यादृच्छिक रेखांकन पर हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या

Question

हम मानते हैं कि । फिर निम्नलिखित तथ्य अच्छी तरह से जाना जाता है:$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

मैं यादृच्छिक ग्राफों पर हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या के बारे में परिणाम जानना चाहता हूं।

Q1। पर हैमिल्टनियन चक्रों की अपेक्षित संख्या कितनी है ?$G(n,p)$

Q2। G ( n , p ) पर किनारे की संभावना p के लिए प्रायिकता क्या है?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

Comments

आप शायद खुद ही Q1 का जवाब दे सकते हैं। संकेत: अपेक्षा की रैखिकता।

— युवल फिल्मस Yu

Answer 1

जैसा कि युवल ने कहा, Q1 अपेक्षा की रैखिकता का उपयोग करके उत्तर देना आसान है (बिगाड़ने वाला: )। मुझे Q2 का सटीक उत्तर नहीं पता है, लेकिन यह काफी अच्छा हो सकता है यदि आप जानते हैं कि यह बहुत कम है: पी की सीमा के लिए जहां कम से कम एक चक्र है, यह मानता है कि पी [ एक से अधिक चक्र है । कम से कम एक चक्र ] > 1 - 1 / n लॉग एन या तो है। दूसरे शब्दों में, एक बार एक चक्र होने पर, कई होते हैं। कारण यह है कि एक बार एक चक्र होता है, लगभग n $(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$दो "क्रॉसिंग" किनारों द्वारा चक्र के दो किनारों का आदान-प्रदान करके इससे एक और चक्र बनाने के तरीके (इसे संबंधित साहित्य में कुछ "2-फ्लिप" या कुछ कहा जाता है)। किनारों के किसी भी जोड़े के लिए, आप जो कर सकते हैं वह है । अतः इन सभी में विफल होने के लिए, मौका ( 1 - p 2 ) n 2 है जो लगभग e - ( p n ) 2 है , जो बहुत छोटा है।$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$