मास्टर समीकरण और ऑपरेटर सम फॉर्म

Question

मैं क्वांटम ऑप्टिक्स वाले लड़के से अधिक हूं, जो क्वांटम इंफोर्मेशन लड़के से ज्यादा है, और मुख्य रूप से मास्टर समीकरणों में काम करता है। मुझे ऑपरेटर-सम फॉर्म में दिलचस्पी है, और मैं इस रूप में त्रुटियों को एक छोटी क्वांटम प्रणाली के लिए प्राप्त करना चाहूंगा जिसे मैं अनुकरण कर रहा हूं।

पकड़: क्वांटम प्रणाली एक बाहरी (शास्त्रीय) क्षेत्र द्वारा संचालित होती है जिसे साइनसोइडल फ़ंक्शन के साथ बनाया गया है, और भिगोना दर कम है, इसलिए मैं इस समय की निर्भरता को खत्म करने के लिए एक घूर्णन तरंग सन्निकटन नहीं बना सकता। यह देखते हुए कि मुझे एकीकरण द्वारा संख्यात्मक समीकरण को हल करना होगा, और समय पर प्रत्येक एकीकरण का परिणाम इन त्रुटियों का पता लगाने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं है, और मुझे सुपरऑपरेटर मैट्रिक्स को पुनर्प्राप्त करने के लिए कुछ काम करने की आवश्यकता है जो एक वेक्टर घनत्व पर संचालित होता है आव्यूह। यानी मैं 1 और शेष शून्य की एकल प्रविष्टि के साथ एक सघन घनत्व मैट्रिक्स को मास्टर समीकरण खिलाता हूं, और एक विशेष समय के लिए मैट्रिक्स का निर्माण करता हूं । क्या मैं यहाँ सही रास्ते पर हूँ (विवेक की जाँच)? अधिक स्पष्ट रूप से, यदि v e c$t$$\tau$ की स्थिति में 1 की एक एकल प्रवेश के साथ एक घनत्व मैट्रिक्स की vectorised (इसलिए यह एक स्तंभ वेक्टर है) रूप है मैं , जे , पर टी = 0 उस समय के लिए विकसित किया गया है τ , तो एक मैट्रिक्स से घनत्व मैट्रिक्स के वेक्टर प्रपत्र लेने के लिए टी = 0 करने के लिए टी = τ रूप में दिया जाता एम = Σ मैं , जे वी ई सी ( ρ मैं j , टी = 0$\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$$i,j$$t=0$$\tau$$t=0$$t=\tau$ ।$\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

प्रश्न: इस superoperator को देखते हुए करता है $\mathbf{M}$ , मैं कैसे के ऑपरेटर-राशि समकक्ष के लिए क्रूस ऑपरेटरों प्राप्त कर सकते हैं एम कि एक उपयोगी रूप में कर रहे हैं? यानि विचाराधीन प्रणाली एक qubit या एक qutrit और दूसरी qubit या qutrit है। यदि संभव हो तो मैं प्रत्येक चैनल पर स्पिन मैट्रिसेस के टेंसर उत्पादों के रूप में ऑपरेटर योग करने में सक्षम होना चाहता हूं।$\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$$\mathbf{M}$

साइड सवाल: क्या चोई मैट्रिक्स है?$\mathbf{M}$

अंतिम नोट: मैंने पिंजा को स्वीकृति प्रदान की, जैसा कि मैंने सुझाए गए कागज का इस्तेमाल किया था। मैंने नीचे एक उत्तर दिया है जो विवरण में भरता है।

Comments

आपका क्या मतलब है "सिस्टम विचाराधीन एक qubit या एक qutrit और दूसरी qubit या qutrit है।" - "अन्य प्रणाली" क्या है? क्या आप यूनिटरी + ट्रेसिंग का उपयोग करके इस चैनल को लागू करने के लिए आवश्यक एंकिल के बारे में बात कर रहे हैं? उस स्थिति में, ध्यान दें कि एनिला का आयाम डी ^ 2 तक हो सकता है, इसलिए क्वैबिट्स नहीं करेंगे।

— नॉर्बर्ट शुच

नहीं, फिलहाल यह केवल एक खिलौना मॉडल है जिसमें दो छोटे क्वांटम सिस्टम शामिल हैं जो युग्मित हैं, और अलग-अलग टी 1 और टी 2 बार हैं। इस प्रश्न का उत्तर गंभीर चिंता का विषय नहीं है। यह अधिक रुचि का विषय है, क्योंकि भविष्य में इसे कैसे करना है, इसके बारे में अधिक जानना आसान हो सकता है।

— qubyte

क्या मुझे यह सवाल सीएस थ्योरी में फिजिक्स के बजाय माइग्रेट करके दिया जा सकता है?

