क्या निम्न समस्या एनपी कठिन है?

Question

सेट के एक संग्रह पर विचार करें $F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$ एक बेस सेट पर $U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$ जहां $|F_i|$ $\ll$ $n$ और $e_i \in F_i$ , और $k$ एक सकारात्मक पूर्णांक होना।

लक्ष्य सेट का एक और संग्रह को मिल रहा है $C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$ से अधिक $U$ ऐसी है कि प्रत्येक $F_i$ ज्यादा से ज्यादा का एक संघ के रूप में लिखा जा सकता है $k$ $(k<<|C|)$ परस्पर संबंध तोड़ना में सेट $C$ और हम भी चाहते हैं $\sum_1^m |C_j|$न्यूनतम होना (यानी, C के सभी सेट में तत्वों की कुल संख्या$C$ जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए)।

ध्यान दें कि $F$ का U के समान आकार है $U$, लेकिन $C$ का आकार अनिश्चित है।

क्या कोई बता सकता है कि उपरोक्त समस्या एनपी-हार्ड है? (सेट कवर set पैकिंग covering परफेक्ट कवरिंग？

आपके समय के लिए धन्यवाद।

Comments

मुझे समझ नहीं आया कि "समस्या" क्या है। ऐसा क्या है जिसका आप जवाब देना चाहते हैं?

— अंकुर

C = {U} सेट करके यह समस्या तुच्छ क्यों नहीं है?

— त्सुयोशी इतो

"बहुत छोटा" के सटीक अर्थ के अलावा, मुझे अभी भी समस्या को समझने में परेशानी है। जैसा कि संशोधन 11 में कहा गया है, मुझे ऐसा लगता है कि इष्टतम समाधान हमेशा C = C या C = {∅} है। यदि हम एक बाधा जोड़ते हैं कि सी में एक तत्व के रूप में कम से कम एक गैर-रिक्त सेट होता है, तो कुछ तत्व के लिए C = {{e}} इष्टतम होगा।

— त्सुयोशी इतो

कृपया अपने स्वयं के प्रश्न को ध्यान से पढ़ें। आपने कभी यह नहीं कहा है कि C को चुना जाना चाहिए ताकि F_i को C से सेट के एक संघ के रूप में लिखा जा सके

— Tsuyoshi Ito

क्या मैं मूल सेट समस्या के रूप में सामान्य सेट आधार समस्या देख सकता हूँ?

— Rhein

Answer 1

लेम्मा। समस्या एनपी-हार्ड है।

प्रमाण स्केच। हम बाधाओं की अवहेलना | F i | « N = | यू | पोस्ट की समस्या में, क्योंकि, किसी भी उदाहरण के लिए ( एफ , यू , कश्मीर ) समस्या का उदाहरण ( एफ ' = एफ एन , यू ' = यू एन , कश्मीर ) के मिलन लेने के द्वारा प्राप्त की एन के स्वतंत्र प्रतियां ( एफ , यू , के ) (जहां $|F_i| \ll n = |U|$$(F,U,k)$$(F'=F^n,U'=U^n,k)$$n$$(F,U,k)$$i$की वें प्रति एफ का उपयोग करता है मैं वें की कॉपी यू इसके आधार सेट के रूप में) के बराबर है, और संतुष्ट बाधा (यह है | एफ ' मैं | ≤ n « एन 2 = | यू ' | )।$F$$i$$U$$|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

हम 3-सैट से कमी देते हैं। प्रस्तुति के लिए, कमी के पहले चरण में, हम उपेक्षा की कमी ई मैं ∈ एफ मैं पोस्ट की समस्या में। दूसरे चरण में हम वर्णन करते हैं कि कमी की शुद्धता बनाए रखते हुए उन बाधाओं को कैसे पूरा किया जाए।$e_i \in F_i$

