कार्ड गेम विजेता का एक सरलीकृत संस्करण

Question

मैंने बिना किसी संतोषजनक उत्तर के, MathOverflow में यह समस्या पूछी है ।

निम्नलिखित दो-खिलाड़ी गेम पर विचार करें, जो कि कार्ड गेम का एक सरलीकरण है जिसे विजेता कहा जाता है । (मैथ्यूवेरफ़्लो पर गिलाउम ब्रूनरी की एक टिप्पणी से निम्नलिखित सूत्र लिया गया।)

दो खिलाड़ी ए और बी हैं। प्रत्येक खिलाड़ी के पास कार्ड का एक सेट (सबसेट) है $\{1,\dots,n\}$), दोनों खिलाड़ियों से दिखाई देता है। खेल का उद्देश्य अपने स्वयं के कार्ड से छुटकारा पाना है। पहला खिलाड़ी टेबल पर कोई भी कार्ड खेलता है, तो दूसरे खिलाड़ी को (सख्ती से) बड़ा कार्ड खेलना चाहिए, और तब तक जब तक कि कोई खिलाड़ी खेल नहीं सकता या पास होने का फैसला नहीं कर सकता। तब टेबल पर कार्ड छोड़ दिए जाते हैं, और दूसरा खिलाड़ी किसी भी कार्ड को खेलकर फिर से शुरू होता है (जिसके बाद एक बड़ा कार्ड होगा)। और इसलिए जब तक दो खिलाड़ियों में से एक कार्ड से बाहर निकलता है और खेल जीतता है।

मैं खिलाड़ियों के लिए सबसे अच्छी रणनीति जानना चाहता हूं (अगर वह जीत सकते हैं)।

औपचारिक परिभाषा

द्वारा निरूपित करें $w(i,A,B)$ खेल का विन्यास जहां पहले खिलाड़ी के कार्ड का सेट होता है $A$दूसरे खिलाड़ी के कार्ड का सेट है $B$, और मेज पर सबसे बड़ा कार्ड है $i$, कहाँ पे $i=0$इसका मतलब है कि मेज पर कोई कार्ड नहीं है। मैं गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म चाहूंगा, दिया गया$i,A,B$, चाहे पहले खिलाड़ी की कॉन्फ़िगरेशन में जीतने की रणनीति हो $w(i,A,B)$।

औपचारिक रूप से, मैं फ़ंक्शन की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म चाहूंगा $f$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

चलो $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$, $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$।

समारोह $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

कहाँ पे

$$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$$

गलत रणनीति

यहाँ कुछ गलत रणनीतियाँ हैं:

1. हमेशा सबसे छोटा कार्ड खेलें। चलो$n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$कॉन्फ़िगरेशन में खिलाड़ी ए के लिए जीतने की रणनीति $w(0, A, B)$ कार्ड खेलना है $3$। यदि खिलाड़ी A कार्ड 1 खेलता है, तो वह हार जाएगा।
2. जब तक दूसरे खिलाड़ी के पास केवल एक कार्ड न हो, तब तक सबसे छोटा कार्ड खेलें। यह रणनीति 1 की तुलना में एक मजबूत रणनीति है, लेकिन यह भी गलत है। केवल कॉन्फ़िगरेशन के बारे में सोचो$w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$। यदि खिलाड़ी A रणनीति 2 का उपयोग करता है, तो वह हार जाएगा:$1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$, इस प्रकार खिलाड़ी A हार जाता है।

Comments

यह प्रश्न दिलचस्प है, लेकिन कृपया इसे यथासंभव पठनीय बनाने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आपको "मेरे ख्याल से ऐसा नहीं है कि खिलाड़ी को जाना चाहिए ..." भाग सहित गुइलूम ब्रूनरी की टिप्पणी को कॉपी नहीं करना है, जो आपके प्रश्न में धारणा से अलग है और केवल पाठकों को भ्रमित कर सकता है। इसके अलावा, कृपया तीन के पहले सूत्रीकरण को हटाने पर विचार करें: दूसरा सूत्रीकरण एक सहज ज्ञान देता है, तीसरा एक औपचारिक परिभाषा देता है, और मुझे नहीं लगता कि पहला किसी उद्देश्य को पूरा करता है।

