इसके अलावा गहराई 5 से कम में किया जा सकता है?

कैरी लुक का उपयोग करते हुए आगे एल्गोरिथ्म हम एक बहुपद आकार 5 (या 4?) सर्किट परिवार का उपयोग करके जोड़ सकते हैं । क्या गहराई कम करना संभव है? क्या हम एक बहुपद आकार सर्किट परिवार का उपयोग करके दो द्विआधारी संख्याओं के जोड़ की गणना कर सकते हैं जो कि आगे के एल्गोरिदम को देखने से कम गहराई से प्राप्त होती है? $AC^0$

क्या सर्किट परिवारों के आकार के लिए कोई सुपर बहुपद नीचता है इसके अलावा कंप्यूटिंग जहां 2 या 3 है? $AC^0_d$ $d$

गहराई से मेरा मतलब है वैकल्पिक गहराई।

— गुमनाम
स्रोत

क्या आप हमें अपना नाम बता सकते हैं? जो आप हैं? पिछले एक महीने से या तो लोग यहाँ एक नया उपयोगकर्ता नाम बना रहे हैं, एक सवाल पूछ रहे हैं और फिर उस उपयोगकर्ता नाम को हटा रहे हैं!

— तैफुन पे

@ गीकस्टर, आम तौर पर लोगों को एक खाता बनाने या उनके वास्तविक नामों का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं होती है (हालांकि इसे विभिन्न कारणों से ऐसा करने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है)। यदि आपको किसी चीज़ के बारे में सामान्य चिंता है, तो कृपया इसे उठाने के लिए सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान मेटा का उपयोग करें ।

— केवह

यह सत्यापित करने के लिए क्रूरतापूर्ण हो सकता है कि कोई गहराई नहीं -

एसी

सर्किट कुछ निश्चित

लिए दो

-बिट इनपुट की

-बिट राशि की गणना कर सकता है ; इनपुट बिट्स के केवल बारीक-कई बूलियन कार्य हैं जो प्रत्येक गहराई पर दिखाई दे सकते हैं।

4

$4$

^{0}

$^{0}$

(m + 1)

$(m+1)$

m

$m$

m

$m$

— mjqxxxx

@mjqxxxx: आप AC0 सर्किट पर बहुपद-आकार की बाधा को कैसे लागू करते हैं जब एक निश्चित मीटर के लिए ब्रूट-फोर्सिंग होता है? @ ओपी: क्या वर्तमान सर्वश्रेष्ठ सर्किट गहराई 4 या गहराई 5 है?

— रॉबिन कोठारी

@mjqxxxx: हर बूलियन फ़ंक्शन गहराई

सर्किट द्वारा गणना योग्य है । अब, आप अपने तय करने के लिए लगता है लगता

आकार का एक सर्किट

। आप कैसे न्यायाधीश वहाँ आकार के होते हैं कि क्या करना

हर के लिए सर्किट

, जहां

, या वहाँ केवल हैं कि क्या आकार के सर्किट

, जहां

? एक सीमित उदाहरण से स्पर्शोन्मुख जानकारी का अनुमान लगाने का कोई तरीका नहीं है।

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

— एमिल जेकब मोनिका को सपोर्ट करता है

जवाबों:

एलेक्सिस मैकिएल और डेनिस थेरियन थ्रेशोल्ड सर्किट ऑफ स्मॉल मेजोरिटी-डेप्थ में थ्योरम 3.1 के अनुसार वास्तव में दो संख्याओं को जोड़ने के लिए एक गहराई -3 सर्किट है।

सटीक बाध्य है जहां जो गहराई -2 है समस्याएं हैं दोनों के साथ सर्किट शीर्ष पर और फाटक सर्किट हैं सर्किट एक की गहराई (नोटेशन की एक विस्तृत व्याख्या के लिए कागज देखें)। $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

मुख्य प्रमाण विचार हैं:

सबसे पहले, के रूप में कैरी-अग्रदर्शी सर्किट व्यक्त $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
इसके बाद, का आह्वान बंद गुण के रूप में इस लिखने के लिए $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
अंत में, तथ्य यह है (यह भी समाचार पत्र में साबित कर दिया) का उपयोग करने वाले $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

