ग्रुप एक्शन के संदर्भ में गॉसियन एलिमिनेशन

Question

गाऊसी उन्मूलन एक मैट्रिक्स बहुपद-समय कम्प्यूटेशनल का निर्धारक बनाता है। निर्धारक, जो अन्यथा घातीय पदों का योग है कंप्यूटिंग में जटिलता को कम करने, वैकल्पिक नकारात्मक संकेत (कमी जिनमें से स्थायी है कंप्यूटिंग बनाता है की उपस्थिति के कारण है $\#P\mbox{-}hard$ यानी कठिन तो। $NP\mbox{-}C$ समस्याओं) । यह निर्धारक में किसी प्रकार की समरूपता की ओर जाता है, उदाहरण के लिए पंक्तियों या स्तंभों की एक जोड़ी का आदान-प्रदान केवल संकेतों को उलट देता है। मैं कहीं पढ़ता हूं, शायद वैलेंट द्वारा शुरू किए गए होलोग्राफिक एल्गोरिदम के संबंध में, कि गॉसियन उन्मूलन को समूह कार्रवाई के संदर्भ में समझाया जा सकता है और इसके कारण जटिलता में कमी के लिए सामान्य तकनीकों की ओर जाता है।

इसके अलावा, मुझे लगता है कि किसी भी कम्प्यूटेशनल समस्या के लिए जटिलता के लगभग सभी स्रोत कुछ समरूपता मौजूद हैं। क्या यह सच है? क्या हम समूह सिद्धांत के संदर्भ में इसे औपचारिक रूप से औपचारिक रूप दे सकते हैं?

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मुझे संदर्भ मिल गया । (पृष्ठ 2, दूसरे पैराग्राफ की अंतिम पंक्ति)। मैंने पेपर को ठीक से नहीं समझा, अगर मेरा प्रश्न पेपर की गलत समझ पर आधारित है, तो कृपया मुझे सही करें।

Comments

दूसरे पैराग्राफ पर मेरा व्यक्तिगत लेना: व्यापक हित की समस्याओं में अक्सर समरूपता होती है, चाहे उनके पास कुशल एल्गोरिदम हों या न हों। लेकिन इसके अलावा, मुझे आपकी भावना में सच्चाई नहीं दिखती है कि "किसी भी कम्प्यूटेशनल समस्या के लिए जटिलता के लगभग सभी स्रोत कुछ समरूपता मौजूद हैं।" उदाहरण के लिए, मैं यह देखने में विफल हूं कि क्रुस्क्मल के एल्गोरिथ्म का उपयोग क्या समरूपता है। इसके अलावा, यह देखने के लिए कि कुशल एल्गोरिदम समस्याओं में समरूपता से उत्पन्न होता है, यह स्पष्ट नहीं लगता है कि स्थायी रूप से समरूपता इसे स्पष्ट रूप से गणना करने में मदद क्यों नहीं करती है।

— त्सुयोशी इटो

नहीं, समरूपता हमेशा जटिलता को कम नहीं करती है। समूहों के बारे में हर दिलचस्प सवाल अनिर्दिष्ट है। छँटाई नहीं है।

— जेफ

इस दिशा में निकटतम औपचारिक कथन जो मन में आता है, वह है बीजीय द्विबीजपत्री अनुमान, जो (इसे बहुत अस्पष्ट रूप से कहने के लिए) बताता है कि एक सीएसपी पी में है अगर और केवल अगर कोई समाधान नहीं है, तो इस समाधान को एक दूसरे से अलग तीसरे समाधान में संयोजित करें। । एक उदाहरण एक रैखिक प्रणाली मॉड 2 को हल कर रहा है, जो कि गाऊसी उन्मूलन द्वारा हल किया जा सकता है, और जहां दो अलग-अलग समाधान समाधानों का एक संक्षिप्त उपसमूह निर्धारित करते हैं

— साशो निकोलेव

आह, तो आप वास्तव में किस बारे में बात कर रहे हैं, जीसीटी है, जो इस विचार से शुरू होता है कि स्थायी बनाम निर्धारक समस्या को (मोटे तौर पर) समरूपता के संदर्भ में समझा जा सकता है जिसके तहत दो कार्य अपरिवर्तनीय हैं।

— साशो निकोलेव

बहुत सारे कारण हैं कि एक समस्या एक कुशल एल्गोरिथ्म को क्यों स्वीकार करती है। उत्तलता, उप-प्रतिरूपता आदि समरूपता कुछ दहनशील समस्याओं में केस विस्फोट का कारण बनती है और कभी-कभी अक्षमता के स्रोत के रूप में देखी जाती है।

— विजय डी।

Answer 1

निर्धारक के मामले में, गाऊसी उन्मूलन को वास्तव में इस विचार के समकक्ष देखा जा सकता है कि निर्धारक का एक बड़ा समरूपता समूह (किसी विशेष रूप का) है और उस समरूपता समूह (जिसका अर्थ है n 2 चर में किसी अन्य सजातीय डिग्री बहुपद का अर्थ है) उन समरूपताओं के साथ निर्धारक का एक अदिश गुणक होना चाहिए)। (और, @Tsuyoshi Ito का कहना है कि स्थायी के समरूपता इसे कुशलता से गणना करने में मदद नहीं करते हैं: हालांकि स्थायी को इसके समरूपता की विशेषता भी है, लेकिन इसका समरूपता समूह निर्धारक की तुलना में बहुत छोटा है।)$n$$n^2$