— qubyte

खैर ... मुझे लगता है कि यह यहाँ ठीक होता, लेकिन ठीक है।

— डेविड जेड

धन्यवाद। क्षमा करें, बस Physics.SE का एक बड़ा प्रशंसक नहीं है, और वैसे भी, मुझे लगता है कि अनुसंधान उन्मुख क्यूआई प्रश्न यहां (आश्वस्त होने के बाद) बेहतर फिट होते हैं।

— '15:35

Answer 1

मैंने अपने मास्टर्स थीसिस पर बहुत ही समान समस्या पर काम किया, जिसमें मैंने एक विवादास्पद वातावरण में एक चालित qubit के गैर-मार्कोवियन गतिकी का अध्ययन किया। मेरी रुचि यह जांचने में थी कि मैंने जो मास्टर समीकरण प्राप्त किया वह पूरी तरह से सकारात्मक था, लेकिन यह आपकी समस्या का सिर्फ एक पक्ष है। यदि आरडब्ल्यूए नहीं बनाया गया है, तो यह प्रश्न बहुत ही गैर-तुच्छ था, लेकिन मैं रेफ का उपयोग करके कुछ परिणाम प्राप्त करने में सक्षम था। [ जे मॉड ऑप्ट। ५४, १६ ९ ५ (२०० 2007) ] और इस तथ्य का फायदा उठाते हुए कि क्वाइब को कमजोर रूप से पर्यावरण के साथ जोड़ा जाता है। मैं अपने ड्रम को हराऊंगा और रेफ भी दूंगा। एक लेख में जहां मैं इनमें से कुछ परिणाम प्रस्तुत करता हूं, [पी। हाइका और एस। मानिकेल्को, भौतिकी। Rev. A 81, 052103 (2010)] , आपको यह उपयोगी लग सकता है।

Comments

आह! यह पता चला है कि मैं अब कुछ दिनों के लिए एंडरसन पेपर एक को देख रहा हूं। यह बहुत ही आशाजनक लगता है, और सबसे ठोस नुस्खा देता है। मुझे समस्याओं को लागू करने का एक तरीका पसंद है। सच कहूं, तो मुझे वास्तव में बैठने और इसे देखने के लिए समय का एक पैच खोजने की जरूरत है। यह इस समय एक निजी परियोजना के अधिक है।

— क्वांबट

Answer 2

क्वांटम यांत्रिकी के जवाब में मार्कोव प्रक्रिया के रूप में दिए गए संदर्भ  - विशेष रूप से कार्लटन केव्स के ऑन-लाइन नोट " पूरी तरह से सकारात्मक नक्शे, सकारात्मक नक्शे और लिंडब्लड फॉर्म " - सर्वेक्षण भौतिक विचारों और गणितीय उपकरण जो प्रश्न का उत्तर देने में सहायक हैं।

$M$$M$$M$$M$ संख्यात्मक रूप से इसकी संपूर्णता में दिया गया है।

$M$

यदि "अल्गोरिमिक क्रैंक मोड़" द्वारा इन जैसे सवालों का कुशलता से जवाब दिया जा सकता है, तो क्वांटम भौतिकी एक बहुत कम दिलचस्प विषय होगा! :)