— Samid
स्रोत

गहराई 2 सर्किट में घातीय आकार की गणना करने की आवश्यकता होती है क्योंकि गहराई 2 सर्किट या तो DNF या CNF होनी चाहिए और यह सत्यापित करना आसान है कि घातीय कई मिन्टर और मैक्स्टर हैं।

चेतावनी : नीचे का हिस्सा छोटी गाड़ी है । जवाब के तहत टिप्पणियों को देखें।

जिस तरह से मैं इसे गिनता हूं, इसके अलावा गहराई से किया जा सकता है 3. मान लें और दो संख्याओं के बिट हैं, जहां LSB और के MSB का सूचकांक है । $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

हमें गणना करते हैं योग का वीं बिट, देखो आगे कैरी के साथ मानक तरीके से: $i$ $s_i$

s_{i} = a_{i} \oplus b_{i} \oplus c_{i}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

जहां XOR और को इस तरह से कैरी किया जाता है: $\oplus$ $c_i$

c_{i} = \underset{j ∣ j < i}{⋁} (g_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

और मतलब है कि वें स्थान "कैरी" उत्पन्न करता है: $g_j$ $j$

g_{j} = (a_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

और अर्थ है कि कैरी को से तक प्रचारित किया जाता है : $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k ∣ j < k < i}{⋀} (a_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

गहराई की गणना, की गहराई 2 है, और की गहराई 3. है, जबकि ऐसा लगता है कि , 4 या 5 की गहराई है, यह वास्तव में गहराई 3 भी है क्योंकि यह गहराई वाले 3 सर्किटों का एक घिरा हुआ पंखा संगणना है इसलिए एक बहुपद राशि द्वारा सर्किट आकार को उड़ाते हुए, डी-मॉर्गन फ़ार्मुलों का उपयोग करके शीर्ष दो स्तरों को नीचे धकेल सकते हैं। $p_j$ $c_i$ $s_i$

— नोम
स्रोत

मैं काफी गहराई का कैसे घिरे fanin गणना नहीं दिख रहा है 3 सर्किट है स्वचालित रूप से गहराई 3. हैं, कहते हैं, आपके द्वारा लिखी

के रूप में

, आप पहली बार

टॉप के साथ, सर्किट को ३ डी सर्किट बना सकते हैं , और दूसरे को

साथ एक गहराई ३ सर्किट को

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$ शीर्ष पर। मैं यह नहीं देखता कि दो हिस्सों में संयोजी प्रकारों के बीच बेमेल के लिए गहराई को बढ़ाए बिना शीर्ष अपघटन को कैसे धक्का दिया जाए। इस पर ध्यान दिया जा सकता है कि

को एक अलग तरीके से 3 सर्किट की गहराई से गणना की जा सकती है ...

c_{i}

$c_i$

— Emil Je Monábek समर्थन करता है मोनिका

... साथ

शीर्ष पर। दूसरी ओर, सभी गहराई 3 सर्किटों ने नीचे फैन-इन को बांधा है, इसलिए मैं उन्हें गहराई 2 1/2 कहूंगा।

⋀

$\bigwedge$

— एमिल जेकब

ज़ाहिर सी बात है। मैं जो इंगित कर रहा हूं वह यह है कि जैसा कि लिखा गया है, आपके पास और शीर्ष पर दो

गहराई सर्किट का OR नहीं है । आपके पास OR दो गहराई वाले

सर्किट हैं, जिनमें से एक में और शीर्ष पर है, और दूसरे में OR शीर्ष पर है। मुझे शक है इस तरह के सर्किट गहराई में बदला जा सकता

सामान्य रूप में। क्वांटिफायर के रूप में बहुपद फैन-इन एंड्स और ओआरएस के बारे में सोचें। आप व्यक्त कर सकते हैं

d

$d$

d

$d$

d

$d$

के साथ एक prenex सूत्र के रूप में

परिमाणक ब्लॉक, लेकिन आप की जरूरत

व्यक्त करने के लिए ब्लॉक ...

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$

d

$d$

d + 1

$d+1$

— एमिल जेराबेक मोनिका का समर्थन करता है

... सूत्र

।

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$

— एमिल जेकाबेक

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

d

$d$

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$

C_{n}

$C_n$

x_{0} = 1

$x_0=1$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

\neg f_{n}

$\neg f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

f_{n}

$f_n$