नेटवर्क विश्लेषण के लिए जोड़ी सन्निकटन का शोधन


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जब नेटवर्क पर इंटरैक्शन पर विचार करते हैं, तो आमतौर पर डायनामिक्स को विश्लेषणात्मक रूप से गणना करना बहुत कठिन होता है , और अनुमान लगाया जाता है। माध्य क्षेत्र सन्निकटन आमतौर पर पूरी तरह से नेटवर्क संरचना की अनदेखी करते हैं, और इसलिए शायद ही कभी एक अच्छा सन्निकटन होता है। एक लोकप्रिय सन्निकटन युग्म सन्निकटन है, जो आसन्न नोड्स के बीच निहित सहसंबंधों पर विचार करता है (सहजता से हम इसे किनारों पर औसत-क्षेत्र सन्निकटन के रूप में सोच सकते हैं)।

यदि हम केली रेखांकन पर विचार कर रहे हैं, और बहुत अच्छा है यदि हम अनियमित यादृच्छिक रेखांकन देख रहे हैं तो अनुमान सही है । व्यवहार में यह उन मामलों के लिए भी अच्छा अनुमान प्रदान करता है जब हमारे पास औसत डिग्री साथ यादृच्छिक ग्राफ और आसपास डिग्री का एक तंग वितरण होता है । दुर्भाग्य से, बहुत सारे नेटवर्क और इंटरैक्शन जो रुचि के हैं, इन प्रकार के रेखांकन द्वारा अच्छी तरह से मॉडल नहीं किए गए हैं। वे आम तौर पर बहुत अलग डिग्री वितरण (उदाहरण के लिए स्केल-फ्री नेटवर्क जैसे) के साथ ग्राफ द्वारा अच्छी तरह से मॉडल किए जाते हैं, विशिष्ट (और उच्च) क्लस्टरिंग गुणांक के साथ , या विशिष्ट औसत लघु -पथ दूरी (अधिक के लिए, अल्बर्ट और बारबासी 2001 देखें ) ।k k

क्या जोड़ी सन्निकटन के शोधन हैं जो इन प्रकार के नेटवर्क के लिए अच्छी तरह से काम करते हैं? या अन्य विश्लेषणात्मक अनुमान उपलब्ध हैं?


नेटवर्क पर इंटरैक्शन का एक उदाहरण

मुझे लगा कि मैं नेटवर्क पर अंतःक्रियाओं से जो मतलब रखता हूं उसका एक उदाहरण दूंगा। मैं विकासवादी खेल सिद्धांत से अपेक्षाकृत सामान्य उदाहरण को शामिल करूंगा।

आप प्रत्येक नोड को एक एजेंट के रूप में सोच सकते हैं (आमतौर पर केवल एक रणनीति द्वारा दर्शाया गया है), जो एक दूसरे एजेंट के साथ कुछ निश्चित गेम जोड़ी बनाता है जो इसके लिए एक किनारे है। इस प्रकार, प्रत्येक नोड को रणनीति के कुछ असाइनमेंट के साथ दिया गया नेटवर्क प्रत्येक नोड के लिए एक भुगतान करता है। फिर हम अगले भुगतान के लिए नोड्स के बीच रणनीतियों के वितरण को निर्धारित करने के लिए इन भुगतानों और नेटवर्क संरचना का उपयोग करते हैं (प्रत्येक एजेंट पड़ोसी को उच्चतम भुगतान, या इसके कुछ संभावित संस्करण के साथ कॉपी करने के लिए एक सामान्य उदाहरण हो सकता है)। प्रत्येक रणनीति के एजेंटों की संख्या और कैसे ओवरटाइम बदलता है, इसके बारे में जानने के लिए आमतौर पर हम जिन सवालों में रुचि रखते हैं। अक्सर हमारे पास स्थिर वितरण होता है (जो हम तब जानना चाहते हैं, या लगभग) या कभी-कभी सीमा-चक्र या इससे भी अधिक विदेशी जानवर।

यदि हम इस तरह के मॉडल पर माध्य-क्षेत्र सन्निकटन करते हैं, तो हम अपने डायनेमिक के रूप में रेप्लिकेटर समीकरण प्राप्त करते हैं , जो नेटवर्क संरचना की स्पष्ट रूप से उपेक्षा करता है और केवल पूर्ण रेखांकन के लिए सटीक है। यदि हम जोड़ी सन्निकटन का उपयोग करते हैं ( ओह्त्सुकी और नोवाक 2006 के रूप में ) तो हम थोड़ा अलग डायनामिक्स प्राप्त करेंगे (यह वास्तव में एक संशोधित अदायगी मैट्रिक्स के साथ प्रतिकृति डायनेमिक्स होगा, जहां संशोधन ग्राफ की डिग्री और अद्यतन चरण की बारीकियों पर निर्भर करता है) जो यादृच्छिक रेखांकन के लिए सिमुलेशन से अच्छी तरह मेल खाता है, लेकिन ब्याज के अन्य नेटवर्क के लिए नहीं।

