क्या हम गहराई में गणना कर सकते हैं

हम एक गणना कर सकता है बहुपद आकार से -बिट सीमा फाटक (असीम प्रशंसक-इन) गहराई का सर्किट $n$ ? वैकल्पिक रूप से, क्या हम इन सर्किटों का उपयोग करके इनपुट बिट्स में 1s की संख्या की गणना कर सकते हैं? $\frac{\lg n}{\lg \lg n}$

है ? $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n))$

ध्यान दें कि । इसलिए सवाल अनिवार्य रूप से पूछ रहा है कि क्या हम थ्रेशोल्ड गेट्स की गणना करते समय सर्किट की गहराई में एक कारक को बचा सकते हैं। $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))$ $\lg \lg n$

संपादित करें:

जैसा कि क्रिस्टोफर ने अपने जवाब में लिखा है कि हम एक फैक्टर को बचा सकते हैं । लेकिन क्या हम थोड़ा और बचा सकते हैं? क्या हम बदल सकते हैं $\lg \lg n$ साथ $O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$ ? $o(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$

यह मुझे लगता है कि लेयर्ड ब्रूट-फोर्स ट्रिक यहां तक कि (अधिक आम तौर पर ) में किसी भी फंक्शन को बचाने के लिए काम नहीं करती है । $2 \lg \lg n$ $\lg \lg n + \omega(1)$

cc.complexity-theory circuit-complexity circuit-depth

— कावेह
स्रोत

मैंने अपना उत्तर संशोधित करके नवीनतम संपादन भी शामिल किया है।

— क्रिस्टोफर अर्नसेफेल्ट हेन्सन

गहराई एक फैन 2 सर्किट पर विचार करें । की परतों को में विभाजित करें लगातार परतों में से प्रत्येक को ब्लॉक करता है । अब हम प्रत्येक ब्लॉक को गहराई 2 सर्किट से बदलना चाहते हैं। अर्थात्, एक ब्लॉक की अंतिम परत में प्रत्येक गेट अधिकांश पर निर्भर करता है $C$ $O(\log n)$ $C$ $O(\log n/\log\log n)$ $\log\log n$ $2^{\log\log n} = \log n$ नीचे ब्लॉक में अंतिम परत के द्वार। इस प्रकार हम प्रत्येक लेयर को नीचे की ब्लॉक की आखिरी लेयर में गेट्स होने वाले इनपुट के साथ बहुपद आकार के DNF द्वारा अंतिम लेयर में बदल सकते हैं। सभी ब्लॉकों के लिए अंतिम परतों में सभी फाटकों के लिए ऐसा करना और इन्हें जोड़ने से वांछित सर्किट प्राप्त करना चाहिए।

मुझे ध्यान दें कि यह अनिवार्य रूप से सबसे अच्छा है जो प्राप्त कर सकता है: स्विचिंग लेम्मा कम सीमा के लिए को गहराई तक ले जाने की अनुमति देता है । $\log n/ \log\log n$

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन
स्रोत

धन्यवाद क्रिस्टोफर। मैंने थोड़ा मजबूत सवाल जोड़ा।

— केव

बस यह सुनिश्चित करने के लिए कि मुझे बड़ी तस्वीर सही ढंग से मिलती है: गहराई तक

इन सर्किट समता की गणना नहीं कर सकते, इस गहराई पर वे अचानक

की गणना करने में सक्षम हो जाते हैं ।

\lg n / \lg \lg n

$\lg n / \lg \lg n$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— केवह

यह सही है (गहराई तक निरंतर कारकों तक)।

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन