क्या बूलियन चर एनपी की सूची को पूरा करने के लिए ऑपरेटरों को खोजने की समस्या है?

Question

यह SAT के समान है, सिवाय इसके कि हम प्रत्येक चर के असाइनमेंट को जानते हैं, लेकिन किसी बूलियन ऑपरेटर के असाइनमेंट को नहीं जानते हैं। उस स्थिति में, प्रत्येक ऑपरेटर का असाइनमेंट ढूंढ रहा है इसलिए अभिव्यक्ति किसी दिए गए बूलियन मान का एनपीसी समस्या का मूल्यांकन करता है?

वास्तव में, मैं सोच रहा था कि एक पूर्णांक अंकगणितीय अभिव्यक्ति (उदाहरण के लिए, = 10) को पूरा करने के लिए अंकगणितीय संचालकों का असाइनमेंट क्या NP पूर्ण है?$1$ $op_1$ $3$ $op_2$ $7$ $op_3$ $op_4$

Comments

इसलिए, अगर मैं सही तरीके से समझ गया हूं, तो आप जानते हैं कि सूत्र संतोषजनक है और आप बूलियन ऑपरेटरों के एक असाइनमेंट को जानना चाहते हैं। बस सभी "ऑपरेटर चर" को ऑपरेटर असाइन करें और आप कर रहे हैं। मैं दूसरी समस्या के बारे में नहीं जानता, लेकिन यह दिलचस्प लग रहा है। $\vee$

— जॉर्ज

@ जॉर्ज: मुझे नहीं लगता कि समाधान सही है। क्या होगा अगर सभी बूलियन मूल्यों को झूठे पर सेट किया जाता है? यह सवाल दिलचस्प है, लेकिन इसके लिए थोड़ी मेहनत करनी पड़ सकती है। हम बूलियन ऑपरेटरों के किस सेट से चुन रहे हैं? संभवतः आप बाइनरी बुलियन ऑपरेटरों जैसे एक दिलचस्प सबसेट का मतलब है । यदि आप सभी बाइनरी बूलियन ऑपरेटरों को शामिल करते हैं, तो समस्या तुच्छ है - बस 'सच' के लिए निरंतर मानचित्र चुनें। $\{ \lor, \land, \Leftrightarrow \}$

— हक बेनेट

जैसा कि हक़ ने कहा, लेने सभी के लिए । हालाँकि यदि आप ऑपरेटरों को किसी विशेष सेट पर सीमित रखते हैं तो प्रश्न अधिक दिलचस्प होगा। इसी तरह अंकगणित के मामले के लिए। $x \mathop{op_i} y = 1$$i$

— केवह

ऐसा लगता है कि यह QBF के लिए कुछ कनेक्शन हो सकता है या संभवतः इसे कम कर सकता है। शायद एक QBF का निर्माण किया जा सकता है जो हल किए जाने पर ऑपरेटरों को देता है। सही? तेजी से निरीक्षण करने पर ऐसा लगता है कि यह Pspace पूर्ण हो सकता है ... यदि कोई कोष्ठक नहीं हैं, तो आपको पूर्वता को भी परिभाषित करना होगा। और से अधिक है? जब कोष्ठक / समूह को परिभाषित किया जा सकता है तो समस्या अधिक स्वाभाविक लगती है।

— vzn

@GeorgeB। मुझे खेद है कि मैंने इसे स्पष्ट नहीं किया। एक बूलियन अभिव्यक्ति का मूल्यांकन किसी भी दिए गए बूलियन मान हो सकता है, या तो 0 या 1.

— डीएसाउंडर्स

Answer 1

जोड़ और घटाव के साथ, मुझे लगता है कि विभाजन की समस्या , जो एनपी-हार्ड है, आपकी दूसरी समस्या को कम कर देती है।

एक सेट को देखते हुए हम समस्या पैदा करते हैं$S = \{s_1, s_2, \ldots, s_n\}$

$s_1$ $op_1$ $s_2$ $op_2$ $s_3$ $op_3$ $\ldots op_{n-1}$ $s_n = 0$ ।

यदि कोई समाधान मौजूद है, तो हम दो सेट बनाते हैं:

$S_1 = \{s_1\}\cup \{s_i | op_{i-1} = +\}$

$S_2 = \{s_i | op_{i-1} = -\}$

इन दो सेटों को हमारी मूल समस्या के सेटअप द्वारा समान राशि प्राप्त करनी होती है, इसलिए विभाजन समस्या हल हो जाती है। इससे पता चलता है कि न केवल इस समस्या के वास्तविक समाधान के साथ आ रहा है कठिन, यह वास्तव में यह निर्धारित करने के लिए एनपी कठिन है कि क्या कोई समाधान मौजूद है (कम से कम इसके अलावा और घटाव के लिए)।

उन ऑपरेशनों के सेट के लिए जो नकारात्मक पूर्णांक बनाने की अनुमति नहीं देते हैं, गुणा और जोड़ कहते हैं, यह इतना स्पष्ट नहीं है। इसके अलावा, यह केवल दिखाता है कि समस्या कमजोर रूप से एनपी-हार्ड है; एक कमी हो सकती है जो इस से अधिक मजबूत परिणाम देती है।

Comments

मुझे लगता है कि आपके प्रमाण को काफी आसानी से मामले में अनुकूलित किया जा सकता है , बस लक्ष्य समस्या को । फिर एक समाधान निकलता है भाजक अंश रूप में ही है (यह मानते हुए सभी के लिए )। बेशक यह चार ऑपरेटर मामले नहीं देता है, लेकिन फिर हमें संचालन के आदेश को भी संभालना होगा। s 1 … s n = $\times/\div$$s_{1}\ldots s_{n} = 1$$s_{i} > 0$$i$

— ल्यूक मैथिसन

धन्यवाद, @Sam और ल्यूक। क्या होगा यदि हम सभी चार ऑपरेटरों को मिलाते हैं? सहज रूप से अधिक ऑपरेटर होने से समस्या केवल और अधिक जटिल हो जाएगी, लेकिन मुझे सीधे-सीधे प्रमाण नहीं मिलते हैं।

— DSounders

फिर भी चारों और सोचता रहा। हम आसानी से भी प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यह अभी भी एक समय में केवल दो है। $+/\div$

— ल्यूक मैथिसन

इसके अलावा, एक मजबूत (मजबूत) उत्पाद की क्षमता का एक संदर्भ : "" उत्पाद विभाजन "और शेड्यूलिंग और सिस्टम विश्वसनीयता की संबंधित समस्याएं: कम्प्यूटेशनल जटिलता और सन्निकटन" scirectirect.com/science/article/pii/S0377221710003905$NP$

— ल्यूक मैथिसन

Answer 2

संक्षिप्त जवाब। गेट-सेट के किसी भी वांछित विकल्प पर, सैट के ऑपरेटर संस्करण कुशलता से हल करने योग्य है - कम से कम, यदि हम बिना फैन-आउट वाले दो-इनपुट गेटों के मनमाने सर्किट को मानते हैं।

लंबा जवाब। मैं बूलियन समस्या के निम्नलिखित रूप को मानता हूं:

2-वृक्ष-OPSAT। एक इनपुट को देखते हुए के लिए और एक गेट सेट 2-इनपुट एक उत्पादन फाटकों से मिलकर, एक सर्किट वहां मौजूद करता है में फाटकों से मिलकर कौन सा स्वीकार करता है, जो इनपुट ( सर्किट के क्रम में पत्तियों के लिए मैपिंग बिट्स) दिए जाने पर संतुष्ट है ? एन ⩾ 2 जी सी जी एक्स एक्स एक्स $x \in \{0,1\}^n$$n \geqslant 2$$\mathcal G$$C$$\mathcal G$ $x$$x$$x$$C$

विशेष रूप से, हम सर्किट (बाइनरी पेड़ों से अलग होने पर) पर कोई विशेष संरचना नहीं लगाते हैं , पंखे से बाहर निकलने की अनुमति नहीं देते हैं (ताकि प्रत्येक का उपयोग केवल एक बार किया जाए), और द्वार असममित हो सकते हैं। केवल दो-बिट फाटकों की अनुमति देकर, मैं NOT गेट को बाहर करता हूं (लेकिन जिसे कई गेटों के द्वारा सिम्युलेटेड किया जा सकता है जो एक दूसरे से संबंधित हैं जैसे कि AND / NAND ; और मैं उन गेटों को भी बाहर करता हूं जो बिना किसी इनपुट के आउटपुट स्थिरांक हैं है, तो सर्किट में फाटकों की संख्या वास्तव में हमेशा रहेंगे कि एक के लिए -बिट इनपुट। लिए संक्षिप्तता की खातिर, मैं करने के लिए संदर्भित करेंगे 2-वृक्ष-OPSAT नीचे बस के रूप में OPSATएक्स एन - 1 $C$$x$$n-1$$n$; हालांकि समस्या का विश्लेषण मनमाने ढंग से k -input गेट्स ( k-TREE-OPSAT ) की अनुमति देने या फैन-आउट (जिसे हम k-FANOUT-OPSAT कह सकते हैं ) की अनुमति देने वाले सर्किट के लिए और अधिक कठिन हो सकता है ।

