एक तंत्र डिजाइन सबूत को समझना

Question

मैं इस पत्र में नीलामी के सिद्धांत से संबंधित एक प्रमाण के तकनीकी विवरण के साथ संघर्ष कर रहा हूं: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

विशेष रूप से, प्रमेय 2.5: एक सत्य तंत्र के लिए आवश्यक और पर्याप्त परिस्थितियां।

इससे भी अधिक विशेष रूप से, सबूत की आगे की दिशा, पृष्ठ 6 पर दी गई है $v_i$, और एक सामान्य, संभवतः गलत, मान (जैसे, एक बोली) के रूप में $b_i$, लेखक दो अतिरिक्त मात्राएँ, $z_1$ तथा $z_2$।

वह फिर उस पर मुहर लगाता है $v_i = z_1$, $b_i = z_2$, जो कागज के पिछले काम के आधार पर असमानता पैदा करता है।

उन्होंने यह भी कहा कि $v_i = z_2$, $b_i = z_1$, जो कागज के पिछले काम के आधार पर एक समान लेकिन अलग असमानता पैदा करता है।

ठीक है, काफी उचित है। वह तब दूसरे से एक असमानता को घटाता है और परिणामी बीजगणित के आधार पर अपना वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ता है। मुझे समझ नहीं आ रहा है कि घटाव उचित क्यों है - वह दो असमानताओं को घटाता हुआ प्रतीत होता है जो पूरी तरह से अलग (वास्तव में, विपरीत) मान्यताओं पर आधारित होते हैं, और हर बार जब मैं यह देखता हूं तो मुझे विचार की ट्रेन से बाहर फेंक दिया जाता है।

मुझे पूरा यकीन है कि मैंने यह मूल तरीका (शोहम और लेटन-ब्राउन की किताब देख लिया है; मेरे पास चेक करने के लिए इसके पास नहीं है) इसलिए यह एक सामान्य विचार है, लेकिन मैं इसे पा नहीं सकता। क्या कोई मुझे यह समझने में मदद कर सकता है कि यह मान्य क्यों है, या मुझे समझाएं कि मैं क्या याद कर रहा हूं?

(मैंने तीन मान मानकर वांछित परिणाम साबित करने की कोशिश की है - एक सही मूल्य $v_i$, और दो बोलियां, $b_1$ तथा $b_2$- उसका वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए, लेकिन वह भी असफल रहा। इसलिए यह न केवल सामान्य हो सकता है, बल्कि इसे लेखक के तरीके से करना आवश्यक है। लेकिन मुझे अभी भी यह समझ में नहीं आ रहा है।)

अपडेट: मुझे पता था कि मैंने शोहम और लेटन-ब्राउन की किताब में कुछ ऐसा ही देखा था । यह बिल्कुल समान नहीं है, लेकिन यह बहुत समान है और समान समीकरण और विषय के साथ संबंधित है। यह प्रमेय का मामला 1 है 10.4.3।

सत्यवादी तंत्र के संदर्भ से शुरू करते हुए, वे पहले एक सत्य को मान लेते हैं $v_i$ और एक झूठा $v_i'$ और भुगतान के आधार पर प्राप्त करें $v_i$ आधारित भुगतान के बराबर या उससे कम है $v_i'$, जैसे, $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$। वे तो विपरीत मान लेते हैं, एक सत्य$v_i'$ और एक झूठा $v_i$, और विपरीत परिणाम प्राप्त करते हैं, कि भुगतान के आधार पर $v_i'$ आधारित भुगतान से कम है $v_i$, जैसे, $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$। ठीक है, यह समझ में आता है।

इसके बाद वे भुगतान के आधार पर पकड़ बनाते हैं $v_i$ तथा $v_i'$ बराबर होना चाहिए, जैसे कि वे कह रहे हैं कि $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ तथा $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$ एक साथ सत्य हैं, भले ही वे न केवल अलग, बल्कि विपरीत धारणाओं का परिणाम हैं।

Answer 1

इसका उत्तर यह है कि तंत्र को हर प्रकार के संभव प्रकारों के लिए सत्य होना चाहिए : तंत्र को यह नहीं पता है कि समय से पहले सच्चे प्रकार कौन से हैं। तो प्रकार की एक जोड़ी के लिए$v_i$ तथा $v_i'$एक एजेंट का सही प्रकार है, तो तंत्र सत्य होना चाहिए $v_i$: यदि वह बोली लगाता है तो उसकी उपयोगिता अधिक होनी चाहिए $v_i$ से अगर वह बोली $v_i'$। यदि एजेंट का सही प्रकार है, तो तंत्र भी सत्य होना चाहिए$v_i'$! आखिरकार, जहां तक ​​तंत्र का संबंध है, यह हो सकता है! इसलिए इस मामले में, यदि वह बोली लगाता है तो एक एजेंट की उपयोगिता अधिक होनी चाहिए$v_i'$ इसकी तुलना में $v_i$।