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यह बहुत ज्यादा है जो मैं उम्मीद कर रहा था कि मामला नहीं था, लेकिन सोचा होगा। अफसोस की बात है कि केवल डिपोलेशन के साथ ही डिप्रेशन के मामले में सिस्टम में शोषणकारी समरूपता है। लिंडब्लाड मास्टर समीकरण का एक बहुत ही आकर्षक रूप है जो ऐसे शब्दों को एकत्र करता है जो क्रस फॉर्म के नॉन-हेर्मिटियन हैमिल्टन में नहीं होते हैं, जो कि हैमिल्टन में समय-निर्भरता के मामले के लिए आधार का चयन करने के लिए इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है जो स्वाभाविक रूप से क्षय को व्यक्त करता है शेष क्रस की शर्तों के रूप में। नीट, लेकिन मेरे लिए कोई मदद नहीं।

— qubyte

गुफाओं के नोटों में से एक संदर्भ वुल्फ और सिराक डिवाइडिंग क्वांटम चैनल (arXiv: math-ph / 0611057) है, जिसे मैं व्यक्तिगत रूप से (कई और सूक्ष्म) क्वांटिक सूचनात्मक मुद्दों को समझने की कम से कम वारंटी के बिना सलाह देता हूं, जिस पर यह लेख चर्चा करता है! :)

$\mathbf{M}$$\mathbf{M}$

Answer 3

मुझे लगता है कि आप जो खोज रहे हैं वह यह है: रियल डेंसिटी मैट्रिक्स । यह आपको विभिन्न सुपरोपरेटर अभ्यावेदन (पॉलिस के टेंसर उत्पाद आधार का उपयोग करने सहित) के बीच परिवर्तित करने के लिए एक नुस्खा देता है। परिणामों का उपयोग करने वाली एक विस्तृत क्वांटम प्रक्रिया टोमोग्राफी प्रयोग यहाँ हैं: क्वांटम प्रक्रिया टोमोग्राफी ऑफ़ क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म । आम तौर पर, Havel ने भी कम से कम Kraus अभ्यावेदन में परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम निकाले हैं: लिंडब्लैड, Kraus और क्वांटम डायनामिक सेमीग्रुप्स के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के बीच प्रक्रिया ।

${\rm vec}(\rho)$$\rho$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$${\rm col}(\rho)$${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

$${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$$ $${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$$ $\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

Comments

यह दिलचस्प है, यह ठीक वही हो सकता है

— जिसकी

मैंने सिर्फ आपका जोड़ देखा। धन्यवाद, यह बहुत उपयोगी है। मैंने मूल रूप से आपका संस्करण vec लिया था, लेकिन अब मैं स्टैक्ड कॉलम का उपयोग करता हूं। इसके लिए विकिपीडिया का धन्यवाद । शायद मुझे स्पष्टता के लिए आपकी धारणा को अपनाना चाहिए।

— qubyte

Answer 4

जैसा कि पिंजा ने कहा, एंडरसन एट अल द्वारा एक पेपर। ( arXiv ) ( DOI ) विशेष रूप से उपयोगी रहा है। पेपर बहुत विस्तार में चला गया, और मैं आखिरकार आज इस पर एक उचित नज़र डालने के लिए बैठ गया। एक उदाहरण की समस्या के रूप में, मैंने एक एक्सचेंज इंटरैक्शन के साथ दो क्विबिट्स को यह जांचने के लिए चुना कि मैं जो विचार कर रहा हूं उसका न्यूनतम संस्करण है। शुरू करने के लिए, मास्टर समीकरण द्वारा दिया गया है

$$\dot\rho = \Lambda(\rho).$$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$1/2$$G_i$$G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

$$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$$

यदि हम मास्टर समीकरण के साथ एक वेक्टर घनत्व घनत्व ऑपरेटर पर अभिनय के रूप में काम कर रहे हैं जैसा कि सवाल में चर्चा की गई है, तो इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$$

जो एल को एकल मैट्रिक्स समीकरण में प्राप्त करने की अनुमति देता है, लेकिन यह थोड़ा बंद विषय हो रहा है।

$L$$F$$\phi$

$$F(t) = \exp(Lt).$$

$F$$S$

$$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$$

अंत में, अद्भुत भाग।

$$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$$

$S$$\Lambda$$\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

यह उम्मीद के अनुसार क्विट और क्यूट्रिट्स के लिए स्वतंत्र समय में काम करता है। मुझे यह जांचने की आवश्यकता है कि यह समय निर्भरता के मामले में काम करता है।