[ जोड़ने के लिए संपादित : हम आपके प्रश्न के वर्तमान संशोधन की अधिक सामान्य समस्या पर विचार करने के लिए इसे आसानी से अनुकूलित कर सकते हैं, जिसमें हम दिए गए लक्षित मान पर मैप करने का प्रयास करते हैं नीचे दिए गए विश्लेषण में और की भूमिकाओं को इंटरचेंज करके ; इस की भूमिका अंतर्विनिमय का प्रभाव पड़ता है और और या , नन्द और न ही , आदि ] ख ∈ { 0 , 1 } 0 $x \in \{0,1\}^\ast$$b \in \{0,1\}$$0$$1$$\def\et{\wedge}\def\ou{\vee}\def\AND{\mathop{\text{AND}}}\def\NAND{\mathop{\text{NAND}}}\def\OR{\mathop{\text{OR}}}\def\NOR{\mathop{\text{NOR}}}\def\EQUAL{\mathop{\text{EQUAL}}}\def\PARITY{\mathop{\text{PARITY}}}$

के एक निश्चित विकल्प के लिए , उपयुक्त फाटकों के साथ एक उपयुक्त पेड़ चुनने की समस्या एक तार्किक विघटन के विपरीत नहीं है: तुल्यता जैसे कि हम अधिक जटिल गेट सेट से संबंधित संग्रह के बीच में कटौती को सरल (और शक्तिशाली) गेट सेट से कर सकते हैं; एक गेट सेट से संबंधित अन्य गेट्स का अनुकरण करने में सक्षम होने की बात कर सकता है, बुद्धिमानी से कुछ तत्व को चुनकर, जिसका एक ही प्रभाव होता है (जब किसी विशेष इनपुट के साथ प्रस्तुत किया जाता है) गेट । विशेष रूप से, गेट्स के कुछ संयोजन (जैसे कि ) निरंतर कार्य करने वाले अनुकरण कर सकते हैंया ( एक्स , वाई $x \in \{0,1\}^n$ जी जी ∉ जी { या , नन्द }

$$\OR(x,y) \;\equiv\;\Bigl(\AND(x,y) \;\ou\; \PARITY(x,y)\Bigr)$$ $\mathcal G$$G \notin \mathcal G$$\{ \OR, \NAND \}$$1$: हम कहते हैं कि इस तरह के गेट-सेट तना हुआ हैं ।

हम गेट सेटों पर विचार करते हुए आगे बढ़ते हैं, जिसमें विभिन्न प्रकार के गेट्स , बाद में विश्लेषण के बाद के मामलों से उन गेट्स को छोड़कर, यह दिखाने के लिए कि गेट्स-सेट किसी भी एक गेट को शामिल करते हैं, एक ट्रैक्टेबल समस्या की ओर जाता है। हम दो-बिट स्ट्रिंग्स की संख्या के क्रम में आगे बढ़ेंगे, जो प्रश्न गेट से शुरू होकर निरंतर गेट तक संतुष्ट हैं ।१ $G$$1$$0$

1. किसी भी गेट सेट के लिए जिसमें निरंतर गेट , हम केवल उस गेट का उपयोग करके अकेले का निर्माण कर सकते हैं, जिस स्थिति में किसी भी स्वीकार करता है । जी ( एक्स , वाई ) = 1 सी सी $\mathcal G$$G(x,y) = 1$$C$$C$$x$

