सबूत, बाधाएं और पी बनाम एनपी

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यह सर्वविदित है कि पी बनाम एनपी प्रश्न को हल करने वाले किसी भी प्रमाण को सापेक्षता , प्राकृतिक प्रमाण और बीजगणित बाधाओं को दूर करना चाहिए । निम्नलिखित आरेख विभिन्न क्षेत्रों में "प्रूफ स्पेस" का विभाजन करता है। उदाहरण के लिए, उन साक्ष्यों के सेट से मेल खाती है, जो सापेक्ष और प्राकृतिक होते हैं। (जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी) बेशक सख्ती से बाहरी क्षेत्र है। $RN$ $GCT$

सबसे अच्छे ज्ञात क्षेत्रों के साथ कुछ प्रमाणों को नाम दें जो वे संबंधित हैं। , एक सबसे अच्छा संभव तरीके से यानी उन्हें जगह अगर एक सबूत relativize को, घुला जाना जाता है और algebrize तो यह में रखा जाना चाहिए अभी नहीं में । यदि कोई प्रमाण करता है, लेकिन स्वाभाविक नहीं है तो वह और इसी तरह का है। $RNA$ $RN$ $R$ ${\setminus}$ $N$

वैकल्पिक शब्द

— शिव किंतली
स्रोत

लेकिन क्या पी बनाम एनपी के सभी ज्ञात वैध प्रमाण हैं ?

— gphilip

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मुझे लगता है कि यह एक क्लासिक सीडब्ल्यू सवाल है।

— सुरेश वेंकट

@gphilip हम सामान्य रूप से जटिलता सिद्धांत में कम बाध्य प्रमाण के बारे में बात कर रहे हैं।

— शिव किंतली

@ सुरेश इन क्षेत्रों में प्रमाण देना अत्यधिक गैर-तुच्छ है। उत्तर पोस्ट करने वाले लोगों को इन बाधाओं के ज्ञान और समझ के लिए पुरस्कृत किया जाना चाहिए। तुम क्या सोचते हो ?

— शिव किंताली

नीचे सुरेश के जवाब को पढ़ने के बाद, मुझे लगता है कि मुझे सवाल मिला (मुझे गलत होने पर सही करें): आप फॉर्म के वर्गीकरण की तलाश कर रहे हैं "यदि एक सबूत जो पी बनाम एनपी के पास संपत्ति एक्स है, तो यह क्षेत्र वाई के अंतर्गत आता है। चित्र।" सुरेश के उत्तर में एक्स "इंटरएक्टिव" है, और वाई आर के बाहर है, संभवतः एन के बाहर भी।

— gphilip

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मुझे लगता है कि आपको अपने वेन आरेख को फिर से तैयार करने की आवश्यकता है ... जटिलता वर्गों के किसी भी समूह को जो relativizes करता है, कम से कम आरोनसन और विगडरसन के अर्थ में भी बदल देगा। यही है, एक दैवज्ञ के "कम-डिग्री विस्तार" तक पहुंच केवल दैवज्ञ की पहुंच से अधिक शक्तिशाली है। इसी तरह, यह दिखाने वाले किसी भी oracles को "गैर-अल्जाइब्रिंग" तकनीकों की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि "नॉन-रिलेटिवाइजिंग" तकनीकों की भी आवश्यकता होती है।

— रेयान विलियम्स
स्रोत

हाय रयान, मैंने आरेख को सरल रखा ताकि हम इन क्षेत्रों के "पतन" पर भी चर्चा कर सकें। उदाहरण के लिए, यदि आपका जवाब के रूप में "फिर से बताने से किया जा सकता है

Aaronson-Wigderson के अर्थ में"।

R \subseteq A

$R \subseteq A$

— शिवा किंटाली

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रयान जो कहता है वह केवल रोकथाम के लिए रखता है। P = NP जैसे परिणाम से P = PH का तात्पर्य होता है, लेकिन बीजगणित नहीं करता है।

— लांस फोर्टेन

@ लांस: स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। तो, यह आरेख को छोड़ने के लिए समझ में आता है।

— शिव किंतली

3

मैंने अभी यह देखा ... वास्तव में, स्कॉट और एवी कई "बीजगणित" निहितार्थ भी देते हैं। उनकी धारणा निश्चित रूप से इस तरह से परिभाषित की जाती है जैसे कि सापेक्षता को कम करना। (निहितार्थ लांस का हवाला देते हैं, वे शायद कहूँगा कि algebrizing निहितार्थ है "

