विशिष्ट कम्प्यूटेशनल गुणों के साथ परिमित रेखांकन के अस्तित्व / गैर-अस्तित्व को दर्शाने वाले परिणाम निश्चित जटिलता परिणाम देते हैं

Question

क्या विशिष्ट ज्ञात गुणों के साथ परिमित रेखांकन के उस अस्तित्व (या गैर-अस्तित्व) को दर्शाने वाले कोई ज्ञात परिणाम हैं, जो निश्चित रूप से कुछ जटिलता परिणाम (जैसे P = NP) है?

यहां एक पूरी तरह से काल्पनिक परिणाम है: यदि एक परिमित ग्राफ ए, बी, सी और डी के साथ मौजूद है, तो सभी अधिकतम मिलानों में या तो ए, बी, सी और डी शामिल हैं, या ए, बी, सी और डी में से कोई भी नहीं है। , फिर पी = एनपी।

Comments

जब आप परिमित कहते हैं, तो शायद आप विभिन्न मूल्यों के लिए रेखांकन के एक परिवार का मतलब है $n$? अन्यथा मुझे समझ में नहीं आता है कि एक छोटे आकार की बाधा पी और एनपी को कैसे ढहा सकती है।

— सुरेश वेंकट

अगर हम किसी एक ग्राफ के बारे में पूछें तो यह और भी दिलचस्प सवाल है। ग्राफ सेटिंग में किसी के दिमाग में नहीं आता है, लेकिन पी = एनपी का एक प्रमाण स्वयं एक परिमित वस्तु होगी।

— आनंद कुलकर्णी

यदि प्रश्न की व्याख्या शाब्दिक रूप से की जाती है, तो उत्तर तुच्छ रूप से हां है। चूंकि रेखांकन और बिट स्ट्रिंग्स के बीच एक कुशलता से कम्प्यूटेशनल वन-टू-वन पत्राचार है, इसलिए आप बिट स्ट्रिंग के बजाय ग्राफ द्वारा एक सबूत (किसी भी निश्चित स्वयंसिद्ध प्रणाली में) को एन्कोड कर सकते हैं। यदि एक ग्राफ जो P = NP के प्रमाण को एनकोड करता है, तो P = NP (जब तक कि स्वयंसिद्ध प्रश्न प्रणाली में ध्वनि है)। हालाँकि, यह उत्तर बकवास है।

— त्सुयोशी इतो

दोनों पर सहमत; इसके बाद हम कृत्रिम एन्कोडिंग द्वारा प्राप्त किए गए एक प्राकृतिक उदाहरण के बजाय एक प्राकृतिक उदाहरण हैं। क्या एक एकल ग्राफ है जिसका अस्तित्व स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए जाना जाता है या इसका उपयोग वर्ग अलगाव / पतन को दिखाने के लिए किया जाता है? देखने के लिए कुछ स्थान वर्णक्रमीय ग्राफ़ सिद्धांत या संभाव्य विधि या शायद GCT के अनुप्रयोगों में हो सकते हैं।

— आनंद कुलकर्णी

एक और काल्पनिक परिणाम: यदि एक निश्चित प्रकार का विस्तारकर्ता ग्राफ परिवार मौजूद है, तो मजबूत व्युत्पन्नकरण संभव है, और इस तरह पी = बीपीपी और एनपी = एमए = एएम।

— रॉबिन कोठारी

Answer 1

इस तरह का एक परिणाम लिप्टन द्वारा साबित किया गया था "यह साबित करने पर कि एक ग्राफ में कोई बड़ा गुट नहीं है: ए रेम्सी सिद्धांत के साथ एक कनेक्शन" । वह विशुद्ध रूप से ग्राफ प्रमेय के परिणामों के साथ निचले बाध्य अनुमानों को जोड़ता है, यह दर्शाता है कि यदि$NP$ में समाहित नहीं है $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$, तब की अनुचितता $MAX-CLIQUE$तात्पर्य है कि स्वच्छ रामसी-सिद्धांत संबंधी गुणों के साथ रेखांकन हैं। (परिभाषाओं के लिए कागज देखें।) मुझे कोई अंदाजा नहीं है कि क्या इस तरह के ग्राफ वास्तव में मौजूद हैं या नहीं, यह साबित करने पर कोई प्रगति हुई है।