2. या नंद। किसी भी गेट सेट के लिए जिसमें : यदि अन्य सभी गेट्स को संतुष्ट करते हैं , तो कोई अन्य गेट चुनने का कोई लाभ नहीं है लेकिन सर्किट के निर्माण में । केवल गेट्स का एक सर्किट किसी भी स्ट्रिंग को को छोड़कर स्वीकार करता है । अन्यथा, वहाँ एक गेट मौजूद है, जैसे कि tautologous है। तो OPSAT के किसी भी उदाहरण के साथ आसान है; और इसी तरह की टिप्पणी लागू होती है ।या जी ∈ जी जी ( एक्स , वाई $\mathcal G$$\OR$$G \in \mathcal G$या सी या एक्स ∈ 0 * जी ∈ जी { जी , या } या ∈ जी नन्द ∈ $G(x,y) \implies \OR(x,y)$$\OR$$C$$\OR$$x \in 0^\ast$$G \in \mathcal G$$\{G, \OR\}$$\OR \in \mathcal G$$\NAND \in \mathcal G$

3. इम्प्लांटेशन जैसा गेट। गेट , जो केवल शून्य का आउटपुट देता है यदि । निम्न के लिए, गेट लिए एक समान विश्लेषण लागू होगा । किसी भी स्ट्रिंग । यदि में समाप्त होता है , तो को फॉर्म के सबस्ट्रिंग में विघटित करें ; इस तरह के प्रत्येक , हम को दाईं ओर से बाईं ओर लागू करते हैं, जो प्रत्येक लिए आउटपुट देता है । (लंबाई 1 के विकल्प के लिए, हम तुच्छ सर्किट का उपयोग करते हैं, अर्थात उस इनपुट को अकेला छोड़ दें।) इसी तरह, यदि( एक्स , वाई ) = ( 1 , 0 ) जी जे = 0 * 1 जी डब्ल्यू जे 1 डब्ल्यू जे 0 एम 1 मीटर मीटर 1 * 0 0 *$G(x,y) = \neg x \ou y$$(x,y) = (1,0)$एक्स ∈ { 0 , 1 } एन एक्स 0 एक्स डब्ल्यू जे = 1 * 0 w j G 0 w j x 1 x $G'(x,y) = x \ou \neg y$
   
   $x \in \{0,1\}^n$$x$$0$$x$$w_j = 1^\ast 0$$w_j$$G$$0$$w_j$$x$ में समाप्त होता है , को सबस्ट्रिंग में विघटित करता है , और प्रत्येक पर बाईं से दाईं ओर को लागू , जो प्रत्येक लिए आउटपुट का उत्पादन । इस प्रकार हम उन सर्किटों के निर्माण की समस्या को कम कर सकते हैं जो या संतुष्ट हैं , जहाँ की संख्या या । के लिए , हम या तो का उपयोग कर स्वीकार कर सकते हैं रिकर्सिवली लगाने से फाटक बाएं से दाएं। यह सिर्फ मामले को छोड़ देता है$1$$x$$w_j =0^\ast 1$$G$$w_j$$1$$w_j$$0^m$$1^m$$m$$1^\ast0$$0^\ast 1$जी जी मीटर = 1 एक्स ∈ 1 * 0 एक्स = 1 * 0 जी 1 * 0 0 जी एच ∈ जी एच ( 1 , 0 ) = 1 { जी , $m \geqslant 2$$G$$G$$m = 1$ , जिसके लिए समस्याग्रस्त मामला इनपुट । के लिए , किसी भी केवल से मिलकर सर्किट फाटकों केवल प्रपत्र के छोटे तार निकलेगा , अंत में एकल बिट स्ट्रिंग उपज : इतना है कि का कोई सर्किट फाटकों से संतुष्ट किया जा सकता है यह इनपुट यदि वहाँ भी एक गेट जिसके लिए , तो tautologous है; या, यदि कोई गेट है जिसके लिए , तो हम फॉर्म स्ट्रिंग्स को कम कर सकते हैं$x \in 1^\ast 0$
   
   $x= 1^\ast 0$$G$$1^\ast 0$$0$$G$$H \in \mathcal G$$H(1,0) = 1$एच ∈ जी एच ( 1 , 1 ) = 0 11 * 0 ( 1 * 0 ) * एच एक्स एक्स ∈ 1 * 0 $\{G,H\}$$H \in \mathcal G$$H(1,1) = 0$$11^\ast 0$फार्म के तार , को के पहले दो बिट्स पर लागू करके । अन्यथा, कोई भी सर्किट का निर्माण नहीं किया जा सकता है जो स्वीकार करता है । इस प्रकार, किसी भी गेट-सेट जिसमें निहितार्थ जैसा गेट है, OPSAT आसान है।$(1^\ast 0)^\ast$$H$$x$$x \in 1^\ast 0$
   
