वर्टेक्स-ट्रांसेटिव ग्राफ़ को पहचानने की जटिलता

Question

मैं समूहों को शामिल करने वाले जटिलता सिद्धांत के क्षेत्र में जानकार नहीं हूं इसलिए मैं माफी मांगता हूं अगर यह एक प्रसिद्ध परिणाम है।

प्रश्न 1. आज्ञा देना एक सरल अप्रत्यक्ष ग्राफ ऑफ ऑर्डर n है । G के शीर्ष-सकर्मक होने पर यह निर्धारित करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता ( n के संदर्भ में ) क्या है ?$G$$n$$n$$G$

याद रखें कि एक ग्राफ है शिखर-सकर्मक अगर एक यू टी ( जी ) पर संक्रामक कार्य करता है वी ( जी ) $G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

मुझे यकीन नहीं है कि यदि उपरोक्त परिभाषा एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म के लिए अनुमति देती है क्योंकि यह हो सकता है कि का क्रम घातीय है।$\mathrm{Aut}(G)$

हालाँकि, वर्टेक्स-ट्रांसेटिव ग्राफ़ में कुछ अन्य संरचनात्मक गुण होते हैं, जिनका कुशलता से निर्धारण करने में सक्षम होने के लिए उनका शोषण किया जा सकता है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि उपरोक्त प्रश्न की स्थिति क्या है।

वर्टेक्स-ट्रांसेटिव ग्राफ़ का एक और दिलचस्प उपवर्ग जिसमें और भी अधिक संरचना है, केली ग्राफ़ का वर्ग है । अतः निम्नलिखित संबंधित प्रश्न को भी प्रस्तुत करना स्वाभाविक है

प्रश्न 2. यदि ग्राफ एक केली ग्राफ है, तो यह निर्धारित करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता क्या है ?$G$

Comments

भले ही स्व-प्रतिरक्षी समूह सुपर-घातीय हो सकता है, मुझे लगता है कि इसे बहुपद स्थान में दर्शाया जा सकता है क्योंकि जनरेटर की न्यूनतम संख्या अधिकांश लघुगणक में है $|\textrm{Aut}(G)|$

— तीमुथियुस सूर्य

ध्यान दें कि हर शिखर-सकर्मक ग्राफ एक केली-Schrier ग्राफ है: वहाँ कुछ समूह है पैदा सेट के साथ एस और उपसमूह एच ऐसी है कि ग्राफ के कोने cosets हैं जी / एच , और दो cosets बढ़त कुछ करता है, तो से जुड़े हुए हैं S का तत्व एक को दूसरे में ले जाता है। $G$$S$$H$$G/H$$S$

— जोशुआ ग्रोको

संबंधित: mathoverflow.net/questions/156947/…

— पीटर हेनिग

Answer 1

मेरे पास पूर्ण उत्तर नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि दोनों समस्याएं खुली हैं।

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Jajcay, Malnič, Marušič [3] का पेपर आपके पहले प्रश्न से संबंधित है। वे शीर्ष-संवेदनशीलता का परीक्षण करने के लिए कुछ उपकरण प्रदान करते हैं। वे परिचय में कहते हैं कि:

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

$n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$$x$$x$

यह भी ध्यान दें कि यदि पोलिने-टाइम में वर्टेक्स-ट्रान्सिटिविटी टेस्ट किया जा सकता है, तो वर्टेक्स-ट्रांसेटिव ग्राफ के लिए आइसोमॉर्फिज्म टेस्ट है। इसका कारण यह है कि दो वर्टेक्स-ट्रांसेटिव ग्राफ़ इस्मोर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनका असंतुष्ट संघ वर्टेक्स-ट्रांसेटिव है। मेरा मानना ​​है कि शीर्ष-संक्रमणीय रेखांकन के लिए ग्राफ समरूपता की जटिलता ज्ञात नहीं है।

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दूसरे प्रश्न के लिए, मुझे एक आंशिक परिणाम मिला। एक Circulant ग्राफ एक चक्रीय समूह पर एक केली ग्राफ है। एव्डोकिमोव और पोनोमारेंको [2] बताते हैं कि बहुपत्नी रेखांकन की पहचान बहुपद काल में की जा सकती है। इसके अलावा Alspach द्वारा पुस्तक अध्याय [1, अध्याय 6: केली रेखांकन, खंड 6.2: मान्यता] आपके लिए दिलचस्प होगा, हालांकि यह कहता है कि:

हम पहचानने की कम्प्यूटेशनल समस्या को नजरअंदाज कर देंगे कि क्या एक मनमाना ग्राफ एक केली ग्राफ है। इसके बजाय, हम हमेशा यह मानते हैं कि केली ग्राफ़ को उन समूहों के संदर्भ में वर्णित किया गया है जिन पर वे कनेक्शन सेट के साथ मिलकर बनाए गए हैं। ज्यादातर समस्याओं के लिए यह एक खामी नहीं है।

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1. बेइंके, विल्सन, कैमरन। बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत में विषय । कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2004।
2. एव्डोकिमोव, पोनोमोनेंको। वृत्ताकार रेखांकन: बहुपद समय में पहचानना और समरूपता परीक्षण। सेंट पीटर्सबर्ग मठ। जे। 15 (2004) 813-835। डोई: 10.1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay, Malnič, Marušič। शीर्ष-संचरित ग्राफ़ में बंद चलता की संख्या पर। डिस्क्रीट मैथ। 307 (2007) 484-493। doi: 10.1016 / j.disc.2005.09.039

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