कुछ विशेषताओं से बचने वाले ग्रिड रंग की गिनती

Question

एक ग्रिड का -coloring एक फ़ंक्शन है । में एक टूटी हुई आयत एक tuple संतोषजनक - अर्थात, आयत के तीन कोने एक ही रंग के हैं।$k$$m \times n$$C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

मुझे निम्नलिखित प्रश्न में दिलचस्पी है:

एक फ़ंक्शन के रूप में , कितने -colorings मौजूद हैं (किसी भी आकार के ग्रिड के लिए) जो डुप्लिकेट पंक्तियों, डुप्लिकेट कॉलम और टूटी हुई आयतों से बचते हैं?$k$$k$

अब तक मैं जानता हूं कि इसका उत्तर परिमित है, और सबसे अच्छी ऊपरी सीमा जो मैं साबित कर सकता हूं वह है (नीचे देखें)।$k^{(1.5 k!)^2}$

मैं यह भी बताऊंगा कि यह एक अलग सवाल है, जिसके बारे में गैसार्च ने अपने ब्लॉग (और इस पत्र में ) पर अक्सर बात की थी । वह सभी मोनोक्रोमैटिक आयतों से बचना चाहता है, जबकि मुझे मोनोक्रोमैटिक आयतों से ऐतराज नहीं है, यह सिर्फ "टूटे हुए" हैं जिनसे मैं बचना चाहता हूं।

प्रेरणा क्या है? क्रिप्टोग्राफी में, हम ऐलिस (जो की समस्या पर विचार ) और बॉब (जो ) दोनों सीखने के लिए एक सहमति-समारोह , इस तरह से है कि वे अधिक नहीं जानने में । आप एक 2-आयामी तालिका के साथ स्वाभाविक रूप से को जोड़ सकते हैं , इसलिए, एक ग्रिड रंग। निम्नलिखित फ़ॉर्म की इस तरह की समस्या के लिए लक्षण हैं (लेकिन अलग-अलग संकेतन के साथ): " में कुछ क्रिप्टोग्राफिक रूप से दिलचस्प संपत्ति है अगर और केवल अगर में एक टूटी हुई आयत है।" उदाहरण के लिए, Kilian91 और BeimelMalkinMicali99 देखें ।$x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$

इसलिए क्रिप्टोग्राफी की कुछ सेटिंग में यह समस्या सामने आई है जिसकी मैं जांच कर रहा था। मेरे उद्देश्यों के लिए, यह जानना पर्याप्त था कि ग्रिड रंग की एक सीमित संख्या है जो टूटी हुई आयतों और डुप्लिकेट पंक्तियों / स्तंभों से बचें। लेकिन मुझे लगा कि कॉम्बिनेटरियल समस्या अपने आप में दिलचस्प है और मेरा मानना ​​है कि बेहतर सीमाएं संभव होनी चाहिए।

सबसे अच्छा बाध्य मैं साबित कर सकता हूं: और परिभाषित करें ; इसलिए। सबसे पहले, एक साबित कर सकते हैं कि अगर है एक में कम से कम के साथ रंग पंक्तियों, तो यह या तो एक डुप्लिकेट पंक्ति या टूट आयत है। समान रूप से, कोई भी कॉलम के संबंध में एक ही बात दिखा सकता है। (रंग के # पर कबूतर सिद्धांत से निम्नलिखित प्रमाण बहुत बुनियादी है।) इससे, हम जानते हैं कि हम जिन रंगों की परवाह करते हैं, उनमें से छोटे आयाम हैं , और हम प्राप्त कर सकते हैं। इस तरह के रंग की एक बहुत ढीली ऊपरी सीमा ।$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

मुझे लगता है कि इसे दो तरीकों से सुधारा जा सकता है: पहला, मुझे लगता है कि का इष्टतम मान । नीचे रंग का एक पुनरावर्ती रूप से परिभाषित) परिवार है, जहां आकार एक -coloring जो इन निषिद्ध सुविधाओं से बचता है:$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

मेरा मानना ​​है कि ये सबसे बड़ी -colorings हैं जो इन निषिद्ध संरचनाओं से बचती हैं।$k$

दूसरा , भले ही कोई ऊपर वर्णित पर बंधे को बेहतर कर सके, फिर भी हमारे पास यह तथ्य है कि कुल रंग की संख्या के लिए बहुत ही बाध्य है। यह सभी संभावित ग्रिड रंग को गिनता है , जिनमें से एक बड़ा हिस्सा संभवतः मना किया गया है।$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

Answer 1

यदि आप एक निश्चित लिए सीमाएँ चाहते हैं (बजाय एक विषम अभिव्यक्ति / सूत्र जो सभी लिए काम करता है ), तो एक दृष्टिकोण यादृच्छिक नमूने का उपयोग करना हो सकता है: बार-बार एक यादृच्छिक रंग चुनें, जांचें कि क्या यह आपके मानदंडों को पूरा करता है, और गिनती करें कि कितने में से परीक्षण सफल रहे। यह आपको उन रंगों के अंश का अनुमान देता है जो आपके मानदंडों को पूरा करते हैं। यह आपके मानदंड को पूरा करने वाले रंगों की कुल संख्या के मोटे अनुमान में परिवर्तित किया जा सकता है (बस ) से गुणा करें ।$k$$k$$k^{mn}$

फिर आप अपने मानदंडों को पूरा करने वाले रंगों की संख्या पर ऊपरी और निचले सीमाओं को प्राप्त करने के लिए बाध्य एक चेरनॉफ का उपयोग कर सकते हैं, जहां ये सीमाएं प्रायिकता (यादृच्छिक परीक्षणों पर ली गई) के साथ होती हैं। दूसरे शब्दों में, आपको गलत होने की उन सीमाओं के लिए यादृच्छिक परीक्षणों की अपनी पसंद में बेहद अशुभ होना होगा।$\ge 1-2^{-100}$