पहला चरण। किसी भी 3-सैट सूत्र ठीक φ । डब्ल्यूएलओजी मान लें कि प्रत्येक खंड में वास्तव में तीन शाब्दिक हैं (प्रत्येक एक अलग चर का उपयोग करके)। पोस्ट की समस्या के निम्न उदाहरण ( F , U , k ) को k = 3 के साथ उत्पन्न करें ।$\phi$$(F,U,k)$$k=3$

चलो n में चर की संख्या हो φ । हैं 3 n + 1 में तत्वों यू : एक तत्व टी (के लिए "सही"), और, के लिए प्रत्येक चर x मैं में φ , तीन तत्वों x मैं , ¯ एक्स मैं , और च मैं (के लिए "झूठे")।$n$$\phi$$3n+1$$U$$t$$x_i$$\phi$$x_i$$\overline x_i$$f_i$

U में प्रत्येक तत्व के लिए F में केवल उस तत्व से युक्त एक सिंगलटन सेट है । किसी भी समाधान C में इनमें से प्रत्येक सेट शामिल है, जो C की लागत में उनके कुल आकार 3 n + 1 का योगदान देता है ।$U$$F$$C$$3n+1$$C$

इसके अलावा, प्रत्येक चर के लिए x मैं में φ एक "चर" सेट है { x मैं , ¯ एक्स मैं , च मैं , टी } में एफ । Ause में प्रत्येक क्लॉज के लिए F में एक "क्लॉज" सेट होता है, जिसमें क्लॉज में शाब्दिक और टी होता है । उदाहरण के लिए, खंड एक्स 1 ∧ ¯ एक्स 2 ∧ एक्स 3 पैदावार सेट { x 1 , ¯ एक्स 2 , $x_i$$\phi$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$F$$\phi$$F$$t$$x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$एफ में 3 , टी } ।$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$F$

दावा 1. : कमी सही है φ है तृप्तियोग्य iff कुछ समाधान सी लागत है Σ जे | सी जे | = 5 एन + 1 ।$\phi$$C$$\sum_j |C_j| = 5n+1$

(केवल अगर) मान लें कि ose संतोषजनक है। एक हल सी का निर्माण करें जिसमें 3 एन + 1 सिंग्लटन सेट शामिल हैं, साथ ही, प्रत्येक चर x i , सही शाब्दिक और टी से मिलकर जोड़ी है । (उदाहरण के लिए, { ¯ एक्स मैं , टी } अगर एक्स मैं गलत है।) की लागत सी तो है 5 n + 1 । $\phi$$C$$3n+1$$x_i$$t$$\{\overline x_i, t\}$$x_i$$C$$5n+1$

प्रत्येक चर सेट { x मैं , ¯ एक्स मैं , च मैं , टी } तीन सेट का मिलन है: सच शाब्दिक और से मिलकर जोड़ी टी , के साथ साथ दो सिंगलटन सेट, अन्य दो तत्वों में से प्रत्येक के लिए एक। (उदाहरण के लिए, { ¯ एक्स मैं , टी } , { x मैं } , { च मैं } ।)$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$t$$\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

प्रत्येक खंड सेट (जैसे { x 1 , ¯ एक्स 2 , x 3 , टी } ) तीन सेट का मिलन है: एक जोड़ी से मिलकर टी और एक सच्चे शाब्दिक, प्लस दो सिंगलटन सेट, अन्य दो शाब्दिक से प्रत्येक के लिए एक। (उदाहरण के लिए, { x 1 , टी } , { ¯ एक्स 2 } , { x 3 } ।)$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$t$$\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(अगर) मान लीजिए कि आकार 5 n + 1 का एक समाधान C है । समाधान में 3 n + 1 सिंगलटन सेट होना चाहिए , साथ ही कुल आकार 2 n के अन्य सेट भी होने चाहिए ।$C$$5n+1$$3n+1$$2n$