   $\mathcal G$

4. अनुमानों का निषेध। गेट्स और । हम , साथ विश्लेषण समान । अपने दम पर, किसी भी स्ट्रिंग को में लिए अंतिम बिट्स को एक बिट में , और फिर लागू कर ; और यह समान रूप से को लिए अंतिम बिट्स को एक बिट में घटाकर , और फिर सर्किट¬ π 2 ( एक्स , वाई ) = $\neg \pi_1(x,y) = \neg x$¬ π 1 ¬ π 2 ¬ π 1 0 ( 0 | 1 ) n - 1 एन ⩾ 2 n - 1 ¬ π 1 1 ( 0 | 1 ) n - 1 n | $\neg \pi_2(x,y) = \neg y$$\neg \pi_1$$\neg \pi_2$$\neg \pi_1$$0(0|1)^{n-1}$$n \geqslant 2$$n-1$$\neg \pi_1$$1(0|1)^{n-1}$$n \geqslant 3$¬ π 1 ( ¬ π 1 ( एक्स 1 , x 2 ) , x 3 ) ¬ π 1 10 $n-2$$\neg \pi_1(\neg \pi_1(x_1, x_2),x_3)$। केवल ऐसे इनपुट जो सर्किट को स्वीकार नहीं कर सकते हैं वे या ; यह निर्धारित करते हुए कि क्या कोई पूरक गेट स्वीकार करता है ये तुच्छ है। इस प्रकार, OPSAT अनुमानों की उपेक्षा के लिए आसान है।$\neg \pi_1$$10$$11$

5. स्थायित्व और सामर्थ्य । गेट । गेट सेट स्पष्ट रूप से केवल 1s की विषम संख्या के साथ स्ट्रिंग्स द्वारा ठीक से संतुष्ट किया जा सकता है ; हम किसी अन्य गेट को जोड़ने के लाभ पर विचार करते हैं।जी = { समता } एक्स ∈ { 0 , 1 } $\PARITY(x,y) = (x \ou \neg y) \et (\neg x \ou y)$$\mathcal G = \{\PARITY\}$$x \in \{0,1\}^n$

   • कोई भी गेट-सेट जिसमें और या तो या होते हैं, वे सर्किट का अनुकरण कर सकते हैं जिनमें निश्चित इनपुट्स के लिए क्रमशः या गेट्स होते हैं, जो हैं OPSAT के आसान मामले ।और न ही ( एक्स , वाई ) = ¬ ( एक्स ∨ y ) या $\PARITY$$\AND$$\NOR(x,y) = \neg(x \ou y)$$\OR$$\NAND$
   • या तो या का उपयोग समता के दो-बिट सब्सट्रिंग पर या तो या को अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है , ताकि हम इनके साथ गेट-सेट कम कर सकें पूर्ववर्ती मामले के लिए द्वार और ।π 2 ( एक्स , वाई ) = y और न ही $\pi_1(x,y) = x$$\pi_2(x,y) = y$$\AND$$\NOR$$\PARITY$
   • समान = ¬ $\PARITY$ के साथ एक साथ है।$\EQUAL = \neg \PARITY$
   • अगर हम गेट के साथ को साथ पूरक करते हैं, तो हम को लागू करके को छोड़कर किसी भी सम-समता स्ट्रिंग को स्वीकार कर सकते हैं। एक के -substring और फिर एक को लागू करने के आराम करने के लिए सर्किट। इसी प्रकार, साथ में को किसी भी स्ट्रिंग को स्वीकार कर सकता है सिवाय इसके कि वे फॉर्म । पूरक दोनों के साथ और निर्माण सर्किट जो छोड़कर सभी आदानों स्वीकार करने के लिए हमें की अनुमति देते हैं औरजी 01 = ¬ एक्स ∧ y एक्स ∈ ( 11 ) * 0 * जी 01$\PARITY$$G_{01} = \neg x \et y$$x \in (11)^\ast 0^\ast$$G_{01}$$01$समता समता जी 10 = एक्स ∧ ¬ y एक्स ∈ 0 * ( 11 ) * समता जी 01 जी 10 x ∈ 0 * x = $x$$\PARITY$$\PARITY$$G_{10} = x \et \neg y$$x \in 0^\ast (11)^\ast$$\PARITY$$G_{01}$$G_{10}$$x \in 0^\ast$$x = 11$ ।
   • अंत में, हम पूरक अगर लगातार गेट के साथ , हम को छोड़ कर किसी भी इनपुट स्वीकार कर सकते हैं या एक लगाने से के लिए द्वार एक विकल्प या , विषम समता के मामले को कम करना। जेड ( एक्स , वाई ) = 0 एक्स ∈ ( 11 ) * एक्स ∈ 0 * जी 01 $\PARITY$$Z(x,y) = 0$$x \in (11)^\ast$$x \in 0^\ast$$G$$01$$10$