Comments

मैं एक और सवाल शुरू नहीं करना चाहता, जबकि यह अभी भी चल रहा है, लेकिन मुझे अतिरिक्त परिणामों में बहुत दिलचस्पी होगी जो ग्राफ रामसी सिद्धांत को कम्प्यूटेशनल जटिलता से जोड़ते हैं, अगर किसी को भी पता है।

— एरॉन स्टर्लिंग

तलाश शुरू करने के लिए एक जगह: cs.umd.edu/~gasarch/ramsey

— रयान विलियम्स

Answer 2

क्षमा करें, मुझे यह 1 वर्ष पुराना प्रश्न अब आया ...

वास्तव में, बहुत सारे परिणाम दिखाई देते हैं कि कुछ गुणों के साथ स्पष्ट रेखांकन बूलियन कार्यों के लिए मजबूत कम सीमाएं हैं। कहें, उच्च अनुष्ठान या प्रक्षेप्य आयाम के रेखांकन, सूत्र और शाखा कार्यक्रमों के लिए मजबूत निम्न सीमाएँ हैं। रेखांकन के "सरल" उपाय भी हैं, अच्छी निचली सीमाएं, जिन पर कम्प्यूटेशनल जटिलता के महान परिणाम होंगे। मुझे उनमें से कुछ को स्केच करने दो।

ग्राफ़ को किनारों के सेट के रूप में देखें। चलो$s(G)$ सबसे छोटी संख्या हो $s$ ऐसा है कि $G$ के प्रतिच्छेदन के रूप में लिखा जा सकता है $\leq s$ रेखांकन, जिनमें से प्रत्येक का एक संघ है $\leq s$बिकलिक्स (द्विदलीय पूर्ण रेखांकन)। आसान गिनती से पता चलता है कि$s(G)\geq n^{1/2}$ लगभग सभी द्विदलीय के लिए $n\times n$रेखांकन। लेकिन वैलिएंट के परिणामों के अनुसार, हर स्पष्ट द्विपदी ग्राफ$G$ (अधिक सटीक, रेखांकन का एक क्रम) के साथ $s(G)\geq n^c$ एक निरंतर के लिए $c>0$एक पुरानी समस्या को हल करेगा: एक बूलियन फ़ंक्शन देगा जिसे रैखिक आकार के लॉग-डेप्थ सर्किट द्वारा गणना नहीं की जा सकती है। यह अनुमान लगाया गया है कि घने रेखांकन बिना$K_{2,2}$ बड़ा है $s(G)$।

इससे भी बेहतर, चलो $Star(G)$ फैनिन की सबसे छोटी संख्या हो-$2$ संघ और चौराहे संचालन जो उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त हैं $G$ पूर्ण तारों (प्रकार के ग्राफ) के साथ शुरू करना $K_{1,n}$ या $K_{n,1}$)। गिनती से पता चलता है कि अधिकांश रेखांकन हैं$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$। लेकिन कोई भी$G$ साथ में $Star(G)\geq (4+c)n$ एक निरंतर के लिए $c>0$घातीय आकार के सर्किट की आवश्यकता के लिए एक स्पष्ट बूलियन फ़ंक्शन देगा! यदि ग्राफ में आयाम है$m\times n$ साथ में $m=o(n)$, फिर एक कम बाउंड भी $Star(G)\geq (2+c)n$एक ही परिणाम होगा। अब तक का सबसे अच्छा हम दिखा सकते हैं$Star(G)\geq 2n-1$।

चलो $Sym(G)$ सबसे छोटी संख्या हो $t$ जिसके लिए एक उपसमुच्चय मौजूद है $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ और का एक क्रम $t$ bicliques ऐसा $(u,v)\in G$ यदि bicliques युक्त की संख्या iff $(u,v)$ का है $T$। फिर से, गिनती देता है$Sym(G)\geq n/2$अधिकांश रेखांकन के लिए। लेकिन याओ, बेगेल और तारुई के परिणामों के साथ कोई भी स्पष्ट ग्राफ$Sym(G)$ से भी बड़ा $2^{poly(\ln\ln n)}$ हमें एक बूलियन फ़ंक्शन प्रदान करेगा $ACC$। चेतावनी: "कॉम्बीनेटरियल कॉम्प्लेक्स" होने के नाते अकेले बड़ा नहीं होता है$Sym(G)$: वहाँ दृढ़ता से रैमसे रेखांकन मौजूद है जिसके लिए $Sym(G)=O(\log n)$, भले ही $T$ = विषम पूर्णांक का सेट।

