क्या कार्यों के ऐसे कोई वर्ग हैं जिनके लिए अपने व्युत्क्रम की गणना करने के लिए अलग-अलग संसाधनों की आवश्यकता होती है?

Question

अग्रिम में माफी अगर यह सवाल बहुत आसान है।

मूल रूप से, जो मैं जानना चाहता हूं वह यह है कि निम्नलिखित गुणों के साथ कोई कार्य हैं:$f(x)$

ले लो होने के लिए जब डोमेन और codomain तक ही सीमित हैं -बिट तार। फिर$f_n(x)$$f(x)$$n$

1. $f_n(x)$ इंजेक्टिव है
2. $f_n(x)$ है
3. $f_n(x)$ कड़ाई से कम संसाधनों (या तो जगह / समय / सर्किट की गहराई / फाटकों की संख्या) को कुछ उचित मॉडल के तहत गणना करने के लिए , जहां ।$f^{-1}_n(y)$$y=f_n(x)$
4. बनाम स्केल के लिए संसाधन अंतर कड़ाई से बढ़ते कार्य के रूप में है ।$f_n(x)$$f^{-1}(y)$$n$

मैं उन उदाहरणों के साथ आ सकता हूं जहां फ़ंक्शन या तो विशेषण या इंजेक्शन है, लेकिन दोनों नहीं जब तक कि मैं एक आकस्मिक कम्प्यूटेशनल मॉडल का सहारा नहीं लेता। यदि मैं एक कम्प्यूटेशनल मॉडल चुनता हूं जो कुछ रिंग पर इकाई समय में बाएं पारियों की अनुमति देता है, लेकिन सही बदलाव नहीं है, तो निश्चित रूप से सिर पर रैखिक के साथ आना संभव है (या उच्चतर यदि आप एक आदिम के रूप में कुछ और जटिल क्रमांकन पर विचार करते हैं) । इस कारण से मैं केवल उचित मॉडल में रुचि रखता हूं, जिसके द्वारा मैं ज्यादातर ट्यूरिंग मशीन या नंद सर्किट या इसी तरह का अर्थ करता हूं।

जाहिर है कि यह सही होना चाहिए यदि , लेकिन ऐसा लगता है कि यह भी संभव है यदि , और इसलिए उस प्रश्न को तय करने के लिए राशि नहीं होनी चाहिए।पी = एन $P\neq NP$$P=NP$

यह पूरी तरह से संभव है कि इस प्रश्न का एक स्पष्ट उत्तर या उत्तर देने के लिए एक स्पष्ट बाधा है जो मैंने याद किया है।

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यह एक ऐसा क्षेत्र नहीं है जिसे मैं अच्छी तरह से समझता हूं, लेकिन ऐसा लगता है कि आप एन बिट्स पर क्रमपरिवर्तन की तलाश कर रहे हैं जो कि उल्टा करना कठिन है। मुझे याद है कि हमदाद ( nada.kth.se/~johanh/onewaync0.ps ) के एक पेपर में पढ़ा गया था कि वहाँ में मौजूद क्रमपरिवर्तन मौजूद हैं , लेकिन पी-हार्ड इनवर्ट हैं । $NC^0$

— रॉबिन कोठारी

Håstad के 1987 के पेपर में पूर्व काम के संदर्भ भी देखें। इसमें उल्लेख किया गया है कि बोपाना और लैगरियास (1986) एनसी 0 में एक क्रमचय का उदाहरण देते हैं , लेकिन एनसी 0 में उलटा नहीं किया जा सकता है । $^0$$^0$

— जुल्का सुमेला

धन्यवाद, यह वही है जो मैं देख रहा था। हो सकता है कि आप में से कोई एक जवाब के रूप में पुनर्खरीद करना चाहता हो? क्या आप जानते हैं कि समय की जटिलता के लिए समान है?

— जो फिट्जसिमंस

Answer 1

मुझे अपनी टिप्पणी को दोहराने के लिए कहा गया था। मैंने हस्तेद द्वारा इस पत्र को इंगित किया, जिसमें दिखाया गया है कि में ऐसे क्रमपरिवर्तन मौजूद हैं जो P- मुश्किल हैं:$NC^0$

http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(87)90053-6 (PS)

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धन्यवाद, वह और जुक्का का फॉलो-अप बिल्कुल उसी तरह का था, जिसकी मुझे तलाश थी।

— जो फिट्जसिमों ने

Answer 2

पूर्ण द्विआधारी आधार पर बूलियन सर्किट के लिए (जटिलता माप एक न्यूनतम सर्किट में गेट्स की संख्या होने के नाते) क्रमपरिवर्तन सी ( एफ - 1 ) के लिए सबसे अच्छा ज्ञात अनुपात$C(f)$। जहाँ तक मुझे पता है,इस काममें सबसे अच्छा स्थिरांकHiltgen द्वाराप्राप्त किया गया थाऔर 2 के बराबर है।$\frac{C(f^{-1})}{C(f)} = const$

संपादित करें। जब आप चाहते हैं कि बढ़ता जा रहा है, तो यह अनुपात आपके प्रश्न का उत्तर नहीं देता है। हालांकि, पूर्ण बाइनरी आधार पर बूलियन सर्किट के लिए कुछ भी बेहतर नहीं जाना जाता है।$n$

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खैर, यह तथ्य कि बेहतर कुछ भी नहीं जाना जाता है, वास्तव में एक उत्तर है।