   इस प्रकार, OPSAT किसी भी युक्त लिए आसान है । इसी तरह का विश्लेषण गेट के लिए गेट के लिए लागू होता है : क्योंकि , सर्किट के फाटकों अनिवार्य रूप से की संख्या की समता गिनती इनपुट में। फिर हम विश्लेषण कम कर सकते हैं की है कि का आदान प्रदान द्वारा और ।समता $\mathcal G$$\PARITY$
   
   $\EQUAL$समान ( एक्स , वाई ) = ¬ समता ( एक्स , वाई ) = ¬ समता ( ¬ एक्स , ¬ y ) समान 0 समान समता 0 $\PARITY$$\EQUAL(x,y) = \neg \PARITY(x,y) = \neg \PARITY(\neg x, \neg y)$$\EQUAL$$0$$\EQUAL$$\PARITY$$0$$1$

6. प्रोजेक्शन गेट्स। गेट्स और , अपने दम पर लिया, केवल सर्किट बना सकते हैं जो क्रमशः में शुरू या समाप्त होने वाले तारों को स्वीकार करते हैं। किसी अन्य गेट के साथ गेट को बढ़ाने के प्रभाव पर विचार करें (एक समान विश्लेषण लिए रखता है ):π 2 ( एक्स , वाई ) = y 1 π 1 π $\pi_1(x,y) = x$$\pi_2(x,y) = y$$1$$\pi_1$$\pi_2$

   • और दोनों को अनुमति देने से "चयन" सर्किट के निर्माण की अनुमति मिलती है, जो इनपुट से किसी भी एकल बिट को आउटपुट करता है; ये किसी भी को स्वीकार कर सकते हैं , और उन्हें किसी भी गेट साथ पूरक कर सकते हैं जिसके लिए किसी भी लिए एक संतुष्ट सर्किट बनाने की अनुमति देता है ।π 2 x ≠ 0 n G G ( 0 , 0 ) = 1 $\pi_1$$\pi_2$$x \ne 0^n$$G$$G(0,0) = 1$$x$
   • यदि हम या साथ को पूरक करते हैं , तो हम निश्चित इनपुट के लिए या तो या एक निहितार्थ जैसे गेट का अनुकरण कर सकते हैं; इन दोनों मामलों के लिए OPSAT को हल किया जाता है।और न ही जी 01 = ¬ एक्स ∧ y $\pi_1$$\NOR$$G_{01} = \neg x \et y$$\OR$
   • यदि हम को , , निरंतर गेट , या उनमें से किसी भी संयोजन के साथ पूरक करते हैं, तो हमें कोई अतिरिक्त स्वीकृति शक्ति नहीं मिलती है, ताकि हम अभी भी केवल शुरू होने वाले तार को स्वीकार कर सकते हैं ।और जी 10 = एक्स ∧ ¬ y जेड ( एक्स , वाई ) = 0 $\pi_1$$\AND$$G_{10} = x \et \neg y$$Z(x,y) = 0$$1$

   इस प्रकार, किसी अन्य गेट के लिए हम जोड़ सकते हैं (या ) के साथ, हम एक tautologous सेट प्राप्त या तो, पर कोई अतिरिक्त स्वीकार करने की शक्ति सिर्फ प्राप्त (या ), या के पहले के एक आसान मामले को कम कर सकते हैं OPSAT । तब के किसी भी मामले OPSAT साथ या आसान है।π 2 π 1 π 2 π 1 ∈ जी π 2 ∈ $\pi_1$$\pi_2$$\pi_1$$\pi_2$$\pi_1 \in \mathcal G$$\pi_2 \in \mathcal G$