आप इसे लिख सकते हैं - जहां निर्धारक के समरूपता का उपयोग गाऊसी उन्मूलन करने के लिए किया जाता है, साथ ही यह साबित करने के तरीके से कि निर्धारक को इसकी समरूपता की विशेषता है - प्रस्ताव में 3.4.3 मेरी थीसिस (बेशर्म स्व प्लग - लेकिन इसके अलावा, मैंने इसे पहले कभी भी इस तरह से नहीं देखा है और पूर्ण विवरण में लिखा है, जैसा कि ओपी पूछ रहा था, हालांकि मैं इसे पूरा कर चुका हूं; अगर किसी के पास अन्य संदर्भ हैं तो मुझे खुशी होगी)।

जैसा कि विचार है कि समरूपता हमेशा जटिलता में कमी (या नहीं) की ओर ले जाती है, टिप्पणियों में पहले से ही चीजों के अलावा, इस प्रश्न और इसके उत्तर देखें।

एक दिलचस्प बात यह है कि अब वैलेंटाइन के पहले पेपर में वैलेंट के बीजगणित जटिलता सिद्धांत के संस्करण के रूप में जाना जाता है, वह इस बिंदु को बनाने की कोशिश कर रहा था कि एक कारण निर्धारक महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल रूप से है क्योंकि लगभग सभी (तब) ज्ञात कुशल एल्गोरिदम हो सकते हैं। रैखिक बीजगणित और संयोजक की गणना करने के लिए थेंस को कम किया जाता है, उदाहरण के लिए प्लानर ग्राफ़ में मिलान की गणना के लिए FKT एल्गोरिथ्म। यह निश्चित रूप से एक अतिशयोक्ति है, लेकिन होलोग्राफिक एल्गोरिदम में अनुसंधान द्वारा वहन किया जाना जारी है, जो अक्सर Pfaffian (निर्धारक के एक करीबी रिश्तेदार) की गणना करना कम कर देता है। निश्चित रूप से वैलिएंट को पता था कि यह एक अतिशयोक्ति है, लेकिन यहाँ यह सुनिश्चित करने के लिए सटीक उद्धरण है कि मैं गलत बयानी नहीं कर रहा हूँ ( एल। वैलेंट। बीजगणित में पूर्णता की कक्षाएं। ACM STOC 1979 ):

हमारा मुख्य निष्कर्ष मोटे तौर पर संक्षेप में इस प्रकार हो सकता है:

(ए) रैखिक बीजगणित मध्यम डिग्री के बहुभिन्नरूपी बहुपद की गणना के लिए अनिवार्य रूप से एकमात्र तेज तकनीक प्रदान करता है

(ख) ...

Answer 2

ऐसे मामले हैं जहां किसी समस्या की समरूपता (प्रतीत होती है) इसकी जटिलता को दर्शाती है। एक बहुत ही दिलचस्प उदाहरण बाधा संतुष्टि समस्याएं (सीएसपी) हैं।

सीएसपी की परिभाषा

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

बहुरूपताओं

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

उदाहरण के लिए रैखिक समीकरणों के सिस्टम के लिए एक बहुरूपता । ध्यान दें कि । एक जो इस संपत्ति को संतुष्ट करता है उसे माल्टसेव ऑपरेशन के रूप में जाना जाता है। CSP जिनके पास माल्टसेव बहुरूपता है, गौसेन उन्मूलन द्वारा हल करने योग्य हैं।$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

दूसरी ओर, 3 शाब्दिक विच्छेदों में केवल बहुरूपता के रूप में तानाशाह होते हैं, अर्थात प्रकार ।$f(x, y) = x$

बहुरूपता और जटिलता (द्विभाजन अनुमान)

वास्तव में बहुरूपताओं कम्प्यूटेशनल निहितार्थ है: अगर एक सीएसपी के सभी बहुरूपताओं मानते हैं , तो को बहुपद समय कम करने योग्य है । यह औपचारिक रूप से कहने का एक तरीका है कि एक CSP जो कि एक और CSP तुलना में "कम सममित" है वास्तव में कठिन है।Γ 2 Γ 1 Γ 2 Γ 2 Γ $\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

जटिलता सिद्धांत में एक बड़ी खुली समस्या सीएसपी की कठोरता को चिह्नित करना है। फेडर और वर्डी के द्विभाजन अनुमान में कहा गया है कि कोई भी सीएसपी पी या एनपी-पूर्ण में है। अनुमान को बहुरूपता के बारे में एक बयान में कम किया जा सकता है: एक सीएसपी एनपी-कठिन है और केवल अगर केवल बहुरूपता है जो यह स्वीकार करता है कि "तानाशाह" हैं (अन्यथा यह पी में है)। यानी एक CSP केवल तभी कठिन होता है जब पुराने समाधानों से वास्तविक नए समाधान बनाने का कोई स्थानीय तरीका नहीं होता है। यदि भाग (कठोरता) ज्ञात है, लेकिन केवल यदि भाग (एक पॉलीटाइम एल्गोरिथ्म डिजाइन करना) खुला है।

