कम प्रायिकता के बिना उच्च संभावना वाले कार्यक्रम समन्वय करते हैं

Question

चलो $X$ एक यादृच्छिक चर हो जिसमें मान हो $\Sigma^n$ (कुछ बड़े वर्णमाला के लिए $\Sigma$), जिसमें बहुत अधिक एन्ट्रापी हैं - कहते हैं, $H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$ मनमाने ढंग से छोटे स्थिरांक के लिए $\delta$। चलो$E \subseteq \rm{Supp}(X)$ के समर्थन में एक घटना हो $X$ ऐसा है कि $\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$, जहां एक मनमाना छोटा स्थिरांक है।$\varepsilon$

हम कहते हैं कि एक जोड़ी का एक कम प्रायिकता समन्वय है अगर । हम कहते हैं कि एक स्ट्रिंग में की कम प्रायिकता समन्वय है यदि कुछ लिए का कम प्रायिकता समन्वय है ।$(i,\sigma)$$E$$\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$$x \in \Sigma^n$ $E$$(i, x_i)$$E$$i$

सामान्य तौर पर, कुछ तार की कम संभावना निर्देशांक हो सकती है । सवाल यह है कि क्या हम हमेशा एक उच्च संभावना वाली घटना जैसे कि में कोई स्ट्रिंग कम प्रायिकता समन्वय नहीं है (और नहीं )।$E$$E$$E' \subseteq E$$E'$$E'$$E$

धन्यवाद!

Answer 1

यहाँ एक उदाहरण है जो हैरी यूएन के जवाब को पूरक करता है। एक जवाबी उदाहरण के लिए, यह उचित परिभाषित करने के लिए पर्याप्त होता है और बताते हैं कि किसी भी बड़े सबसेट एक कम संभावना के सह तालमेल होना आवश्यक है - के एक कम संभावना समन्वय जरूरी एक कम संभावना सह है -ऑर्डिनेट ऑफ ।$X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

इसके अलावा, मैं एन्ट्रापी के बारे में स्थिति को नजरअंदाज कर दूंगा - स्वतंत्र रूप से एक समान रूप से वितरित (और से ) को बढ़ाने से बढ़ जाएगा।इस तरह के मौजूद है या नहीं (यह ध्यान से के माध्यम से हालांकि मैं नहीं है) को प्रभावित किए बिना लगभग ।$N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

यहाँ उदाहरण है। बता दें कि का एक यादृच्छिक तत्व है, जिसमें हैमिंग वेट (यानी वैक्टर) वाले प्रत्येक वेक्टर में प्रायिकता है ऑल-वे वेक्टर में प्रायिकता । बता दें कि हमिंग वेट साथ वैक्टर का सेट है ।$X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

एक सबसेट पर विचार करें । यदि खाली नहीं है, तो इसमें हैमिंग वेट का वेक्टर होता है , जो बिना किसी नुकसान के कहता है। लेकिन , जो कि से कम है। लगभग ।$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

Answer 2

कैसे करता है तुलना ? यदि हो सकता , तो मुझे लगता है कि हम पूरा कर सकते हैं कि आप क्या चाहते। चलो । ध्यान दें कि को तहत प्रायिकता द्रव्यमान दिया गया है । Let , में स्ट्रिंग्स को असाइन किए गए प्रायिकता द्रव्यमान को निरूपित करता है जैसे कि th निर्देशांक में प्रतीक ।$\epsilon$$n$$\epsilon$$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

मान लीजिए में कुछ तारों के लिए एक कम संभावना समन्वय था । Let उन स्ट्रिंग्स को सौंपे गए प्रायिकता द्रव्यमान को निरूपित करता है। फिर, परिभाषा से, , उस अर्थ है । हम केवल संभावना में एक नुकसान पीड़ित करते हुए इन कम संभावना तार को त्याग सकते हैं । लिए बड़े पैमाने पर ।$(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$$\delta(i,\sigma)$$E$

सभी संभव बुरे लिए ऐसा करना जारी रखें , और अंत में हम केवल । इस का उपयोग करता है तथ्य यह है कि सभी के लिए , ।$(i,\sigma)$$\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$$i$$\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$

यदि आप चाहते हैं कि में प्रायिकता द्रव्यमान , तो को ऐसा होना चाहिए कि , या वह सहन करता है।$E'$$1 -\gamma$$\epsilon$$\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$$\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$

यह मेरे लिए फिलहाल स्पष्ट नहीं है कि क्या पर निर्भरता से छुटकारा पाया जा सकता है; मैं इसके बारे में सोचता रहूंगा।$n$

Comments

ओह, मैं सिर्फ महसूस किया कि आप एक मजबूत आवश्यकता के लिए देख रहे - अर्थात्, कि के संबंध में कोई कम संभावना निर्देशांक नहीं है , नहीं । मैं आज बाद में वापस आऊँगा। $E'$$E'$$E$

— हेनरी यूएन

धन्यवाद! मैं एक एप्सिलॉन की तलाश में हूं जो निरंतर है, लेकिन मनमाने ढंग से छोटा हो सकता है।

— या मेयर