माफिया कितना कठोर है?

Question

माफिया पार्टियों में एक लोकप्रिय भूमिका खेल है, एक विस्तृत विवरण विकिपीडिया http://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 पर उपलब्ध है ।

मूल रूप से, यह निम्नानुसार काम करता है:

• शुरुआत में, खिलाड़ियों में से प्रत्येक को गुप्त रूप से एक भूमिका सौंपी जाती है, या तो माफिया के साथ या टाउन के साथ गठबंधन किया जाता है। प्रत्येक भूमिका में विशेष क्षमताएं हो सकती हैं; इसके बारे में बाद में।$N$

• दो खेल चरण हैं: दिन और रात। रात में, माफिया एक-दूसरे के साथ गुप्त रूप से संवाद कर सकते हैं; और वे एक लक्षित खिलाड़ी पर सहमत हो सकते हैं, जो वे उस रात की हत्या करते हैं। दिन में, सभी (जीवित) खिलाड़ी एक खुले मंच में संवाद करते हैं। खिलाड़ी किसी एक खिलाड़ी को पाने के लिए सहमत हो सकते हैं, सभी खिलाड़ियों को पूर्ण बहुमत की आवश्यकता होती है।

• खेल समाप्त होता है यदि केवल माफिया बचा है, या केवल शहर ही बचा है। बची हुई पार्टी जीत जाती है।

• मान लेते हैं कि तीन भूमिकाएँ हैं: नागरिक, अन्वेषक और माफियाओ। नागरिकों के पास कोई शक्तियां नहीं हैं। माफियाओसी के पास भी रात में एक दूसरे के साथ संवाद करने और एक हत्या के शिकार के लिए मतदान करने की क्षमता नहीं है। जांचकर्ता प्रत्येक रात में एक दूसरे खिलाड़ी की जांच कर सकते हैं, उनकी सटीक भूमिका का पता लगा सकते हैं।

• मान लें कि खेल दिन पर शुरू होता है, और मृत्यु पर एक खिलाड़ी की भूमिका का पता चलता है

जीतने की रणनीति

आई इंवेस्टिगेटर्स, सी सिटिजन, और एम माफियाओसी के एक सेटअप को देखते हुए , हम कहते हैं कि सेटअप टाउन के लिए जीत रहा है , अगर टाउन खिलाड़ियों के लिए कोई रणनीति है, जैसे कि वे जीतते हैं, चाहे कोई भी हो माफिया खेलते हैं।$(i,c,m)$$i$$c$$m$

ध्यान दें कि हम यह मान सकते हैं कि माफिया पूरी जानकारी के साथ खेलता है, क्योंकि हम किसी भी निर्णय के लिए हिसाब कर सकते हैं।

उदाहरण: सेटअप टाउन के लिए जीतता है।$(4,1,1)$

दिन 1: सभी शहर के खिलाड़ी खुली चैट में अपनी भूमिका की सच्चाई की रिपोर्ट करते हैं। माफिया खिलाड़ी को अन्वेषक या नागरिक होने का दावा करना पड़ता है।

यदि वह सिटीजन का दावा करता है, तो माफियाओसो दो कथित नागरिकों में से एक है। प्रत्येक अन्वेषक किसी एक की जांच कर सकता है, और सही एक का पता लगाएगा। रात में ज्यादातर एक अन्वेषक की मृत्यु हो सकती है, और अन्य दो बस माफियाओ को फांसी देते हैं।

इसलिए, माफियाओ को अन्वेषक का दावा करना चाहिए। 5 कथित इनवेस्टरगेटर हैं। खुली चैट में, जांचकर्ता एक दूसरे की जांच करने के लिए एक क्रमपरिवर्तन पर सहमत होते हैं।

रात 1: जांचकर्ता अपने लक्ष्य की जांच करते हैं, और माफियाओस एक को मारता है।

दिन 2: 3 जांचकर्ता बचे हैं। सभी कथित जांचकर्ता अपने निष्कर्षों की रिपोर्ट करते हैं। मारे गए लोगों की कोई बात नहीं है, उनमें से कम से कम एक की पुष्टि दूसरे जिंदा अन्वेषक द्वारा भी की जाती है। चूंकि माफियाओ ने अन्वेषक का दावा किया था, उन्हें यह भी कहना होगा कि उनका निर्धारित लक्ष्य माफिया था या नहीं। यदि वह किसी को फ़्रेम करता है, तो टाउन जानता है कि या तो वह, या फ़्रेम वाला माफिया है, दूसरे की पुष्टि की गई 3 टाउन के खिलाफ। यदि वह किसी को फ्रेम नहीं करता है, तो 3 पुष्टिकृत टाउन भी होगा। किसी भी तरह से, किसी को भी फांसी नहीं देना और केवल 2 बचे हुए संदिग्धों की जांच करना टाउन के लिए जीत है।