— जो फिट्जसिमंस

मैं निम्नलिखित पेपर के खंड 1.2 "कम्प्यूटेशनल एसिमेट्री" को भी पढ़ने का सुझाव देता हूं: जीन-केमिली बिरगेट, वन-वे क्रमपरिवर्तन, कम्प्यूटेशनल विषमता और विरूपण, जर्नल ऑफ बीजगणित, 320 (11), कम्प्यूटेशनल बीजगणित, 1 दिसंबर 2008, पृष्ठ 4030-4062 । इसके अलावा, आप इस लिंक में दिलचस्पी ले सकते हैं: springerlink.com/content/4318u2t21682752u

— MS Dousti

Hiltgen के काम के लिए एक फॉलोअप Hirsh और निकोलेंको का एक पेपर है, जो इसे कंप्यूटिंग और इसे इन्वर्ट करने के बीच एक निरंतर अंतराल के साथ एक फ़ंक्शन दिखा रहा है, लेकिन जहां एक व्यापारी

— user686

मैसी द्वारा इस बात को भी देखें: iacr.org/publications/dl/massey96/html/massey.html

— user686

अंत में, मुझे यह जोड़ना चाहिए कि यह एक सुपर-निरंतर अंतराल के साथ एक फ़ंक्शन परिवार के अस्तित्व को दिखाने के लिए एक बड़ी सफलता होगी: इस तरह के अंतराल को दिखाने का मतलब यह होगा कि (सर्किट का खोज संस्करण) सैट में रैखिक-आकार के सर्किट नहीं हैं ।

— user686

Answer 3

सबसे पहले, मैं यह बताना चाहता था कि फ़ंक्शन के कोडोमैन को परिभाषित किए बिना विशेषण को अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया गया है। इसलिए, नीचे दिए गए मेरे विवरण में, मैं स्पष्ट रूप से उस कोडोमैन का उल्लेख करूंगा, जिस पर फ़ंक्शन विशेषण है।

असतत लघुगणक या आरएसए दोनों कार्य क्रमपरिवर्तन होते हैं, जिन्हें उल्टा करना कठिन माना जाता है। नीचे, मैं असतत-लघुगणक फ़ंक्शन का वर्णन करूंगा।

चलो एक होना n -बिट प्रधानमंत्री, और जी गुणक समूह का एक जनरेटर हो जेड * पी एन । F n n को परिभाषित करें : Z p n → Z p n as f n n ( x ) = g $p_n$$n$$g$$\mathbb{Z}_{p_n}^*$$f_n \colon \mathbb{Z}_{p_n} \to \mathbb{Z}_{p_n}$ ।$f_n(x) = g^x \pmod{p_n}$

फिर, एक ऐसा फंक्शन है, जिसके गुण आपके प्रश्न में बताए गए हैं: यह इंजेक्टिव और सर्जेक्टिव (कोडोमैन जेड पी एन से अधिक ) है, यह बहुपद समय में गणना योग्य है, फिर भी यह अनुमान लगाया जाता है कि कोई भी कुशल एल्गोरिथ्म f n पर नहीं जा सकता है औसत।$f_n$$\mathbb{Z}_{p_n}$$f_n$

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अच्छी तरह से क्वांटम कंप्यूटर पर गणना और उल्टा करने के लिए उनके पास एक ही जटिलता है, इसलिए मैंने यह माना कि इस बात का प्रमाण नहीं था कि उन्हें विभिन्न संसाधनों की आवश्यकता थी, केवल बहुपद समय एल्गोरिदम के साथ आने के असफल प्रयासों का एक गुच्छा।

— जो फिट्जसिमंस

ठीक है, मुझे लगता है कि शायद आप मेरे सवाल का मतलब समझ गए हैं। मुझे पता है कि वहाँ माना जाता है कि फ़ंक्शंस की एक बड़ी संख्या में हार्ड इनवर्ट माना जाता है, और यह सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टो का आधार बनता है। मैं इसके बाद एक ऐसा मामला है जहां एक सिद्ध अंतर है, यहां तक ​​कि यह अपेक्षाकृत हल्का है (मैं एक फ़ंक्शन से पूरी तरह से खुश हूं जो गणना के लिए O (n) लेता है और O (n log n) उदाहरण के लिए उल्टा होता है)।

— जो फिट्ससिमों ने

[पहली टिप्पणी के बारे में] आप क्रमपरिवर्तन का एक तरफ़ा परिवार चाह रहे हैं। गणना के ट्यूरिंग मशीन मॉडल पर भी इस तरह के निर्माणों का मात्र अस्तित्व अभी तक सिद्ध नहीं किया जा रहा है (सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टो के अस्तित्व के प्रमाण में ऐसा साबित होता है। देखें मामला 5 cstheory.statexchange.com/questions/ में। 1026 /… ) इसलिए, आप अप्रमाणित मान्यताओं पर भरोसा नहीं कर सकते। हालांकि, यदि आप एक धारणा चाहते हैं जो ट्यूरिंग मशीन मॉडल और क्वांटम मॉडल दोनों में काम करती है, तो मैं आपको "जाली समस्या" की कठोरता के आधार पर मान्यताओं का विवरण प्रदान कर सकता हूं।

— MS Dousti

मैं केवल एक-तरफ़ा फ़ंक्शन के बहुत कमजोर रूप की तलाश कर रहा हूं, और मैं पर्याप्त रूप से कमजोर परिस्थितियों के लिए समस्या की स्थिति से अनिश्चित हूं। मुझे निश्चित रूप से एक घातीय अंतर की आवश्यकता नहीं है।

— जो फिट्ज़सिमों

नहीं, समय की जटिलता आपके द्वारा उल्लिखित सभी मामलों में मॉड्यूलर घातीय के समय की जटिलता से नियंत्रित होती है। मॉड्यूलर एक्सपोनेंशियल शोर के एल्गोरिथ्म का धीमा हिस्सा है, इसलिए एसिम्प्टोटिक स्केलिंग में निरंतर अंतर से अधिक नहीं है।

— जो फिट्जसिमों ने