संदर्भ में

Question

संभावित प्रमाण प्रणाली $\mathcal{PCP}[f(n),g(n)]$ को आमतौर पर प्रतिबंध के रूप में जाना जाता है $\mathcal{MA}$, जहां आर्थर केवल $f(n)$ यादृच्छिक बिट्स का उपयोग कर सकते हैं और केवल $g(n)$ बिट्स की जांच कर सकते हैं मर्लिन द्वारा भेजे गए प्रमाण प्रमाण पत्र (देखें, http://en.wikipedia.org/wiki/Interactive_proof_system#cCP )।

हालाँकि, 1990 में, Babai, Fortnow, और Lund ने यह साबित कर दिया कि $\mathcal{PCP}[poly(n), poly(n)] = \mathcal{NEXP}$ , इसलिए इसका कोई प्रतिबंध नहीं है । कौन से पैरामीटर ( $f(n),g(n)$ ) हैं, जिसके लिए $\mathcal{PCP}[f(n), g(n)] = \mathcal{MA}$ ?

Answer 1

यदि आप पीसीपी के संदर्भ में एमए की परिभाषा को बहाल करना चाहते हैं, तो आपको पीसीपी के लिए एक और पैरामीटर की आवश्यकता है, अर्थात् प्रमाण लंबाई। एमए स्पष्ट रूप से बहुपद यादृच्छिकता, बहुपद प्रश्नों और बहुपद लंबाई के प्रमाण के साथ पीसीपी के समान है। आमतौर पर पीसीपी में प्रूफ की लंबाई प्रतिबंधित नहीं होती है (यानी, यह केवल यादृच्छिकता और प्रश्नों से निहित है), लेकिन एमए की परिभाषा को बहाल करने के लिए यह अपर्याप्त है।

यदि आप फॉर्म MA = PCP ( q ( n ), r ( n )) के कुछ लक्षण वर्णन की तलाश कर रहे हैं , जो कि MA की परिभाषा का केवल पुनर्स्थापन नहीं है, तो मुझे नहीं लगता कि ऐसा कोई लक्षण वर्णन ज्ञात है।

Answer 2

एक कठोरता इस धारणा के तहत, अर्थात्, कि जटिलता वर्ग घातीय आकार के सर्किट की आवश्यकता है, suffices derandomize को एम ए , ताकि एम ए = एन पी । वास्तव में, व्युत्पन्नकरण यह दिखाना है कि बी पी पी = पी (इम्पाग्लियाज़ो-विगडरसन या सूडान-ट्रेविसन-वधान देखें)। लेकिन चूंकि एम ए में सत्यापनकर्ता एक बी पी पी मशीन है, हम इसे एक नियतात्मक मशीन के साथ बदल सकते हैं।$E = DTIME(2^{O(n)})$$MA$$MA = NP$$BPP = P$$MA$$BPP$

इस प्रकार, इस कठोरता धारणा को मोडुलो करते हुए, में N P के समान सटीक PCP लक्षण वर्णन होना चाहिए । जटिलता समुदाय को दृढ़ता से लगता है कि कठोरता धारणा सच है, साथ ही साथ।$MA$$NP$

संपादित करें: आप एंडी ड्रकर के मास्टर्स थीसिस पर भी एक नज़र डाल सकते हैं: " की एक पीसीपी विशेषता ": http://eccc.hpi-web.de/report/2010/019/ ।$AM$

इम्पेग्लियाज़ो-विगडरसन: http://www.math.ias.edu/~avi/PUBLICATIONS/MYPAPERS/IW97/proc.pdf

सूडान-ट्रेविसन-वदन: http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/stv-full/ps

Answer 3

Tsuyoshi Ito ने इस प्रश्न का उत्तर शाब्दिक रूप से दिया, लेकिन मैं MA और PCP के शब्दार्थों के बारे में टिप्पणी करना चाहता था और वे कैसे भिन्न होते हैं।

एमए एनपी का संभाव्य संस्करण है, अर्थात, सत्यापनकर्ता को पाली-कई यादृच्छिक बिट्स का उपयोग करने के लिए भी मिलता है।

पीसीपी में हम सत्यापनकर्ता की "यादृच्छिकता" का उल्लेख कर सकते हैं, लेकिन आमतौर पर यादृच्छिकता सत्यापनकर्ता के चलने के समय में लघुगणक होती है, अर्थात, सत्यापनकर्ता स्वयं द्वारा सभी संभव यादृच्छिक तारों की कोशिश कर सकता था। दूसरे शब्दों में, यह "यादृच्छिकता" एमए के मामले के विपरीत सत्यापनकर्ता को किसी भी कम्प्यूटेशनल शक्ति को नहीं खरीदती है।

[तो क्या यह "यादृच्छिकता" के लिए अच्छा है? पीसीपी की बात यह है कि संभाव्य सत्यापन के लिए एकल परीक्षण - प्रूफ के लिए प्रश्नों की एक निरंतर संख्या के साथ - प्रत्यय]

परिशिष्ट (त्सुयोशी की टिप्पणी के बाद): एनपी की पीसीपी विशेषताओं में सत्यापनकर्ता के चलने का समय पाली-लॉगरिदमिक बनाया जा सकता है, और, इसी तरह, एनईएक्सपी की विशेषताओं में वेरिफायर का चलने का समय बहुपद है। बहरहाल, आमतौर पर पीसीपी निर्माणों में यादृच्छिकता का उपयोग केवल एक परीक्षण लेने के लिए किया जाता है (एनपी की विशेषताओं में, पॉली-कई परीक्षणों से बाहर, और एनईएक्सपी के चरित्रों में, बहुत से बाहर) और गणना के साथ मदद करने के लिए नहीं। इसके अलावा, एमए में, सबूत बहुपद आकार का है, जबकि NEXP के लक्षण वर्णन में, प्रमाण घातीय आकार का है।

Comments

मैं इस बात से सहमत हूं कि हम NP के लिए PCP प्रमेय में सत्यापनकर्ता को केवल लॉगरिदमिक यादृच्छिकता देते हैं ताकि अकेले यह यादृच्छिकता सत्यापनकर्ता को किसी भी कम्प्यूटेशनल पावर को न खरीदे। हालाँकि, ऐसा लगता है कि आप यह कहकर इससे अधिक सामान्य दावा कर रहे हैं कि "आमतौर पर सत्यता के चलने के समय में यादृच्छिकता लघुगणक होती है," मुझे डर है कि यह सच होने के लिए बहुत सामान्य है। आमतौर पर हम सत्यापनकर्ता को पीसीपी (पॉली, पॉली) = एनईएक्सपी (हालांकि ऐसा करने से इस समानता में बदलाव नहीं होता है) पर विचार करने पर भी घातीय समय व्यतीत करने की अनुमति नहीं देते हैं, और यह आपके कथन का प्रतिरूप प्रतीत होता है।

— त्सुयोशी इतो

पालन ​​करने के लिए धन्यवाद! मुझे लगता है कि अब मैं बेहतर समझता हूं कि आपके कहने का मतलब यह है कि एमए और पीसीपी यादृच्छिकता का अलग-अलग उपयोग करते हैं।

— त्सुकोशी इतो