लगभग Cographs के Cliquewidth

Question

(मैंने यह प्रश्न दो सप्ताह पहले MathOverflow में पोस्ट किया था, लेकिन अब तक बिना कठोर उत्तर के)

मेरा अप्रत्यक्ष सरल रेखांकन के ग्राफ चौड़ाई उपायों के बारे में एक प्रश्न है। यह सर्वविदित है कि क्रोग्स (रेखांकन, जो असंतुष्ट संघ और पूरकता के संचालन द्वारा निर्मित किया जा सकता है, अलग-थलग से शुरू होकर) अधिकतम 2 पर क्लिक्विविथ है (कौरसल एट अल, ऊपरी सीमा रेखांकन की चौड़ाई)। अब कुछ तय गैर नकारात्मक पूर्णांक कश्मीर पर विचार, और रेखांकन के वर्ग पर विचार ऐसी है कि रेखांकन के हर के लिए जी = ( वी , ई ) ∈ जी कश्मीर वहाँ एक सेट है एस सबसे कश्मीर कोने ऐसी है कि में की जी [ वी - S ] एक क्रॉग है। चूंकि ग्राफ वर्ग $\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$ को रेखांकन के वर्ग के रूप में भी देखा जा सकता है जिसे अधिकांश k vertices पर जोड़कर cographs से बाहर बनाया जा सकता है, इस वर्ग को cographs + k v भी कहा जाता है।$\mathcal{G} _k$$k$$kv$

मेरा प्रश्न है: में ग्राफ़ के क्लिक्विडथ पर एक तंग बाउंड क्या है , यानी वे ग्राफ़ जिन्हें k vertices को हटाकर एक क्रॉग में बदल दिया जा सकता है?$\mathcal{G}_k$

यह ज्ञात है कि एक ग्राफ यदि से प्राप्त की है एच हटा कर कश्मीर कोने तो सी डब्ल्यू ( एच ) ≤ 2 कश्मीर ( ग डब्ल्यू ( जी ) + 1 ) । यह दिखाता है कि एक cograph अगर जी एक ग्राफ से प्राप्त किया जा सकता एच हटा कर कश्मीर कोने, तो सी डब्ल्यू ( एच ) ≤ 2 कश्मीर ( 3 + 1 ) , और इसलिए में एक ग्राफ के cliquewidth जी$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$ज्यादा से ज्यादा है । मैं अनिश्चित हूं कि क्या कश्मीर पर यह घातीय निर्भरता आवश्यक है। इस संदर्भ में मैं एक शीर्ष को हटाकर क्लिक्वेविड में अधिकतम कमी में भी दिलचस्पी लूंगा; यदि हम एक ग्राफ से एक ही शीर्ष को हटाते हैं, तो क्लिक्विडथ कितना घट सकता है?$4*2^k$$k$

Comments

यहाँ एमओ लिंक है: mathoverflow.net/questions/34364/cliquewidth-of-cographs-kv

— Jukka Suomela

Answer 1

मैं आपके इस पुराने सवाल का जवाब देने की कोशिश करूंगा, हालांकि मुझे यकीन नहीं है कि मेरा जवाब निर्णायक है लेकिन यह आपको सही दिशा में इशारा करना चाहिए।

पहले हमें रैखिक क्लिक्स-चौड़ाई पर चर्चा करते हैं। यदि किसी ग्राफ़ में रैखिक क्लिक्स-चौड़ाई , और कोई ग्राफ़ में 1 वर्टेक्स जोड़ता है , तो उस शीर्ष को हमेशा एक अनोखे रंग के साथ क्रम में पहले स्थान पर रखा जा सकता है। इसलिए जब आप एक शीर्ष जोड़ते हैं तो रैखिक क्लिक-चौड़ाई केवल 1 से अधिक बढ़ जाती है।$k$$1$

गुरस्की और वैंके ने "एनएलसी-चौड़ाई और रैखिक एनएलसी-चौड़ाई के बीच संबंधों पर" दिखाया कि cographs में रैखिक निर्बाध-चौड़ाई है।

चूंकि cographs में रैखिक निर्बाध-चौड़ाई होती है, लेकिन बंधी-बंधाई चौड़ाई किसी भी अच्छे click अपघटन में एक पेड़ की संरचना होनी चाहिए। हमें दिखाना होगा कि हम मनमाने ढंग से कई गहरी शाखाओं को मजबूर कर सकते हैं। अब हम पेड़ों के लिए करते हैं, 2 ^ के पत्तों के साथ एक पेड़ का निर्माण करते हैं, जिसमें एक कोने को जोड़ते हैं और प्रत्येक पत्ती को नए सिरे के अनूठे उपसमुच्चय से जोड़ा जाता है।