"रंग मैट्रिक्स" का अस्तित्व

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परिभाषाएं

चलो और पूर्णांक हैं। हम संकेतन । $c$ $k$ $[i] = \{1,2,...,i\}$

एक मैट्रिक्स को एक -to- रंग मैट्रिक्स कहा जाता है यदि निम्नलिखित धारण करें: $c \times c$ $M = (m_{i,j})$ $c$ $k$

हमारे पास में सभी , $m_{i,j} \in [k]$ $i, j \in [c]$
सभी के लिए साथ और हमारे पास । $i,j,\ell \in [c]$ $i \ne j$ $j \ne \ell$ $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$

हम यदि कोई -to- रंग मैट्रिक्स मौजूद है । $c \leadsto k$ $c$ $k$

ध्यान दें कि विकर्ण तत्व अप्रासंगिक हैं; हम केवल के गैर-विकर्ण तत्वों में रुचि रखते हैं $M$ ।

निम्नलिखित वैकल्पिक परिप्रेक्ष्य सहायक हो सकता है। चलो पंक्ति में गैर विकर्ण तत्वों के सेट हो , और इसी जाने कॉलम में गैर-विकर्ण तत्वों का सेट हो । अब एक -to- कलरिंग मैट्रिक्स है iff for all । यही है, पंक्ति और column में अलग-अलग तत्व (छोड़कर, निश्चित रूप से, विकर्ण पर) होने चाहिए। $R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$ $\ell$ $C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$ $\ell$ $M$ $c$ $k$

R (M, ℓ) \subseteq [k], C (M, ℓ) \subseteq [k], R (M, ℓ) \cap C (M, ℓ) = \emptyset

$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$

ℓ \in [c]

$\ell \in [c]$

ℓ

$\ell$

ℓ

$\ell$

यह के एक विशेष प्रकार के हैश फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या करने की कोशिश करने में सहायक हो सकता है या नहीं भी हो सकता है से । $M$ $[c]^2$ $[k]$

उदाहरण

यहाँ एक -to- रंग मैट्रिक्स है: $6$ $4$

[\begin{matrix} - & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & - & 3 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & - & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & - & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & - & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & - \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$

सामान्य तौर पर, यह ज्ञात है कि किसी भी हमारे पासउदाहरण के लिए, और । इसे देखने के लिए, हम निम्नलिखित निर्माण (जैसे, Naor & Stockmeyer 1995) का उपयोग कर सकते हैं। $n \ge 2$

(\binom{2 n}{n}) ⇝ 2 n .

${2n \choose n} \leadsto 2n.$

20 ⇝ 6

$20 \leadsto 6$

6 ⇝ 4

$6 \leadsto 4$

चलो और । चलो से एक द्विभाजन हो सभी के सेट करने के लिए के -subsets , कि है, और सभी के लिए । प्रत्येक साथ मनमाने ढंग से $c = {2n \choose n}$ $k = 2n$ $f$ $[c]$ $n$ $[2n]$ $f(i) \subseteq [2n]$ $|f(i)| = n$ $i$ $i,j \in [c]$ $i \ne j$

m_{i, j} \in f (i) ∖ f (j) .

$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$

ध्यान दें कि । यह सत्यापित करना सीधा है कि निर्माण वास्तव में एक रंग मैट्रिक्स है; विशेष रूप से, हमारे पास और । $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$ $R(M,\ell) = f(\ell)$ $C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

सवाल

क्या उपरोक्त निर्माण इष्टतम है? अन्यथा , क्या हमारे पास किसी ?