प्रशन

• यह तय करना कितना कठिन है कि दिया गया सेटअप टाउन के लिए जीत की रणनीति को स्वीकार करता है या नहीं? Intuitively, यह लगता है एक तरह -Complete समस्या। क्या कोई कमी लेकर आ सकता है?$PSPACE$
• क्या हम न्यूनतम जीतने वाले सेटअप ढूंढ सकते हैं? जैसे कि हम अनुपात को कम कर सकते हैं या ( i + c ) : m ?$i:m$$(i+c):m$

Comments

क्या मौत पर पहचान उजागर की गई है?

— पायोत्र मिगडाल

ओह, हाँ वे हैं, मैं उल्लेख करना भूल गया।

— सायज

दिलचस्प। मैंने इस गेम का एक संस्करण खेला जिसमें मृत्यु के समय पहचान उजागर नहीं की जाती है। इसे विश्वसनीय कहानियों और झूठ का पता लगाने के बारे में अधिक जानकारी देता है।

— लुकास कुक

क्या खेल कभी भी सिकुड़ सकता है क्योंकि सिकुड़ता है लेकिन जनसंख्या का आकार समान रहता है? $m$

— लुकास कुक

@LucasCook हाँ, देख arxiv.org/abs/1009.1031 (माफिया खेल पर अपना पेपर)। एक खेल में जब दो खिलाड़ी मारे जा सकते हैं तो एक मोड़ पर खिलाड़ियों की कुल संख्या की समानता मायने रखती है। हालांकि, प्रभाव सटीक नियमों पर निर्भर करता है (जैसे कि लिंचिंग वैकल्पिक है या नहीं); और गैर-संभाव्य परिदृश्यों में नहीं दिखाई दे सकता है (उदाहरण के लिए विनिंग रणनीति पर सवाल, नहीं - जीतने की संभावना पर)।

— पियोट्र मिगडाल

Answer 1

यहां एक संदर्भ है जिसे आप देखना चाहेंगे: http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

माफिया: एक आंशिक जानकारी के माहौल में खिलाड़ियों और गठबंधन का सैद्धांतिक अध्ययन ब्रैवरमैन, एम। और एटेस्मी, ओ। और मोसेल, ई। एनाल्स ऑफ एप्लाइड प्रोबेबिलिटी 2008

Comments

मुझे महसूस नहीं हुआ कि समस्या का पहले ही अध्ययन किया जा चुका है। काश मैं यह जानता था जब मैं माफिया खेल रहा था :)

— सुरेश वेंकट

धन्यवाद, मैं इस पर गौर करूंगा ... हालांकि, ऐसा लगता है कि वे नियतात्मक जीत की रणनीतियों की तलाश करने के बजाय यादृच्छिक रणनीतियों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जहां माफिया पूरी जानकारी के साथ खेलते हैं

— Syzygy

यह पत्र संभावनाओं से संबंधित है और इसलिए काफी अलग समस्या से संबंधित है।

— डोमटॉर्प

@domotorp: जिस तरह से माफिया की स्थापना की गई है, अधूरा ज्ञान के साथ, यह संभव है कि एक संभाव्य रणनीति के लिए सबसे अच्छा है। यदि एक माफियाओ हमेशा एक नागरिक होने का दावा करता है (या हमेशा एक अन्वेषक होने का दावा करता है), तो टाउन को चिंता करने वाले संदिग्धों की संख्या काफी कम हो जाती है।

— पीटर शोर

@ पेटर: मैं आपसे सहमत हूं लेकिन यह सवाल नियतकालिक सबसे खराब स्थिति वाली रणनीति के बारे में है, जैसा कि सियाजी ने भी अपनी टिप्पणी में उल्लेख किया है।

— डोमटॉर्प

Answer 2

सबसे पहले, ध्यान दें कि खेल को शुरू करने के लिए प्रत्येक नागरिक से उनकी भूमिका पूछना हमेशा फायदेमंद होता है अगर हम टाउन के लिए एक निर्णायक जीत की रणनीति की तलाश कर रहे हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अगर माफियाओसी ने खुद को टाउन जीत घोषित किया है, तो कोई बात नहीं, यह स्पष्ट रूप से पूछने का कोई नुकसान नहीं है। और अगर माफियाओसी खुद को कुछ घोषित कर सकते हैं और उस मामले में जीत सकते हैं, तो वे यह दिखावा करते हैं कि उन्होंने घोषणा की और उसके अनुसार कार्य किया।

