यादृच्छिक रेखांकन को मिलाकर विसंगति पर भिन्नता

Question

मान लीजिए हमारे पास एक ग्राफ है $n$नोड्स। हम प्रत्येक नोड को असाइन करना चाहते हैं या तो ए$+1$ या ए $−1$। इसे विन्यास कहें$\sigma \in \{+1,−1\}^n$। की संख्या$+1$एस हमें असाइन करना होगा बिल्कुल $s$ (इसलिए की संख्या $−1$s है $n−s$।) एक विन्यास दिया $\sigma$, हम प्रत्येक नोड को देखते हैं $i$ और अपने पड़ोसियों को सौंपे गए मानों को बुलाओ $\xi_i(\sigma)$। उसके बाद हम नोड्स की संख्या की गणना करते हैं$\xi_i(\sigma)$ अपूर्व है:

$$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$$ प्रश्न यह है: विन्यास क्या है $\sigma$ वह अधिकतम हो जाता है $N(\sigma)$? इससे भी महत्वपूर्ण बात, क्या हम एक बाउंड दे सकते हैं$(\max N)/n$ संदर्भ में । मैं सोच रहा हूं कि क्या यह समस्या किसी के लिए परिचित है, या अगर यह ग्राफ सिद्धांत में कुछ ज्ञात समस्या को कम किया जा सकता है। यदि यह मदद करता है, तो ग्राफ को Erd -s-Renyi प्रकार (जैसे, G (n, p) को किनारे पर रखने की संभावना के साथ यादृच्छिक माना जा सकता है , यानी औसत डिग्री रूप में बढ़ रहा है )। मुख्य अशांति उस स्थिति में होती है जहां _ ।$s/n$$p ~ (\log n)/n$$\log n$$s/n \in (0,1/2)$

Comments

मैंने शीर्षक बदल दिया है, क्योंकि आप जो पूछ रहे हैं वह रेंज स्पेस में विसंगति की समस्याओं से संबंधित है। हालांकि यह रेखांकन में विसंगति से संबंधित नहीं है (जो कि किनारे घनत्व विचलन के बारे में अधिक है)

— सुरेश वेंकट

साधारण बाध्य: यादृच्छिक पर ; , जहां vertex की डिग्री है और कुछ स्थिर हैं। तो, । यदि कहते हैं और ग्राफ अनियमित है, तो वहाँ मौजूद है जैसे कि । $\sigma$$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$$\delta_i$$i$$C$$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$$s = 3n/4$$(16/C)\log n$$\sigma$$N(\sigma) \geq n - O(1)$

— साशो निकोलेव

@ सुरेश: धन्यवाद। यही कारण है कि मुझे कंप्यूटर वैज्ञानिकों से पूछना पसंद है, आप कुछ नया सीखते हैं! तो रेंज स्पेस में विसंगति की समस्याओं के बारे में जानने के लिए अच्छी जगह कहां है? (शायद संक्षिप्त संक्षिप्त पत्र?)

— राहगीर ५१४

@ साशो: धन्यवाद। किसी कारण से, मैं समीकरणों को ठीक से नहीं देख सकता (वे आसपास के पाठ से टकरा गए हैं।) मैं इसे पढ़ने और आपके पास वापस लाने का प्रयास करूंगा। लेकिन मुझे यह उल्लेख करना चाहिए कि मेरे लिए दिलचस्प शासन और समस्या दृष्टिकोण रूप में कठिन प्रतीत होती है । (यह मूल समस्या में समरूपता पर विचार करने के कारण है जहां से यह आया है।) मुझे नहीं लगता कि एक यादृच्छिक देखना यह । $s/n \in (0,1/2)$$s/n$$1/2$$\sigma$$s/n \in (0,1/2)$

— राहगीर ५१४

अनुमान / आशा यह है कि लिए G (n, p) या । मुझे बस बारे में अपने मूल पोस्ट में टाइपो का एहसास हुआ । उसके लिए माफ़ करना। एवरेज डिग्री नहीं रूप में बढ़ रही है । $(\max N)/n = o(1)$$p ~ (\log n) / n$$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$$p$$\log n$$p$

— राहगीर ५१४

Answer 1

आप इसे "दूसरे पल की विधि" गणना के साथ देख सकते हैं, मैं एक यादृच्छिक बाधा संतुष्टि समस्या के लिए एक तेज दहलीज में इस्तेमाल के समान , असतत गणित 285 / 1-3 (2004), 301-305।

जब औसत डिग्री पर्याप्त रूप से बड़े निरंतर समय की तरह बढ़ती है $\log n$, यह दृष्टिकोण अक्सर संतोषजनकता की दहलीज को खोजने के लिए पर्याप्त है। यह संभवतः क्लॉस के अंश को भी दिखा सकता है जो एक असंतोषजनक उदाहरण में संतुष्ट हो सकता है, हालांकि मैंने इसकी जांच नहीं की है।

आपकी समस्या को मेरे सामान्य रूप में अधिक देखने के लिए, आप इसे "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" के रूप में देख सकते हैं, जिसमें CNF फॉर्मूला में एक विशेष ग्राफिकल संरचना अंतर्निहित है। मुझे नहीं लगता कि यह विशेष संरचना एक सबसे खराब स्थिति में विश्लेषण में मदद करेगी, हालांकि, और चूंकि आपके खंड का आकार गैर-समान है और आपका "खराब" असाइनमेंट सेट बढ़ता है, इसलिए गणना के माध्यम से जाना होगा और देखें कि क्या यह है अभी भी काम करता है।

