एक ग्राफ के संयोजन के एम्बेडिंग

Question

यहाँ: http://www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf (अध्याय एम्बेडिंग में) को प्लानेर ग्राफ के कॉम्बिनेटरियल एम्बेडिंग की परिभाषा दी गई है । (चेहरों की परिभाषा और इसी तरह) हालांकि इसे आसानी से किसी भी ग्राफ के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, वे प्लानर ग्राफ को ग्राफ के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसके लिए यूलर फॉर्मूला (यह मानते हुए कि ग्राफ जुड़ा हुआ है)। यह बहुत समझ में आता है कि हर प्लेन ग्राफ के लिए कॉम्बिनेटरियल एम्बेडिंग में चेहरों की परिभाषा टॉपलेस एम्बेडिंग में चेहरों की परिभाषा के समान है। (यह मानते हुए कि ग्राफ़ जुड़ा हुआ है। अन्यथा कॉम्बिनेटरियल एम्बेडिंग में हमारे पास हर जुड़े घटक के लिए अनंत चेहरा होगा)

सवाल यह है: अगर कुछ जुड़े हुए ग्राफ के लिए यह कॉम्बिनेटरियल एम्बेडिंग है, तो यूलर फॉर्मूला को संतुष्ट करता है, क्या इसका मतलब यह है कि यह ग्राफ टॉपोलॉजिकल अर्थों में प्लेनर है (इसमें प्लेन एम्बेडिंग है, यानी यह प्लेन ग्राफ है)?

Comments

बाद में इस पत्र में वे जवाब देते हैं कि यह संभव है। लेकिन क्या कोई सबूत के लिए कुछ लिंक दे सकता है?

— फिन्स्की

Answer 1

यह वास्तव में प्रति सेगमेंट के बारे में कम और टोपोलॉजी के बारे में अधिक है। एक कॉम्बिनेटरियल एम्बेडिंग एक 2-मैनिफोल्ड को परिभाषित करता है, एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें हर बिंदु में 2-आयामी ओपन डिस्क के लिए एक पड़ोसी होमियोमॉर्फिक होता है: एम्बेडिंग एक चेहरे को परिभाषित करने की अनुमति देता है, और हम प्रत्येक के लिए एक डिस्क चुनने पर एक टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित कर सकते हैं। चेहरा और उन्हें एक साथ ग्राफ किनारों के साथ gluing। टोपोलॉजी में एक प्रसिद्ध प्रमेय (जिसे 2-कई गुना का वर्गीकरण कहा जाता है) हमें बताता है कि कौन से 2-गुणन संभव हैं, और वे सभी एक-दूसरे से अलग-अलग हैं चाहे वे उन्मुख हों या क्या उनके पास एक ही यूलर विशेषता है (या दोनों ) - http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdf देखेंइस विषय पर कुछ उचित व्याख्यान नोट्स के लिए, उस प्रमाण को शामिल करें जो आप पूछ रहे हैं। इस वर्गीकरण में कोई अन्य 2-गुणनखण्ड नहीं हैं जिनमें गोला के समान ही Euler विशेषता है, इसलिए यदि आप Euler विशेषता की गणना करते हैं और पाते हैं कि यह एक क्षेत्र के लिए सूत्र से मेल खाता है, तो आप जानते हैं कि आपका एम्बेडिंग एक गोले पर होना चाहिए।

विमान में वास्तविक ज्यामितीय निर्देशांक के साथ एक एम्बेडिंग खोजना, एक बार आपके पास एक प्लैनर कॉम्बिनेटरियल एम्बेडिंग है, पूरी तरह से तुच्छ नहीं है, लेकिन यह श्नाइडर वुड्स के सिद्धांत का उपयोग करके किया जा सकता है। उदाहरण के लिए मेरे पास http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ पर इस पर कुछ व्याख्यान नोट हैं ।

Comments

इतने व्यापक उत्तर के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद! मैंने पहला पेपर पढ़ा है और ऐसा लगता है कि मुझे प्रमाण समझ में आ गया है। लेकिन मेरे पास एक सवाल बचा है: क्या इसका मतलब यह है कि अगर हम सतहों को परिभाषित करेंगे जो हमें पसंद है (मेरा मतलब है किनारों के कुछ मनमाने उपसमुच्चय, जैसे कि दहनशील आदेश और सामान के साथ दहनशील एम्बेडिंग में नहीं), उन सभी को इस तरह से एक साथ गोंद करें गोंद केवल 2 सतहों के किनारों को साझा करने पर है, परिणामी किनारों के छोरों पर परिणामी 'समुद्री मील' को वर्टिकल के रूप में परिभाषित करता है और यदि यूलर का सूत्र है, तो यह एक प्लैनर ग्राफ है?

— फिन्स्की

आपको सावधान रहना होगा कि आपको कई गुना मिलें: एम्बेडिंग के चेहरे को टोपोलॉजिकल डिस्क होना चाहिए, आपको बिना किनारे वाले किनारों को छोड़ने की अनुमति नहीं है, प्रत्येक किनारे को केवल एक दूसरे किनारे से चिपकाया जाना चाहिए, और प्रत्येक शीर्ष पर केवल होना चाहिए किनारों और चेहरों का एक चक्र इसके चारों ओर चिपका हुआ है (जैसे कि आपको क्या मिलता है यदि आप दो शंकुओं को एक साथ उनके सुझावों पर गोंद करते हैं)। इसके अलावा, आपको या तो एक जुड़े हुए ग्राफ से शुरू करने की जरूरत है, या प्रत्येक घटक के लिए अलग से यूलर विशेषता की गणना करें। लेकिन अगर यह सब सच है, और यूलर का फॉर्मूला है, तो हाँ, यह प्लानर है।

— डेविड एपपस्टीन

हाँ, उन मामलों के बारे में भूल गए, सुनिश्चित करें कि उन्हें भी पकड़ना होगा। आपका बहुत बहुत धन्यवाद!

— फिन्स्की