मुद्दा यह है कि सत्यता एक साथ एक ही तंत्र पर कई अलग-अलग असमानताएं लगाती है: एक हर प्रकार के एजेंट के लिए हो सकता है, और प्रत्येक विचलन के लिए वह विचार कर सकता है। उन सभी को पकड़ो। यह प्रमाण इन असमानताओं में से केवल दो का उपयोग करता है

Comments

मुझे लगता है कि मैं आखिरकार इसे समझने लगा हूं। वास्तव में, यह जानना कि प्रमाण सही है (और क्यों) मुझ पर और भी अधिक प्रभाव डालता है कि वास्तव में "सत्यवादिता" की अवधारणा कितनी सख्त और शक्तिशाली है। धन्यवाद।

— नोवाक

Answer 2

मुझे लगता है कि आप जो चाहते हैं वह निम्नलिखित प्रस्ताव है।

प्रस्ताव। चलो$V$ तथा $A$सेट हो। चलो$f:V^n\to A$ तथा $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$। जो सभी के लिए मान लें$i,x_i,y_i,v_{−i}$ हमारे पास है

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ फिर सभी के लिए $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ हमारे पास है $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

सबूत। लाना$x_i=v_i$ तथा $y_i=v'_i$ हमारे पास है

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ लाना $x_i=v_i$ तथा $y_i=v'_i$ हमारे पास है $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$ परिणाम इन असमानताओं को जोड़कर और फिर से व्यवस्थित करता है।

इस प्रस्ताव की तंत्र डिजाइन व्याख्या यह है कि प्रत्येक प्रोत्साहन संगत (यानी रणनीति प्रमाण, अर्थात सत्य) तंत्र में "कमजोर संकीर्णता" है।

किसी कारण से, यह सही बोली और झूठ का संदर्भ देकर बहस करने के लिए पारंपरिक है। इस संदर्भ में, "सत्य" और "झूठ" केवल चर नाम हैं, जैसे "x" और "y"। अलग-अलग तर्कों में अलग-अलग चीजों को संदर्भित करने के लिए एक ही नाम का उपयोग करना ठीक है, क्योंकि एक सच्ची बोली और झूठ के बीच कोई औपचारिक अंतर नहीं है।

Comments

यह प्रश्न में प्रस्ताव है। (हालांकि मुझे लगता है कि आपके पास आपके प्रमाण की तीसरी पंक्ति में एक टाइपो है - v_i असाइनमेंट को पहली पंक्ति में स्वैप किया जाना चाहिए।) मैं अभी भी इस बात पर जल्दबाज़ी कर रहा हूं कि विभिन्न असंगतियों के परिणामस्वरूप दो असमानताओं को जोड़ना क्यों स्वीकार्य है। हां, एक सच्ची और झूठी बोली के बीच कोई औपचारिक अंतर नहीं है; वे दोनों संख्याएँ हैं। लेकिन वे (या सटीक होने के लिए, वे हो सकते हैं) विभिन्न संख्याएं।

— Novak

@ नोवाक: इस बारे में कैसे: अगर मैं आपको बताता हूं कि $g(a,b)=1$ सबके लिए $a,b$, क्या आप इसे स्वीकार करेंगे $g(x,y)-g(y,x)=0$ सबके लिए $x,y$?

— कॉलिन मैकक्लिअन

हाँ। लेकिन मुझे उस पर तंत्र डिजाइन के संदर्भ में थोड़ा सा चबाने दें। (और उसी समय मथजक्स में अपनी मूल पोस्ट को अपडेट करें, और इसी तरह के मामले को मैंने शोहम और लेटन-ब्राउन से बाहर कर दिया।)

— नोवाक

यहाँ मुझे क्या परेशान करता है, यह प्रस्ताव के सेट अप में है। जब मैं उस दावे को देखता हूं कि प्रस्ताव सत्य है, तो यह पहले से ही इस संदर्भ में है$x_i$ सच्चा मूल्य है, और $y_i$(संभवतः) गलत बोली है। मैं 'सत्य' और 'झूठ' के परिवर्तनशील नामों के विचार पर भी सवाल उठाता हूं; इसके बजाय, सत्य और झूठ, कथित मूल्यों के वास्तविक गुण प्रतीत होते हैं, खेल के बिंदु इस सत्य का लाभ उठाने के लिए इस अंतर का लाभ उठाते हैं।

— Novak

अधिक संक्षेप में, यदि आप मुझे वह बताते हैं $g(a,b) = 1$ सभी सत्य के लिए $a$, सबके लिए $b$ (जो मूल संदर्भ से थोड़ा निकट है) तब मैं इसे स्वीकार कर सकता हूं $g(x,y) - g(y,x) = 0$ अगर मुझे पता है कि दोनों $x$ तथा $y$सत्यवादी हैं।

— Novak