Comments

इसे एक CSP के रूप में देखना वास्तव में एक विसंगति समस्या के रूप में देखने से बेहतर है

— साशो निकोलेव

धन्यवाद। यह बहुत दिलचस्प लग रहा है। मैं इस पर ध्यान दूँगा।

— राहगीर

Answer 2

मुझे अपनी टिप्पणी पर विस्तार से बताएं। सबसे पहले, यह विसंगति के समान है, लेकिन निश्चित रूप से कई मायनों में अलग है। की व्यवस्था दी$m$ सेट $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$प्रणाली की विसंगति है $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$। चलो निरूपित करते हैं$\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$। आपकी परिभाषा इस बात में भिन्न है कि आप कितने सेटों के लिए जानना चाहते हैं$\sigma(S_j)$ सकारात्मक है और विसंगति पूछती है कि कितना बड़ा है $\sigma(S_j)$सबसे खराब स्थिति में परिमाण में। एक त्वरित परिचय के लिए, शायद मेरे मुंशी नोट्स मदद कर सकते हैं। चेज़ेल की एक अच्छी किताब है जो बहुत विस्तार में जाती है।

एक आसान संभाव्य निचली सीमा के लिए जब $s > n/2$, जैसा कि मेरी टिप्पणी में, एक ग्राफ दिया गया है $G = ([n], E)$ डिग्री अनुक्रम के साथ $\delta_1, \ldots, \delta_n$, आप चुन सकते हैं $\sigma$ समान रूप से सभी दृश्यों से यादृच्छिक पर $s$ $1$की (ए) $\sigma_i$स्वतंत्र नहीं हैं, लेकिन इस मामले में एक चेर्नॉफ़ को भी साबित करना संभव होना चाहिए)। हमारे पास है$E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ और, एक चेरनॉफ बाउंड द्वारा, $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ कुछ निरंतर के लिए $C$। इसलिए$E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$। तो कुछ मौजूद है$\sigma$ जो इस सीमा को प्राप्त करता है।

संपादित करें: लगता है कि आप मामले में रुचि रखते हैं $s < n/2$। चलो चुन लेते हैं$\sigma$पिछले पैराग्राफ की तरह ही यादृच्छिक तरीके से। प्रतिस्थापन के बिना नमूने के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय के एक संस्करण का उपयोग करना ($\sigma$ आकार का एक नमूना है $s$ ग्राफ के कोने से प्रतिस्थापन के बिना), आपको यह दिखाने में सक्षम होना चाहिए $\xi_i(\sigma)$ मतलबी की तरह व्यवहार करता है $\delta_i (2s/n - 1)$ और विचरण के बारे में $\delta_i$, इसलिए $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ कुछ सी और के लिए $\eta(n)$केंद्रीय सीमा प्रमेय से एक त्रुटि पैरामीटर। हमारे पास होना चाहिए$n\eta(n) = o(n)$, तो आप ले सकते हैं $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$।

अस्वीकरण: यह केवल सार्थक है अगर $\delta_i$ निरंतर / छोटे या $s/n$ के बहुत करीब है $n/2$। इसके अलावा गणना कुछ हद तक अनुमानी है और बहुत सावधानी से नहीं की गई है।

Comments

अच्छे लिंक और तर्क के लिए धन्यवाद। मुझे संभाव्य तर्क पसंद है, लेकिन मुझे लगता है कि आपकी बाध्यता में कुछ गड़बड़ है। इसे आप सेटिंग करके देख सकते हैं$s = 0$जिसके लिए हमारे पास होना चाहिए $Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$। ऐसा लगता है कि यह गलत हो गया है: यदि आप चुनते हैं$\sigma$ समान रूप से समस्या में निर्दिष्ट सेट से यादृच्छिक पर, प्रत्येक $\sigma_j$ प्रोब है। $\gamma := s/n$ होने का $+1$और संभावना है। का$1-\gamma$ होने का $-1$। इसलिये,$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$ जो नकारात्मक है $\gamma \in (0,1/2)$...

— राहगीर

$\{\sigma_j\}$स्वतंत्र नहीं होगा और कड़ाई से बोल रहा हूँ हम Hoeffding असमानता का उपयोग नहीं कर सकते। लेकिन आइए हम इस मामूली विस्तार को नजरअंदाज कर दें और मान लें कि आईईडी तब, बाध्य होगा$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$ जो धारण करता है $t \ge 0$। हम सेट नहीं कर सकते$t = 2\gamma - 1 < 0$ लेना $Pr[\xi_i(\sigma) <0]$।

— राहगीर

क्षमा करें, मुझे यह निर्दिष्ट करना चाहिए: यहाँ धारणा यह थी कि $s > n/2$। अन्यथा इसका कोई मतलब नहीं है और आपको बेरी-एसेन की तरह मजबूत बनाने की आवश्यकता है। मुझे लगता है$\sigma_j$अनिवार्य रूप से स्वतंत्र माना जा सकता है

— साशो निकोलेव

@ passerby51 ने एक स्केच जोड़ा कि कैसे आप संभाव्यता को बढ़ाने के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय के मात्रात्मक संस्करण का उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं $s/n < 1/2$।

— साशो निकोलेव