पहले विचार करें n प्रपत्र के प्रत्येक "चर" सेट, { x मैं , ¯ एक्स मैं , च मैं , टी } । सेट सी में सबसे अधिक तीन सेटों का असंतुष्ट संघ है । सामान्यता के नुकसान के बिना, यह दो एकल और एक जोड़ी का असंतुष्ट संघ है (अन्यथा, सी में विभाजन सेट लागत में वृद्धि के बिना इसे प्राप्त करता है)। जोड़ी P i को अस्वीकार करें । जोड़े पी मैं और पी जे विभिन्न चर के लिए x मैं और एक्स जे अलग हैं, क्योंकि$n$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$C$$C$$P_i$$P_i$$P_j$$x_i$$x_j$पी मैं शामिल एक्स मैं , ¯ एक्स मैं , या च मैं लेकिन पी जे नहीं करता है। इसलिए, इन युग्मों के आकार का योग 2 n है । इसलिए ये जोड़े समाधान में एकमात्र गैर-एकल सेट हैं। $P_i$$x_i$$\overline x_i$$f_i$$P_j$$2n$

अगला "खंड" सेट, जैसे, पर विचार { x मैं , ¯ एक्स जे , एक्स कश्मीर , टी } । ऐसे प्रत्येक सेट में C में सबसे अधिक तीन सेटों का मिलन होना चाहिए , यानी दो सिंगलटन सेट और कम से कम एक जोड़ी P i , P j , या P k तक । जोड़े और खंड सेट का निरीक्षण करके, यह दो एकल और एक जोड़ी का मिलन होना चाहिए, और यह जोड़ी प्रपत्र { x i , t } या { ¯ x j , t } के रूप में होनी चाहिए$\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$$C$$P_i$$P_j$$P_k$$\{x_i, t\}$$\{\overline x_j, t\}$ (a literal and $t$).

Hence, the following assignment satisfies $\phi$: assign true to each variable $x_i$ such that $P_i=\{x_i, t\}$, assign false to each variable $x_i$ such that $P_i=\{\overline x_i, t\}$, and assign the remaining variables arbitrarily.

Stage 2. The instance $(F,U,k=3)$ produced above does not satisfy the constraint $e_i \in F_i$ stated in the problem description. Fix that shortcoming as follows. Order the sets $F_i$ and elements $e_i$ in $U$ so that each singleton set corresponds to its element $e_i$. Let $m$ be the number of clauses in $\phi$, so $|F|=1+4n+m$ and $|U|=1+3n$.

Let $(F', U', k'=4)$ denote the instance obtained as follows. Let $A$ be a set of $2n+2m$ new artificial elements, two for each non-singleton set in $F$. Let $U'=U\cup A$. Let $F'$ contain the singleton sets from $F$, plus, for each non-singleton set $F_i$ in $F$, two sets $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i,a_i'\}$, where $a_i$ and $a_i'$ are two elements in $A$ chosen uniquely for $F_i$. Now $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ and (with the proper ordering of $F'$ and $U'$) the constraint $e'_i\in F'_i$ is met for each set $F'_i$.

To finish, note that $(F',U',k'=4)$ has a solution of cost $|A|+5n+1$ iff the original instance $(F, U, k=3)$ has a solution of cost $5n+1$.

(if) Given any solution $C$ of cost $5n+1$ for $(F,U,k=3)$, adding the $n+m$ sets $\{a_i, a'_i\}$ (one for each non-singleton $F_i$, so these partition $A$) to $C$ gives a solution to $(F', U', k'=4)$ of cost $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$.

(only if) Consider any solution $C'$ for $(F', U',k=4)$ of cost $|A|+5n+1$. Consider any pair of non-singleton sets $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i, a_i'\}$ in $F'$. Each is the disjoint union of at most 4 sets in $C'$. By a local-exchange argument, one of these sets is $\{a_i, a_i'\}$ and the rest don't contain $a_i$ or $a_i'$ --- otherwise this property can be achieved by a local modification to the sets, without increasing the cost... (lack of detail here is why I'm calling this a proof sketch). So removing the $\{a_i, a_i'\}$ sets from $C'$ gives a solution $C$ for $(F,U,k=3)$ of cost $5n+1$. $\diamond$