7. डेल्टा-फंक्शन गेट्स। उन दो-बिट गेटों पर विचार करें जिनके लिए केवल एक इनपुट है जो उन्हें संतुष्ट करता है: , , , और । केवल केवल गेट्स के साथ बनाए गए सर्किट केवल स्ट्रिंग स्वीकार कर सकते हैं : उन्हें किसी भी अन्य डेल्टा-फ़ंक्शन गेट के साथ पूरक करके उन्हें या तो , , या का अनुकरण करने की अनुमति , जो मामलों को हल करते हैं; इसी तरह की टिप्पणी लागू होती है । साथ ही, गेट सेट इस्तेमाल किया जा सकता भी अनुकरण करने के लिएन ही जी 10 ( एक्स , वाई ) = एक्स ∧ ¬ y जी 01 ( एक्स , वाई ) = ¬ एक्स ∧ y और 1 * समान π 1 π 2 और न ही { जी 01 , जी 10 } समता जी 10 जी 01 जेड ( एक्स , y ) = 0 G 10 G $\AND$$\NOR$$G_{10}(x,y) = x \et \neg y$$G_{01}(x,y) = \neg x \et y$$\AND$$1^\ast$$\EQUAL$$\pi_1$$\pi_2$$\NOR$$\{G_{01}, G_{10}\}$$\PARITY$द्वार। हम इस प्रकार गेट या पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं , संभवतः गेट साथ पूरक । हम पर ध्यान केंद्रित करते हैं , के मामले के समान है। बने सर्किट को को स्वीकार करने के लिए बनाया जा सकता है , स्ट्रिंग को छोड़कर , अंतिम बिट्स में एक मनमाना सर्किट लगाकर और फिर सर्किट लागू करने के लिए । स्पष्ट रूप से, स्ट्रिंग को या द्वारा स्वीकार नहीं किया जा सकता है ; और हम किसी भी को शामिल करके दिखा सकते हैं$G_{10}$$G_{01}$$Z(x,y) = 0$$G_{10}$$G_{01}$
   
   1 ( 0 | 1 ) n - 1 11 एन - 2 जी 10 ( x 1 , G 10 ( x 2 , $G_{10}$$1(0|1)^{n-1}$$11$$n-2$11 जी 10 जेड जी 10 1 जेड जी 10 x ∈ 1 ( 0 | 10 | 11 ) ( 0 | 1 ) $G_{10}(x_1, G_{10}(x_2, x_3))$$11$$G_{10}$$Z$$G_{10}$सर्किट जो एक स्ट्रिंग को स्वीकार करता है उसके पास बाईं ओर की शाखा में सभी गेट सभी सबसे अधिक इनपुट के लिए गेट्स के मध्यवर्ती परिणाम होने चाहिए । गेट्स को जोड़ने से कोई अतिरिक्त लाभ नहीं मिलता है । इसलिए, सर्किट केवल स्वीकार कर सकते हैं ।$1$$Z$$G_{10}$$x \in 1(0|10|11)(0|1)^\ast$

8. अंत में, केवल से बना सर्किट फाटकों कोई आदानों स्वीकार करते हैं।$Z$

प्रत्येक गेट आदानों की एक अच्छी तरह से परिभाषित और आम तौर पर काफी बड़ा वर्ग है जो यह स्वीकार करता है, समस्या महत्वहीन करने के लिए प्रवृत्त अतिरिक्त फाटकों के साथ को जन्म देता है के रूप में, हम पाते हैं कि 2-वृक्ष-OPSAT में है पी ।

Comments

@DSounders: समस्या के आपके हालिया संशोधन के संबंध में यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई सर्किट जो को कुछ विशेष मान बजाय, कुछ लक्ष्य मान पर मैप करता है , वही मेरे वर्तमान उत्तर में विश्लेषण अभी भी यह दिखाने के लिए पीड़ित है कि समस्या पी में है ; केवल फाटकों की भूमिका बदल जाती है। उदाहरण के लिए, इच्छित परिणामों को और इंटरचेंज करने में, हम AND और OR , NAND और NOR की भूमिकाओं को प्रभावी ढंग से बदल देते हैं, दूसरे डेल्टा-फ़ंक्शंस के साथ निहितार्थ-जैसे द्वार आदिएक्स ख ∈ { 0 , 1 } ख = 1 0 $C$$x$ $b \in \{0,1\}$$b = 1$$0$$1$

— नील डे बेउड्रैप