar x_j$$\bar x_j$

2. किसी भी ग्राफ के लिए m किनारों के साथ , हम मिलान के अनुरूप एक मोनोटोन-घटते 2-SAT सूत्र का निर्माण कर सकते हैं - किनारों का संग्रह जो किसी भी कोने को साझा नहीं करते हैं - प्रत्येक किनारे पर एक चर x e असाइन करके , प्रतिनिधित्व करते हुए चाहे वह एक किनारे-सेट में शामिल हो; एक सेट की संपत्ति एम ⊆ ई मेल खाता हुआ जा रहा है घटना वेक्टर के बराबर है एक्स = χ एम CNF सूत्र संतोषजनक φ जिसका खंड द्वारा दिया जाता है ( ˉ एक्स ई ∨ ˉ x च$G = (V,E)$$m$$x_e$$M \subseteq E$$\mathbf x = \chi_M$$\phi$$(\bar x_e \vee \bar x_f)$के किनारों हर जोड़ी के लिए जो एक शीर्ष साझा करें। निर्माण करके, φ है के रूप में कई संतोषजनक समाधान एक्स ∈ { 0 , 1 } मीटर वहाँ के रूप में (अपूर्ण संभवतः) कर रहे हैं ग्राफ में matchings जी ।$e, f \in E$$\phi$$\mathbf x \in \{0,1\}^m$$G$

3. यदि ग्राफ़ जिसके लिए हम मिलान गिनना चाहते हैं, वह द्विदलीय है, तो इसमें कोई विषम चक्र नहीं है - जिसे हम ग्राफ़ में किनारों के अनुक्रम के रूप में वर्णित कर सकते हैं जो एक ही किनारे से शुरू और समाप्त होता है (दो बार उस अंतिम किनारे को गिनने के बिना) । तो फिर वहाँ चर का कोई अनुक्रम हैं एक्स ई , एक्स एफ , एक्स जी , ... , एक्स ई में अजीब लंबाई की φ , जिसमें आसन्न चर एक आम खंड में शामिल हैं। तब सूत्र ϕ पहले वर्णित तरीके से द्विदलीय होगा।$G$$x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$$\phi$$\phi$

4. एक इनपुट bitrarite ग्राफ को देखते हुए: मनमाने ढंग से द्विपक्षीय ग्राफ में matchings की संख्या की गणना, विशेष रूप से, एक द्विपक्षीय ग्राफ में सही matchings की संख्या की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता दो bipartitions साथ एक , बी के समान आकार n , कोई भी B के सभी कोने से जुड़े 0 ⩽ k vert n अतिरिक्त कोने के साथ A को उन्नत करके G k बना सकता है । क्योंकि सभी मैच $G = (A \cup B, E)$$A, B$$n$$G_k$$A$$0 \leqslant k \leqslant n$$B$$G$किसी दिए गए आकार का में मिलानों की संख्या में अलग-अलग योगदान होता है , इनकी गणना करके G के आकार में मैचिंग की संख्या निर्धारित कर सकते हैं n (अर्थात, जो पूर्ण मिलान हैं); और ध्यान दें कि द्विदलीय रेखांकन में सही मिलान की संख्या गिनना एक साधारण पत्राचार द्वारा { 0 , 1 } -matrices के कंप्यूटिंग स्थायी के बराबर है ।$G_k$$G$$n$$\{0,1\}$

# 2-SAT के उदाहरणों के वर्ग को #P -hard दिखाया जाता है जो कि मोनोटोन द्विदलीय उदाहरण हैं।

प्रश्न: # 2-SAT के अन्य विशेष मामले क्या हैं जो #P -complete हैं , इसके परिणामस्वरूप या कुछ अन्य कमी?

