निसान / विगार्डसन में छद्म आयामी की परिभाषा के पीछे क्या प्रेरणा है?

Question

मैं निसान और विगडरसन द्वारा क्लासिक "हार्डनेस बनाम रैंडमनेस" पढ़ रहा हूं। चलो , और एक समारोह को ठीक । वे कार्यों के एक परिवार को परिभाषित होने की कूट-यादृच्छिक आकार के हर सर्किट के लिए मामले में हम हैl : N → N G = { G n : B l ( n ) → B n$B=\{0,1\}$$l\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$G = \{G_n : B^{l(n)} \to B^n\}$$n$

$(*) \ \ | P(C(x) = 1) - P(C(G(y))=1) | < 1/n$

(जहाँ समान यादृच्छिक चर हैं)।$x \in B^{n},y \in B^{l(n)}$

मैं समझता हूं कि मुझे और को यादृच्छिक चर के रूप में सोचना है , और मैं और बीच की दूरी को यादृच्छिक चर के रूप में तुलना करना चाहता हूं । मुझे आभास मिलता है कि सर्किट का उपयोग "परीक्षण" के रूप में किया जा रहा है, यह देखने के लिए कि क्या को "पता लगाया जा सकता है।" मैं वास्तव में इससे जूझ रहा हूं कि शर्त सही क्यों है। क्या किसी को इस परिभाषा के बारे में सोचने की कोई सलाह है?$x$$y$$x$$G(y)$$G$$(*)$

Comments

लेखकों के नामों की अपनी वर्तनी की जाँच करें ...

— rphv

@rphv ने इसे ठीक किया।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

दो पहलू हैं जिनका उल्लेख करने की आवश्यकता है।

पहला PRG को परिभाषित करने का सामान्य विचार है, इसका आउटपुट समान रूप से छोटे सर्किट से अलग दिखता है । यह विचार याओ के लिए वापस जाता है और वास्तव में सबसे मजबूत संभव परिभाषा है जब आप स्पष्ट रूप से बाध्य पर्यवेक्षकों के लिए छद्म यादृच्छिकता पर स्पष्ट रूप से लक्ष्य कर सकते हैं ।

दूसरा पहलू उन मापदंडों का विकल्प है जहां हम सर्किट के आकार को और सीमा की संभावना के अंतर को करने के लिए सीमित करते हैं , जहां भी PRG आउटपुट आकार है। यह पसंद सामान्य क्रिप्टो एक की तुलना में कुछ अलग है जहां सर्किट का आकार और संभावना अंतर किसी भी से छोटा होना आवश्यक है । हमारे मामले में विशिष्ट पैरामीटर (बजाय$n$$1/n$$n$$poly(n)$$poly(n)$$poly(n)$) के रूप में, विशेष बहुपद सिमुलेशन में तंग परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यक थे। जबकि सिद्धांत रूप में एक में 3 अलग-अलग पैरामीटर हो सकते हैं, यह पता चला है कि हमारे परिणामों में ये अनिवार्य रूप से उसी तरह से काम कर रहे थे, इसलिए हमने उन्हें एक एकल में जोड़ दिया (इनपुट आकार जिसे एक समारोह के रूप में देखा गया था )।$l(n)$$n$

Comments

उत्तर के लिए धन्यवाद नोम। यह बहुत मददगार था।

— user12484

Answer 2

मैं इस पर एक विशेषज्ञ द्वारा कोई मतलब नहीं है, लेकिन छद्मता की परिभाषा का एक प्रमुख घटक (यादृच्छिकता को परिभाषित करने के प्रयासों के विपरीत) यह है कि कुछ "छद्म आयामी" का लक्ष्य एक सर्किट को मूर्ख बनाना है। दूसरे शब्दों में, प्रेरणा का उद्देश्य सही ढंग से यादृच्छिक स्ट्रिंग के बजाय सर्किट में आपूर्ति किए जा रहे छद्म आयामी स्ट्रिंग के बारे में सोचना है।

इस अर्थ में, यह वास्तव में नहीं है कि आप उस और G ( y ) को "एक ही जैसा" दिखाने का प्रयास कर रहे हैं । यह है कि वे एक सर्किट (आवश्यक रूप से बंधी हुई जटिलता) के लिए "समान दिखते हैं" ।$x$$G(y)$

इसलिए सर्किट की भूमिका महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह केवल "परीक्षण कार्य" होने के विपरीत है।

Answer 3

उम्मीद है, मैं सुरेश की प्रतिक्रिया पर थोड़ा विस्तार कर सकता हूं। सबसे पहले, मुझे नहीं लगता कि असमानता की कठोरता की जरूरत है कि आपके , और मैं भी नहीं यकीन है कि क्यों 1 / n की जरूरत है, और नहीं 1 / 2 n या कुछ और। हालांकि, व्यावहारिक रूप से, मुझे लगता है कि कुछ दिलचस्प सैद्धांतिक परिणाम प्राप्त करने के लिए 1 / n पर्याप्त है।$(*)$$1/n$$1/2n$

लेकिन फिर आप लगभग निश्चित रूप से यह दावा करना चाहते हैं कि प्रत्येक कुछ समय में गणना योग्य है, घातांक कहें। इसके अलावा, मुझे लगता है कि आपको उस l ( n ) < n पर जोर देना होगा । आप l ( n ) को बीज की लंबाई के रूप में सोच सकते हैं । इस प्रकार G i pseudorandom है यदि वह लंबाई l ( n ) के यादृच्छिक स्ट्रिंग में बिट्स की संख्या को n से कम आकार के सर्किट द्वारा पता लगाए बिना बढ़ा सकता है ।$G_i$$l(n) < n$$l(n)$$G_i$$l(n)$$n$