यह सब कैसे होता है, इसके बारे में अधिक विवरण यहां पाया जा सकता है ।

Comments

this is very neat.

— Suresh Venkat

Answer 3

A classical example was by Valiant (I don't know the reference but I think this is described in the book of Hoory, Linial and Wigderson on expander graphs). Valiant showed an explicit lower bound (I think that a certain explicit function $f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ doesn't have a circuit of $O(n)$ size and $O(\log n)$ depth - something we're still far from proving) under the assumptions that certain types of graphs, called superconcentrators, don't exist. (This was an asymptotic question, and not about just one graph.) However he later showed that these do exist (and in fact have other uses)

Answer 4

इसका जवाब निश्चित रूप से "हाँ" है अगर हम विशिष्ट ग्राफ़ के बजाय ग्राफ़ के परिवारों के बारे में बात करते हैं। उदाहरण के लिए, मिहेल और वाज़िरानी का अनुमान है कि सभी 0/1 पॉलीटिकल ग्राफ या तो अच्छे या बहुत अच्छे एज एक्सपैंडर हैं (यानी, कि उनके किनारे का विस्तार 1 / बहुपद (डिग्री), या 1) से नीचे है।

यदि यह सच है, तो एलोन, जेरुम, और सिनक्लेयर की एक नमूना रणनीति के माध्यम से कई खुले कॉम्बिनेटरियल और गिनती की समस्याओं के लिए कुशल यादृच्छिक मार्कोव चेन मोंटे कार्लो सन्निकटन एल्गोरिदम मौजूद हैं।

एक समान नस में, यदि पॉलीटोपाल ग्राफ के ऐसे परिवार मौजूद हैं, जिनका व्यास किसी भी बहुपद की तुलना में पहलुओं और ग्राफ की डिग्री से अधिक तेजी से बढ़ता है, तो रैखिक प्रोग्रामिंग को किनारे से निम्न एल्गोरिदम के माध्यम से दृढ़ता से बहुपद समय में हल नहीं किया जा सकता है।

Answer 5

आनंद कुलकर्णी की टिप्पणी पर विस्तार:

मान लीजिए कि एक नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन M है जो बहुपद समय में SAT को पहचानती है। तब M का परिमित संक्रमण संबंध एक कार्य होगा। हम TMs के बारे में जानते हैं जो बहुपद समय में SAT को पहचानते हैं, लेकिन उनके संक्रमण संबंध कार्य नहीं हैं। ध्यान दें कि संक्रमण संबंध एक द्विदलीय (राज्य, टेप प्रतीक) के एक द्विध्रुव में tuples (राज्य, टेप चिन्ह, चाल) के tuples के साथ अन्य द्विपक्ष में एक निर्देशित ग्राफ है, और जोड़ियों के लिए arcs के साथ जोड़ते हैं।

तो तुच्छ रूप से यदि ऐसा कोई डिग्राफ है जो एक फ़ंक्शन है, तो पी = एनपी।

बेशक, यह बहुत स्वाभाविक परिभाषा नहीं है, क्योंकि इसमें आवश्यकता को अर्थ देने के लिए सहायक मशीनरी की आवश्यकता होती है, जो राज्य के हर पथ जो स्वीकार करने वाली स्थिति तक पहुंचती है, इनपुट आकार में एक बहुपद द्वारा बंधी लंबाई होती है। यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि पॉलीटाइम-बाउंड ट्यूरिंग मशीनों का प्रतिनिधित्व करने वाले परिमित ग्राफ़ का सेट कैसा दिखता है, या क्या इन ग्राफ़ों में दिलचस्प ग्राफ-थ्योरिटिक गुण हैं।