— त्सुकोशी इतो

संभवतः इसका विश्लेषण करने का सबसे अच्छा तरीका एक कार्यक्रम लिखना है जो किसी भी स्थिति के लिए इष्टतम चाल का पता लगाता है, और पैटर्न की तलाश करता है। कोई प्राथमिकता नहीं है कि इस खेल की एक अच्छी रणनीति होनी चाहिए।

— पीटर शोर

मैं कम संख्या में कार्ड के साथ रणनीति बनाना शुरू करूंगा और वहां से काम करूंगा। उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक खिलाड़ी के पास 2 कार्ड हैं, तो जो भी खिलाड़ी सबसे अधिक कार्ड जीतता है, उसकी परवाह किए बिना खिलाड़ी की अगली बारी है। वह उच्चतम कार्ड खेलता है, दूसरे खिलाड़ी को पास होना चाहिए, फिर वह अपना अंतिम कार्ड खेलता है।

— जो

क्या कोई मुझे पोस्टस्क्रिप्ट 1 का पालन करने के लिए जीबी की गिरावट को कम करने में मदद कर सकता है? मुझे खेद है कि मैं एक देशी वक्ता नहीं हूं और इस तरह के जटिल खेल का वर्णन करना मेरी क्षमता से बाहर है।

— याईपहाड़

@ त्सुयोशी: यदि खिलाड़ी A हमेशा सबसे छोटा कार्ड खेलता है, तो खिलाड़ी B जीत जाता है। यदि खिलाड़ी A कार्ड 1 खेलता है, और हमेशा सबसे छोटा कार्ड नहीं खेलता है, तो खिलाड़ी A जीत सकता है। इसका मतलब यह है कि रणनीति 2 के लिए हमेशा जीतने वाला एक छोटा सा मुकाबला है।

— पीटर शोर

Answer 1

यह शायद एक टिप्पणी होनी चाहिए, लेकिन यह बहुत लंबा है।

संबंधित गेम का अध्ययन जेफ कहन, जेफ लैगरियास और हैंस विटनसेन द्वारा किया गया था, लेखों की श्रृंखला में सिंगल-सूट टू-पर्सन कार्ड प्ले I, II, III और ऑन लस्कर कार्ड गेम। जिस खेल का उन्होंने अध्ययन किया, उसमें प्रत्येक खिलाड़ी है$n$ कार्ड, से निपटा $2n$ कार्ड गिने $1$ $\ldots$ $2n$। प्रत्येक चाल में दो कार्ड होते हैं, उच्च कार्ड चाल जीतता है, और विजेता आगे बढ़ता है। वस्तु को सबसे अधिक तरकीब से लेना है।

उन्होंने इष्टतम रणनीति के बारे में कई दिलचस्प तथ्यों को साबित किया, लेकिन इष्टतम खेलने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम खोजने में असमर्थ थे, और यह साबित करने में भी असमर्थ थे कि यह एनपी-हार्ड था।

के लिए Misere खेल है, जहां प्रत्येक व्यक्ति चाल और उनमें कम लेने की कोशिश करता है, वे इष्टतम रणनीति देने के लिए सक्षम थे।

अधिकांश भाग के लिए, ये परिणाम पहले एक कंप्यूटर प्रोग्राम के परिणामों को देखकर प्राप्त किए गए थे जो कि छोटे उदाहरणों के लिए इष्टतम रणनीति पाए गए, फिर अनुमानों को प्राप्त करने के लिए पैटर्न की तलाश की, और अंत में इन अनुमानों को साबित किया। मुझे संदेह है कि यह ओपी के खेल के लिए एक उपयोगी दृष्टिकोण होगा।