इसके अलावा, इस तरह का खेल संभवतः PSPACE- पूर्ण नहीं होगा क्योंकि इसमें कोई अंतर्निहित संरचना नहीं है। मैं दृढ़ता से मानता हूं कि आई, सी, एम के सभी मूल्यों के लिए खेल का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं है। नीचे मैं यह मी = 1 के लिए करता हूं। तो अब से हमें लगता है कि वहाँ केवल एक माफियो, एम है, और खेल भूमिकाओं को पूछने के साथ शुरू होता है। अब M या तो अन्वेषक या नागरिक का दावा करता है। आइए हम दोनों मामलों की जाँच करें।

केस 1: एम जांचकर्ता का दावा करता है

यदि मैं = 0 है, तो टाउन जीतता है यदि c कम से कम 2 है।

यदि मैं = 1 है, तो टाउन जीतता है अगर ग कम से कम 4. छोटी संख्या के लिए वे खो देते हैं क्योंकि एम प्रत्येक रात एक नागरिक को मार सकता है।

यदि मैं = 2, तो शहर जीतता है यदि c कम से कम 3. 3 कथित जांचकर्ता एक दूसरे को एक परिपत्र आदेश में पूछ सकते हैं। जब तक उनमें से एक की मृत्यु नहीं हो जाती, तब तक एम का पता चलता है, इसलिए उसे एक अन्वेषक को मारना चाहिए। यह खेल को i = 1 तक कम कर देता है।

यदि मैं = 3, तो शहर जीतता है यदि c कम से कम 1. 4 कथित जांचकर्ता एक दूसरे को एक परिपत्र आदेश में पूछ सकते हैं। जब तक उनमें से एक की मृत्यु नहीं हो जाती, तब तक एम का पता चलता है, इसलिए उसे एक अन्वेषक को मारना चाहिए। अब एम के लिए (अधिकतम) दो संभावनाएं हैं और कम से कम 5 लोग शेष हैं, इसलिए वे दोनों को मार सकते हैं। यदि c = 0 है, तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे एक-दूसरे से कैसे पूछते हैं, एम हमेशा किसी को मार सकता है और छिपा रह सकता है (मामले के विश्लेषण से), इसलिए टाउन की कोई निर्णायक जीत नहीं है।

यदि i> = 4 है, तो टाउन कथित जांचकर्ताओं द्वारा एक दूसरे से एक परिपत्र क्रम में पूछते हुए जीतता है, जैसा कि i = 3 में है।

केस 2: एम नागरिक का दावा करता है

यहां खेल बहुत सरल है, जांचकर्ता हर दौर में अलग-अलग लोगों से पूछते हैं और एम प्रत्येक रात उनमें से एक को मारता है (एक नागरिक की तुलना में अन्वेषक को मारना हमेशा बेहतर होता है)। इसके अलावा, कभी-कभी वे एक नागरिक को मारने के लिए वोट कर सकते हैं (वास्तव में, ऐसा करना हमेशा ठीक होता है, जब तक कि मैं = 2 और सी = 1)। पुनरावृत्ति का उपयोग करने के कारण, नागरिकों को निर्दोष साबित करने की अनुमति देना भी बेहतर है, और एन द्वारा उनकी संख्या को निरूपित करना।

टाउन जीत गया अगर

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2, और यहाँ से हम देख सकते हैं (और यह भी आसानी से साबित कर सकते हैं) सामान्य i Town के लिए जीतता है अगर और केवल अगर n> = c + 2-i ^ 2। चूंकि असली गेम में शुरुआत में कोई निर्दोष नागरिक नहीं होता है, इसका मतलब है कि टाउन जीतता है अगर मैं ^ 2> = c + 2।

इसे एक साथ रखना: अगर मैं <= 2 है तो टाउन की कोई भी निर्णायक जीत नहीं है। I = 3 के लिए, टाउन 1 <= c <= 7 के लिए जीतता है (जैसा कि 0 M जांचकर्ता का दावा कर सकता है और c> = 8 के लिए, वह नागरिक का दावा कर सकता है)। I> = 4 के लिए, शहर c <= i ^ 2-2 के लिए जीतता है।