तात्पर्य

।")

P^{\tilde{A}} = N P^{\tilde{A}}

$P^{\tilde{A}} = NP^{\tilde{A}}$

P H^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}

$PH^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}$

— रयान विलियम्स

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इस सूत्र में कुछ दावों के विपरीत, आरोनसन और विगडरसन के अर्थ में बीजगणित का संबंध सापेक्षता को कम करने के लिए नहीं जाना जाता है। उदाहरण के लिए,

\begin{matrix} (†) & (\exists सी : सी \subset एन ए एक्स पी \land सी ⊄ पी / पी ओ एल y) ⟹ एन ए एक्स पी ⊄ पी / पी ओ एल y \end{matrix}

$\tag{$\dagger$}(\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly})\implies \mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

एक बयान है जो संबंधित है। (वास्तव में इसका एक सापेक्ष प्रमाण है, जो कुछ भी पाठक के लिए इसका मतलब हो सकता है।) लेकिन इसे बीजगणित के लिए नहीं जाना जाता है, जैसा कि आरोनसन और विगडरसन ने खुद को अपने पेपर [1] की धारा 10.1 में बताया था। (नतीजतन, जबकि AW हमें बताता है कि ऊपर दिए गए आरेख को बाहर झूठ बोलना चाहिए , यह बोधगम्य है कि अंदर है!) $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $\mathrm {A}$ $\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly}$

हालांकि, एरिक बाक और खुद [2] द्वारा किया गया एक हालिया काम बीजगणित का एक सूत्रीकरण देता है जो पुनर्वसन को कम करता है। असल में, अगर हम एक बीजीय अलंकार की AW धारणा लेते हैं --- कुछ भाषा --- के लिए रूप में चिह्नित करते हैं और इसे बुद्धिमानी से संशोधित करते हैं, तो हम पैथोलॉजी जैसे को समाप्त कर सकते हैं। $\tilde O$ $O$ $(\dagger)$

उपद्रव यह है कि बीजगणित, जब उपयुक्त रूप से परिभाषित किया जाता है, एक बीजीय तांडव के संबंध में सापेक्षता है --- एक बीजीय सापेक्षताकरण, जहां हर ओर्लोक को एक " '' --- प्राप्त होता है, जो कि" उपरोक्त आरेख में खाली सेट है, इसलिए ऐसा । $\mathrm{R} \setminus \mathrm{A}$ $\mathrm{RN}$

[१] http://www.scottaaronson.com/papers/alg.pdf
[२] http://eccc.hpi-web.de/report/2016/040/

पुनश्च: बीजगणित के लिए एक और सूत्रीकरण इम्पेग्लियाज़ो, कबनेट्स और कोलोकोलोवा द्वारा पहले प्रस्तावित किया गया था, जो अंदर भी रखता है , लेकिन AW धारणा के रूप में शक्तिशाली होने के लिए नहीं जाना जाता है। तुलना के लिए एरिक के साथ मेरा पेपर देखें। $\mathrm{R}$ $\mathrm{A}$

— बैरिस आयडिल्लोनोआलु
स्रोत

धन्यवाद बारिस। मुझे खुशी है कि किसी को अंततः बीजगणित की धारणा मिल गई जो औपचारिक रूप से वह करता है जो हमें लगता है कि यह होना चाहिए :)

— रयान विलियम्स

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समय और स्थान पदानुक्रम प्रमेयों relativize। वे एकसमान हैं, इसलिए वे स्वाभाविक नहीं लगते।

मुझे लगता है कि लांस फॉर्च्यून, एट अल के टाइमस्पेस लोअर सीमा जैसे अप्रत्यक्ष विकर्ण परिणाम हैं। और यह भी कि रेयान विलियम्स का परिणाम रिलेटिव नहीं है क्योंकि वे ब्लैक बॉक्स नहीं हैं (लेकिन मुझे इस बारे में निश्चित नहीं है)। सबूत नहीं लगते क्योंकि वे पदानुक्रम प्रमेयों का उपयोग करते हैं।

$TC^0$

— कावेह
स्रोत

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इंटरएक्टिव साक्ष्यों को सापेक्ष नहीं करते हैं। मुझे नहीं लगता कि वे एक समान हैं क्योंकि वे एक समान हैं।

— सुरेश वेंकट
स्रोत