एक प्लानर ग्रिड से यादृच्छिक रूप से चयनित बिंदुओं पर सबसे छोटा हैमिल्टन पथ की अपेक्षित लंबाई क्या है?

$k$ अलग-अलग बिंदुओं को ग्रिड से अनियमित रूप से चुना जाता है । (स्पष्ट रूप से और दी गई एक स्थिर संख्या है।) एक पूर्ण भारित ग्राफ इन बिंदुओं से निर्मित होता है जैसे कि वर्टेक्स और वर्टेक्स बीच किनारे का वजन मूल ग्रिड पर दो कोने की मैनहट्टन दूरी के बराबर होता है। । $p\times q$ $k\leq p\times q$ $k$ $i$ $j$

मैं इन नोड्स से गुजरने वाले कम से कम (न्यूनतम कुल वजन) हैमिल्टन पथ की अपेक्षित लंबाई की गणना करने के लिए एक कुशल तरीके की तलाश कर रहा हूं । अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित भोले दृष्टिकोण वांछित नहीं हैं: $k$

$\bullet$ K नोड्स के सभी संयोजनों के लिए सटीक पथ लंबाई की गणना करना और अपेक्षित लंबाई प्राप्त करना।

$\bullet$ न्यूनतम फैले हुए पेड़ का उपयोग करने के मूल उत्तराधिकार का उपयोग करते हुए कश्मीर नोड्स के सभी संयोजनों के लिए अनुमानित पथ की लंबाई की गणना जो 50% तक त्रुटि देता है। (कम त्रुटि के साथ एक बेहतर विधर्मी मददगार हो सकता है)

— जावद
स्रोत

वर्तमान में, प्लानेर ग्रिड पर हैमिल्टन की पथ समस्या एनपी-पूर्ण होने के बाद से कुशल एल्गोरिथ्म के लिए कोई उम्मीद नहीं है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

जब आप हैमिल्टनियन पथ की बात करते हैं, तो क्या आप छोटे वजन (उर्फ यात्रा करने वाले सेल्समैन समस्या) के साथ हैमिल्टन पथ के बारे में विचार कर रहे हैं?

— a3nm

@ मोहम्मदअल-तुर्कस्टनी HAM PATH की कठोरता अनिवार्य रूप से एक बाधा नहीं है, क्योंकि ओपी केवल यादृच्छिक बिंदुओं के लिए एक अनुमान है।

— सुरेश वेंकट

@ a3nm हाँ, और मैंने इसे ठीक किया।

— सुरेश वेंकट

के कई यादृच्छिक नमूनों के लिए सटीक दौरे की लंबाई की गणना में क्या गलत है

k

$k$ अंक, और अपेक्षा और मानक विचलन का पता लगाना? आपको कितनी बड़ी जरूरत है

k, p, q

$k, p, q$ होने के लिए?

— पीटर शोर

ऐसा मानते हुए $p$ तथा $q$ काफी बड़े हैं, एक उम्मीद करेगा कि परिधि के आधार पर कुछ सुधार अवधि के साथ अपेक्षित लंबाई मुख्य रूप से घनत्व पर निर्भर करेगी। तो यह, पहले आदेश के लिए, निम्न प्रपत्र का एक कार्य होगा।

L \approx (p q k)^{1 / 2} f (k / p q) + (p + q) g (k / p q) .

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

अब, आप छोटे आकार की समस्याओं पर प्रयोगों का उपयोग कर सकते हैं $f$ तथा $g$ कर रहे हैं। सबसे पहले, अनुमान लगाने के लिए $f$ , आप एक सीमा के बिना एक नमूना पर प्रयोग करना चाहते हैं: ऐसा करने का सबसे आसान तरीका ए का उपयोग करना है $p\times p$ बाईं ओर ग्रिड एक दाईं ओर और नीचे से ऊपर से जुड़ा हुआ है, जिससे एक टोरस बनता है। अनुमान लगाने के लिए $g$ , आप एक पर प्रयोगों का उपयोग कर सकते हैं $p \times q$ ग्रिड।

अनुमान के लिए, आपको अपेक्षाकृत बड़े टीएसपी को हल करने की आवश्यकता है (सटीक या लगभग), क्योंकि आप अनुमान लगाने के लिए जितना अधिक उपयोग करेंगे, आपके परिणाम उतने ही बेहतर होंगे। आप या तो उन आंकड़ों का उपयोग कर सकते हैं जो कुछ प्रतिशत या सटीक TSP कोड में आते हैं। कुछ अच्छे उत्तराधिकार के लिए यहां देखें । बिल कुक के कॉनकॉर्ड टीएसपी सॉल्वर यथोचित बड़े उदाहरणों के लिए सटीक इष्टतम पाएंगे (यह सबसे अच्छा टीएसपी कोड उपलब्ध है), और शैक्षणिक अनुसंधान के लिए शुल्क के बिना उपयोग किया जा सकता है।

— पीटर शोर
स्रोत

TSPLIB से शब्दावली का उपयोग करते हुए , मैं एसओपी नहीं TSP की तलाश में था। गुणा करना

E [L]

$E[L]$ द्वारा TSP के लिए गणना की गई

(k - 1) / k

$(k-1)/k$ एसओपी के लिए एक ऊपरी सीमा देता है। दुर्भाग्य से, कॉनकॉर्ड टीएसपी सॉल्वर एसओपी को संभालता नहीं है और मुझे कोई एसओपी सॉल्वर ऑनलाइन नहीं मिला।

— जावद

मैं हिसाब लगाता हूं

E [L]

$E[L]$ जो मामले बड़े हैं

L

$L$ और छोटा है

L

$L$ समान रूप से चारों ओर वितरित कर रहे हैं

E [L]

$E[L]$ , तो कोई एक रचनात्मक दृष्टिकोण के साथ एक व्यवस्था खोजने के लिए आ सकता है

k

$k$ ग्रिड में अंक जो (शायद लगभग) देता है

E [L]

$E[L]$ । इस तरह की व्यवस्था को खोजने से जाहिर तौर पर गणना की लागत में कमी आएगी।

— जावद

मैंने भी गुणांक के कारण को काफी नहीं समझा

k^{2}

$k^2$ । क्यों नहीं होना चाहिए

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$ ? के छोटे मूल्यों के लिए यह सन्निकटन सूत्रीकरण कैसे बदलता है

p

$p$ तथा

q

$q$ ?

— जावद

@ जवाद: अच्छा सवाल। मैं गलत था, क्योंकि मैं किसी तरह सोच रहा था

k^{2}

$k^2$ अंक जब मैंने अपना उत्तर लिखा। गुणांक मेरी धारणा से आता है कि

p \times q

$p\times q$ ग्रिड में इकाई लंबाई के किनारे होते हैं, इसलिए पूरे क्षेत्र का आकार होता है

p \times q

$p \times q$ । औसत किनारा लंबाई का होना चाहिए

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$ , और वहाँ है

k

$k$ किनारों, यदि आप चाहते हैं

f

$f$ मोटे तौर पर स्थिर रहने के लिए, पहला कार्यकाल होना चाहिए

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$ ।

— पीटर शोर

के लिये

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$ टीएसपी लंबाई और एसओपी लंबाई के बीच का अंतर लगभग नगण्य होना चाहिए।

— पीटर शोर