मैट्रिक्स पॉवरिंग की जटिलता

Question

चलो एक वर्ग पूर्णांक मैट्रिक्स हो, और एक सकारात्मक पूर्णांक होना। मुझे निम्नलिखित निर्णय समस्या की जटिलता में दिलचस्पी है:$M$$n$

क्या का शीर्ष-सही प्रवेश सकारात्मक है?$M^n$

ध्यान दें कि पुनरावृत्त वर्ग (या किसी अन्य स्पष्ट गणना) के स्पष्ट दृष्टिकोण के लिए हमें संभावित रूप से दोगुने घातीय परिमाण के पूर्णांक को संभालने की आवश्यकता है, अर्थात, घातीय रूप से कई बिट्स। हालाँकि समस्या को आसानी से अल्लेंडर एट अल के "पॉएसएसएलपी" वर्ग ( "न्यूमेरिकल एनालिसिस की जटिलता पर", एसआईएएम जे। कंप्यूट 38 (5) ) में देखा जाता है, और इसलिए चौथे चरण की गिनती पदानुक्रम में होती है। ।

1) क्या इस मैट्रिक्स पॉवरिंग समस्या को निम्न जटिलता वर्ग में रखना संभव है?

2) यदि नहीं, तो क्या यह संभवत: PosSLP- हार्ड हो सकता है?

3) मैं विशेष रूप से कम-आयामी मेट्रिक्स के लिए मैट्रिक्स पावरिंग समस्या में रुचि रखता हूं, अर्थात 6x6 मैट्रिसेस तक और इसमें शामिल हूं। क्या इस तरह के मेट्रिसेस के लिए जटिलता कम हो सकती है?

Comments

शीर्षक को "मैट्रिक्स पॉवरिंग की जटिलता" में नहीं बदला जाना चाहिए? मैट्रिक्स एक्सप्रेशनिएशन (उदाहरण के लिए देखें en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential ) आमतौर पर मैट्रिक्स ए, बी के लिए "ए = एक्सप (बी)" के रूप में समझा जाता है।

— मार्टिन श्वार्ज

मैं इसे संपादित करूंगा। यह एक अच्छा बिंदु है, @MartinSchwarz

— सुरेश वेंकट

यदि आप मैट्रिक्स को पीडीपी -1 के रूप में बदलते हैं (जो कि एक छोटी मैट्रिक्स के लिए और n की पर्याप्त रूप से उच्च शक्ति को स्थिर माना जा सकता है), तो आप तिरछे प्रविष्टियों के प्रत्येक प्रवेश का संकेत तुच्छ रूप से जान सकते हैं। फिर शेष दो मैट्रिक्स गुणाओं का पता लगाना आसान है।

— रॉबर्ट मेसन

@ रोबर्ट मेसन: मुझे बिल्कुल यकीन नहीं है कि आप क्या सुझाव दे रहे हैं। यदि D, M का जॉर्डन विहित रूप है, तो वह M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P है, तो D की प्रविष्टियाँ आमतौर पर जटिल बीजगणितीय संख्याएँ होंगी, इसलिए आपको उनके "संकेत" से क्या मतलब है? मैं मानता हूं कि आप बहुपद समय में बी और पी की गणना कर सकते हैं (बीजीय संख्याओं के मानक प्रतिनिधित्व को मानते हुए), लेकिन एम ^ एन = पी ^ (- 1) डी ^ एन पी के शीर्ष-दाएं प्रवेश के लिए आपको जो अभिव्यक्ति मिलेगी, वह एक अभिव्यक्ति होगी। पावर एन के लिए उठाए गए विभिन्न बीजीय संख्याओं को शामिल करना, और मैं यह नहीं देखता कि आप इस अभिव्यक्ति के संकेत को कैसे कुशलता से निर्धारित कर सकते हैं।

— जोएल

@ रोबर्ट मेसन: मुझे अभी भी समझ नहीं आया है - यह कैसे / क्यों इनवर्टेड मैट्रिस के लिए कुशल है? (और संयोग से, "अधिकांश" मैट्रिसेस विपरीत होने के बजाय उलटे हैं।)

— जोएल

Answer 1

आकार के मैट्रिक्स के लिए मैट्रिक्स पॉज़िटिविटी समस्या in (cf. यह पत्र STACS 2015 में प्रदर्शित होने के लिए है)$k = 2,3$$\mathsf{P}$

Comments

इसे पोस्ट करने का विरोध नहीं किया जा सका! :-)

— सामी