हालांकि, एक महत्वपूर्ण मामला जहां हमारे पास एक द्विभाजन है, बूलियन सीएसपी है (जहां )। के अनुसार शेफ़र की प्रमेय , एक बूलियन सीएसपी, अगर यह 6 बहुरूपताओं में से एक मानते हैं पी में है अन्यथा यह एनपी पूरा हो गया है। छह बहुरूपता मूल रूप से हैं जिन्हें आपको समस्या को हल करने की आवश्यकता है या तो गॉसियन उन्मूलन या प्रचार द्वारा (जैसा कि आप हॉर्न-सैट उदाहरण के लिए करते हैं), या एक तुच्छ असाइनमेंट द्वारा हल करने के लिए।$U = \{0, 1\}$

बहुरूपता, सार्वभौमिक बीजगणित और द्विबीजपत्री अनुमान के बारे में अधिक पढ़ने के लिए, आप बुलटोव द्वारा सर्वेक्षण को देख सकते हैं ।

बहुरूपता और अनुमानितता

मैं प्रसाद राघवेंद्र के एक आईएएस व्याख्यान की भी सिफारिश करता हूं जहां वह अपना परिणाम डालता हैकिसी भी CSP की एक समान रूपरेखा में अद्वितीय खेल अनुमान लगाने के लिए किसी भी CSP की इष्टतम अनुमानितता देना। एक उच्च स्तर पर, अगर एक CSP के सभी बहुरूपताओं (इसे सन्निकटन समस्याओं को संभालने के लिए सामान्यीकृत करने की आवश्यकता होती है) तानाशाहों के करीब हैं, तो एक फ़ंक्शन तानाशाह होने पर परीक्षण करने के तरीके को डिज़ाइन करने के लिए CSP का उपयोग कर सकता है और यह पता चला है अद्वितीय खेलों से सन्निकटन कटौती की कठोरता देने के लिए आपको सभी की आवश्यकता होगी। यह उसके परिणाम की कठोरता को दिशा देता है; एल्गोरिदमिक दिशा यह है कि जब एक CSP में एक बहुरूपता होता है जो तानाशाह से दूर होता है, तो कोई यह कह सकता है कि एक प्रतिरूप सिद्धांत (केंद्रीय सीमा प्रमेयों के सामान्यीकरण) का उपयोग यह तर्क दे सकता है कि SDP गोलाई एल्गोरिथ्म एक अच्छा सन्निकटन देता है। एल्गोरिथम भाग के लिए वास्तव में स्केचिंग अंतर्ज्ञान: एक बहुरूपता जो एक तानाशाह से दूर नहीं है ' यह ध्यान रखें कि यदि यह तर्क (वितरण पर) चर असाइनमेंट या गौसियन यादृच्छिक चर के रूप में दिया जाता है जो स्थानीय रूप से चर असाइनमेंट पर वितरण का अनुमान लगाते हैं। यह उसी तरह से है कि एक योग फ़ंक्शन "परवाह नहीं करता है" अगर यह केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा छोटे विचरण या गौसियन आरवी के साथ एक ही विचरण के साथ असतत यादृच्छिक चर दिया जाता है। गौसियन रैंडम वैरिएबल जिनकी हमें आवश्यकता है, को CSP समस्या की SDP छूट से गणना की जा सकती है। इसलिए हम एक बहुरूपता पाते हैं जो एक तानाशाह से दूर है, इसे गॉसियन के नमूने खिलाएं, और एक अच्छा समाधान वापस पाएं। अगर इसे केंद्रीय संस्करण सीमा द्वारा छोटे विचरण या गॉसियन आरवी के साथ एक ही विचरण के साथ असतत यादृच्छिक चर दिया जाता है। गौसियन रैंडम वैरिएबल जिनकी हमें आवश्यकता है, को CSP समस्या की SDP छूट से गणना की जा सकती है। इसलिए हम एक बहुरूपता पाते हैं जो एक तानाशाह से दूर है, इसे गॉसियन के नमूने खिलाएं, और एक अच्छा समाधान वापस पाएं। अगर इसे केंद्रीय संस्करण सीमा द्वारा छोटे विचरण या गॉसियन आरवी के साथ एक ही विचरण के साथ असतत यादृच्छिक चर दिया जाता है। गौसियन रैंडम वैरिएबल जिनकी हमें आवश्यकता है, को CSP समस्या की SDP छूट से गणना की जा सकती है। इसलिए हम एक बहुरूपता पाते हैं जो एक तानाशाह से दूर है, इसे गॉसियन के नमूने खिलाएं, और एक अच्छा समाधान वापस पाएं।

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Bulatov ने CSR 2011 में अपने सर्वेक्षण के बारे में एक आमंत्रित बात भी की ।

— टायसन विलियम्स