यह दिलचस्प होगा यदि, कमी को दर्शाने / हवाला देने के अलावा, लोग इस बात का एक सहज कारण भी बता सकते हैं कि विशेष मामला किस तरह से सिटिसिफाइंग असाइनमेंट गिनने के लिए प्राकृतिक दृष्टिकोण में बाधाएं प्रदान कर सकता है। उदाहरण के लिए, हालांकि MONOTONE-2-SAT तुच्छ रूप से हल करने योग्य है ( हमेशा एक समाधान है), मोनोटोन उदाहरण वे होते हैं जिनमें एक निश्चित मान के लिए कुछ चर नियत करना बाकी बचे चर पर अपनी अड़चनें लगाने में नाकाम रहेगा। किसी भी चर x j = 0 को ठीक करना केवल कुछ खंडों से संबंधित चर के मूल्यों को तुरंत प्रतिबंधित करता है; और सेटिंग एक्स जे = $\mathbf x = 1^n$$x_j = 0$$x_j = 1$किसी भी अन्य चर के संभावित मूल्यों को बिल्कुल भी प्रतिबंधित नहीं करता है। (यह स्पष्ट नहीं है कि द्विदलीय ग्राफ के लिए तुलनीय प्रतिबंध उसी तरह से महत्वपूर्ण है, हालांकि, द्विदलीय प्रतिबंध इसे हटाने के बजाय संरचना को जोड़ने के लिए लगता है, लेकिन यह कुशलता से गणना करने के लिए संरचना को जोड़ने में विफल रहता है।)

जोड़ने का संपादन किया। ऐसे किसी भी वर्ग के लिए बोनस अंक प्रदान किया जाएगा जो अंततः मोनोटोन उदाहरणों के अस्तित्व पर भरोसा नहीं करता है (जैसा कि # 2-BIPARTITE-SAT ऊपर करता है, जिसकी कठोरता स्पष्ट रूप से #P -hard विशेष मामले # 2 के शामिल होने के कारण है -MONOTONE-द्विपक्षीय-सैट)। उदाहरण के लिए, # 2-BIPARTITE-SAT की कठोरता के लिए एक तर्क जो मोनोटोनिक उदाहरणों पर भरोसा नहीं करता है (लेकिन कुछ अन्य उप-परिवार पर भरोसा कर सकता है) दिलचस्प होगा।

Comments

नहीं वास्तव में क्या आप अपने प्रश्न के अंत में करने के लिए कहा है, लेकिन वहाँ एक कमी है कि, एक मनमाना CNF सूत्र दिया है , रिटर्न एक 2-सैट सूत्र Ψ जो नहीं एक लय है और जो निम्नलिखित संपत्ति है: के समाधान की संख्या Ψ सच शून्य के समाधान की संख्या के लिए सेट चर की एक विषम संख्या होने Ψ सच है करने के लिए सेट चर के सम संख्या होने के समाधान की संख्या के बराबर Φ । $\Phi$$\Psi$$\Psi$$\Psi$$\Phi$

— जियोर्जियो कैमरानी

मैं यह कहना भूल गया कि भी द्विदलीय है। $\Psi$

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 1

# 3-नियमित बिपर्टाइट प्लानर वर्टेक्स कवर # पी-पूर्ण है

जैसा कि वर्टेक्स कवर की गिनती बिल्कुल एक मोनोटोन # 2-सैट उदाहरण के संतोषजनक असाइनमेंट की गिनती के समान है , उपरोक्त परिणाम का अर्थ है कि यह # 2-सैट उदाहरण के संतोषजनक असाइनमेंट को गिनने के लिए # पी-पूर्ण है जो मोनोटोन और 3-नियमित है और द्विदलीय और प्लांटर ।

बदले में इसका मतलब है कि, दो # 2-MONOTONE-SAT और # 2-BIPARTITE-SAT विशेष मामलों के अलावा पहले से ही प्रश्न में उद्धृत, दो # 2-CUBIC-SAT और # 2-PLANAR-SAT विशेष मामले हैं # पी-पूरा भी।