क्या एन क्वीन्स समस्या एनपी-कठिन है?

Question

एन-क्वीन समस्या यह है:

इनपुट: एन

आउटपुट: NXN शतरंजबोर्ड पर N "क्वीन्स" का प्लेसमेंट ऐसा है कि कोई भी दो रानियां एक ही पंक्ति, कॉलम या विकर्ण पर न हों।

इस पर एक Google खोज करते हुए, मैंने पाया कि कई प्रोफेसरों द्वारा कई स्लाइड्स का दावा है कि यह एक एनपी-हार्ड समस्या है। (उदाहरण के लिए web.mst.edu/~ercal/387/slides/NP-Hard.ppt)

हालाँकि मैं एक प्रमाण खोजने में सक्षम था (या एक को प्राप्त)। इस प्रश्न को पूछने का कारण यह है क्योंकि मुझे लगता है कि मेरे पास एक एल्गोरिथ्म है जो समस्या के कुछ उदाहरणों को हल करता है अर्थात N के साथ 2 या 3 नहीं (N की संख्या कई है) संबंधित समस्या - क्या हम इनपुट आकार पर विचार कर सकते हैं एन (जहां एन रानियों की संख्या है)? या क्या हम लॉग (N) होने के लिए इनपुट आकार लेते हैं, क्योंकि लॉग (N) बिट्स में संख्या 'N' का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है?

Comments

(१) आप एन और एन दोनों का उपयोग क्यों करते हैं? क्या वे एक ही चर या विभिन्न चर हैं? (2) प्रत्येक पूर्णांक n के लिए 2 और 3 को छोड़कर, n × n बोर्ड पर n क्वीन की स्थिति को संतुष्ट करने के लिए n क्वीन लगाने का एक तरीका है ( विकिपीडिया देखें ), इसलिए मुझे नहीं पता कि आप किस समस्या के बारे में बात कर रहे हैं आप कहते हैं "यह एक एनपी-कठिन समस्या है।"

— त्सुयोशी इतो

मुझे याद है कि जब बोर्ड जरूरी नहीं होता है तो एक कठोरता परिणाम होता है: यानी, बोर्ड आकार को इनपुट के भाग के रूप में दिया जाता है।

— साशो निकोलेव

शतरंजबोर्ड के लिए NP-पूर्णता प्रमाण नहीं हो सकता है , क्योंकि इस समस्या में एकरी इनपुट है ... अर्थात, आकार लिए केवल एक इनपुट है , जबकि गवाह को एक बहुपद-आकार के विवरण की आवश्यकता है। महाने की प्रमेय कहती है कि एनपी-पूर्ण होने के लिए इस तरह की समस्या को दिखाने का मतलब होगा कि पी = एनपी। समस्या से निजात पाने के लिए आपको मज़ेदार बोर्ड शेप चाहिए। $n \times n$$n$

— पीटर शोर

शायद समाधानों को गिनना थोड़ी अधिक दिलचस्प समस्या है (#P वर्ग से परे जैसा कि "पूर्ण मैपिंग की गिनती के अनुपात पर साबित हुआ")।

— मार्जियो डी बायसी सेप

इन्हें भी देखें: dl.acm.org/citation.cfm?id=122322

— Jeffε

Answer 1

जैसा कि कहा गया है, इस सवाल का जवाब नहीं है।

संदर्भ: एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म http://dl.acm.org/citation.cfm?id=101343 [शिष्टाचार: vzn]

एक और बहुत सरल तकनीक: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=122322 [सौजन्य: जेफरी]

Comments

आप इस उत्तर को स्वीकार करने पर विचार कर सकते हैं ताकि यह अनुत्तरित के रूप में फिर से प्रकट न हो।

— सुरेश वेंकट

पहले संदर्भ में बहुपद-समय एल्गोरिथ्म एक समाधान का उत्पादन करने की गारंटी नहीं है। एल्गोरिथ्म सफल होता है या नहीं, यह प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर करता है, जिसे यादृच्छिक पर चुना जाता है, और लेखक केवल अनुभवजन्य साक्ष्य देते हैं कि ऐसा लगता है कि जब तक यह सफल न हो जाए तब तक बहुपद संख्या का परीक्षण करें।

— त्सुयोशी इतो

दूसरा संदर्भ कोई प्रमाण नहीं है। सिर्फ इसलिए कि n-500000 के साथ n-queens के लिए एक एकल संभव समाधान पाया जाता है, इसका मतलब यह नहीं है कि यह P में है (यह सिर्फ इसे अधिक संभावना बनाता है)

— Geoffrey De Smet

Answer 2

दरअसल, यह सिर्फ मामला दिखाया गया है।

https://blogs.cs.st-andrews.ac.uk/csblog/2017/08/31/n-queens-completion-is-np-complete/ ]

Comments

$N$

@ClementC। दरअसल, चूंकि मूल प्रश्न पर्याप्त सटीक नहीं है, इसलिए मुझे लगता है कि कैस्पर के पास एक बिंदु है भले ही उसका यह कहने का तरीका अधूरा हो। निर्णय लेना, n दिया गया, यदि कोई प्लेसमेंट मौजूद है, तो P में स्पष्ट रूप से है क्योंकि समस्या में हमेशा n> 3 के समाधान हैं। इस प्रकार, n- क्वीन्स पूरा होने की समस्या (यदि किसी दिए गए आंशिक समाधान का विस्तार किया जा सकता है) यह तय करना समस्या की जटिलता को देखने के लिए एक प्राकृतिक निर्णय समस्या है।

— होल सेफ़

@ भेड़िया वास्तव में एक वैध बिंदु है जिसे आप बनाते हैं, लेकिन एक कि यह उत्तर भी उल्लेख नहीं करता है (और यह कि एक पाठक को पढ़ने से बिल्कुल नहीं मिलेगा)। अस्पष्ट प्रश्न का भ्रामक उत्तर देना वास्तव में इष्टतम नहीं है।

— क्लेमेंट सी।