(\binom{2 n}{n}) + 1 ⇝ 2 n

${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$

n \geq 2

$n \ge 2$

यह सर्वविदित है कि उपरोक्त निर्माण विषम रूप से तंग है; आवश्यक रूप से । यह इस प्रकार है, लिनिअल्स (1992) के परिणाम से या रामसी सिद्धांत के सीधे आवेदन से। लेकिन मेरे लिए यह स्पष्ट नहीं है कि क्या निर्माण भी स्थिरांक तक तंग है। कुछ संख्यात्मक प्रयोग बताते हैं कि उपरोक्त निर्माण इष्टतम हो सकता है। $k = \Omega(\log c)$

प्रेरणा

यह सवाल ग्राफ रंग के लिए तेजी से वितरित एल्गोरिदम के अस्तित्व से संबंधित है। उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें एक निर्देशित वृक्ष दिया गया है (सभी किनारों को एक मूल नोड की ओर उन्मुख किया गया है), और मान लें कि हमें पेड़ का एक उचित कोलरिंग दिया गया है। अब एक वितरित एल्गोरिथ्म है जो पेड़ के एक उचित रंग को तुल्यकालिक संचार दौर में गणना करता है यदि और केवल अगर । $c$ $k$ $1$ $c \leadsto k$

co.combinatorics lower-bounds dc.distributed-comp

— जुक्का सूमेला
स्रोत

प्रदर्शन गणित में "वैकल्पिक परिप्रेक्ष्य में," [c] [k] पढ़ना चाहिए। इसके बाद की पंक्ति में, "सभी के लिए [के] में" पढ़ना चाहिए "के लिए सभी एल में [सी]"।

— त्सुयोशी इतो

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निर्माण इस अर्थ में इष्टतम है कि धारण नहीं कर सकता। वास्तव में, यह आसान है कि देखने के लिए है सी -to- कश्मीर रंग मैट्रिक्स मौजूद है यदि और केवल यदि देखते हैं ग सबसेट एक ₁ , ..., एक _सी सेट के {1, ..., कश्मीर } ऐसी है कि कोई विशिष्ट मैं और जे संतुष्ट एक _मैं ⊆ एक _जे । ("केवल यदि" दिशा के लिए, c -to- k कलरिंग मैट्रिक्स के लिए A _i = R ( M , i ) लें $\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$ एम । "अगर" दिशा, सेट के लिए मीटर _ij ∈ एक _मैं ∖ एक _j जो में से कोई भी एक और एक कहा जाता है शामिल हैं।) एक सेट के परिवार Sperner परिवार , और यह Sperner की प्रमेय है कि पर एक Sperner परिवार में सेट की अधिकतम संख्या आकार के ब्रह्मांड कश्मीर है । इसका मतलब यह है कि । $\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$ $c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

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ओह, ठीक है, मैंने सोचा कि ऐसा लगता है कि पंक्तियों को एक स्पेंसर परिवार बनाना होगा, लेकिन यह नहीं देखा कि इसे कैसे साबित किया जाए। लेकिन आप बिलकुल सही हैं: यदि हमारे पास , तो में और इसलिए । यह आसान था, बहुत धन्यवाद!

R (M, i) \subseteq R (M, j)

$R(M,i) \subseteq R(M,j)$

m_{i, j} \in R (M, i) \subseteq R (M, j)

$m_{i,j} \in R(M,i) \subseteq R(M,j)$

C (M, j) \cap R (M, j) \neq \emptyset

$C(M,j) \cap R(M,j) \ne \emptyset$

— जुका सुकोमेला

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एक छोटे से विषम के लिए, यह साबित किया जा सकता है कि:

अगर , तो $c \leadsto k$ $c \leq 2^k$

मान लीजिए कि रंगों का उपयोग करके मैट्रिक्स का रंग है। अब, मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को उसमें मौजूद रंगों के सेट से रंग दें। यह सबसेट का उपयोग करके पंक्तियों का रंग देता है । अलग-अलग पंक्तियों में अलग-अलग रंग होने चाहिए। अन्यथा, मान लें कि , पंक्ति का रंग पंक्ति के समान है । इसका मतलब है कि का रंग पंक्ति और कॉलम दोनों पर मौजूद है जो इस तथ्य का खंडन करता है कि हमने एक रंग के साथ शुरुआत की थी। यह निम्न है कि $c \times c$ $k$ $[k]$ $i \lt j$ $i$ $j$ $(i,j)$ $j$ $j$ $c \leq 2^k$

— HBM
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि आप जो दावा कर रहे हैं कि आप अपने विश्लेषण से तंग हैं, लेकिन कृपया सटीक उत्तर के लिए मेरा जवाब देखें।

— त्सुयोशी इतो