उदाहरण के लिए अधिक भौतिकी के लिए: एजेंटों को स्पिन द्वारा प्रतिस्थापित करें और अदायगी मैट्रिक्स को इंटरैक्शन हैमिल्टनियन कॉल करें, फिर समय-समय पर यादृच्छिक माप करते हुए अपने सिस्टम को ठंडा करें।

नोट्स और संबंधित प्रश्न

  • इस प्रकार के युग्म सन्निकटन के सीधे सामान्यीकरण जो कि त्रिगुणों पर एक प्रकार के मध्य-क्षेत्र सन्निकटन पर विचार करते हैं, या नोड्स के चतुष्कोण) अनैच्छिक हैं और फिर भी बहुत भिन्न डिग्री वितरण या औसत लघु-पथ दूरी को ध्यान में नहीं रखते हैं।

  • एल्गोरिथ्म विकासवादी खेल सिद्धांत के लिए स्रोत


क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि आपको किसके लिए सन्निकटन की आवश्यकता है? यानी नेटवर्क के किन गुणों में आपकी रुचि है?
पियोट्र मिग्डाल सेप

@Prrr मुझे ऐसे उपकरणों में दिलचस्पी है जो विभिन्न डिग्री वितरण (लेकिन कम से कम पैमाने पर मुक्त) के साथ ग्राफ़ के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है और जहां विश्लेषण स्पष्ट रूप से नोड्स के बीच गुणांक और औसत कम-पथ दूरी को ध्यान में रखता है। विशेष रूप से, यह उन मापदंडों पर निर्भर करने के लिए उपकरण के लिए वांछित है (अधिकांश जोड़ी सन्निकटन केवल औसत डिग्री पर निर्भर करता है, और कभी-कभी तंग वितरण के लिए डिग्री-प्रसार की मानक त्रुटि)।
Artem Kaznatcheev

@ आर्ट: एक तरीका ग्राफ स्पेक्ट्रम (यानी इसके लैप्लस मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम) की गणना करना है । स्पेक्ट्रम डिग्री वितरण से संबंधित है, लेकिन यह क्लस्टरिंग पर भी निर्भर करता है और (मुझे लगता है) नोड्स के बीच औसत कम से कम दूरी है।
पियोत्र मिग्डल सेप

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@ आर्टम: मैं इस बात पर पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हूं कि आप क्या चाहते हैं / गणना करने में सक्षम हैं। जाहिर है कि कोई भी सन्निकटन ग्राफ़ के सभी पहलुओं का सही-सही प्रतिनिधित्व करने में विफल होगा, इसलिए यह जानना ज़रूरी है कि आप उस ग्राफ़ के किन कार्यों की परवाह करते हैं। बहुत सीएमपी विधियां हैं जिन्हें नंगे करने के लिए लाया जा सकता है, लेकिन आप हमेशा एक संपत्ति का निर्माण कर सकते हैं जिसके लिए वे असफल होंगे।
जो फिट्जसिमोंस

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@ आर्टम: एक स्पष्ट उदाहरण देने से डरो मत, भले ही वह भौतिकी के बाहर हो।
पियोत्र मिग्डल सेप

जवाबों:


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सामान्य तौर पर, आप ग्राफ सिद्धांत में वर्णक्रमीय तरीकों में दिलचस्पी ले सकते हैं, क्योंकि वे एक शक्तिशाली उपकरण हैं। आप ग्राफ (या की निकटता मैट्रिक्स eigenvalues के विश्लेषण कर सकते हैं ग्राफ के Laplacian मैट्रिक्स )।

इस तरह के तरीके न केवल ग्राफ के स्थानीय गुणों (जैसे डिग्री वितरण) को ध्यान में रखते हैं, बल्कि वैश्विक (जैसे कनेक्टिविटी, उपस्थिति या शॉर्टकट की अनुपस्थिति) को भी ध्यान में रखते हैं। विशेष रूप से, स्पेक्ट्रम सीधे जोड़े की संख्या, त्रिकोण और सबसे छोटी पथ (दूसरा संदर्भ देखें) से संबंधित है।

एक संदर्भ के रूप में (मैंने केवल उनके माध्यम से स्किम्ड किया, लेकिन वे उपयोगी दिखते हैं):


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जिस तरह से आप अपना प्रश्न तैयार करते हैं, वह आपको ध्वनि की तरह लगता है जैसे कि आप गतिशीलता के बारे में परवाह करते हैं, लेकिन चूंकि आप जो देख रहे हैं वह एक स्थिर स्थिति समाधान है, जमीनी राज्यों को नीचे जाने के लिए बहुत अधिक उत्पादक मार्ग की तरह लगता है।

चूंकि आप जोड़ीदार सन्निकटन से आगे जाना चाहते हैं, इसलिए सबसे प्राकृतिक उम्मीदवार तकनीक मैट्रिक्स उत्पाद राज्य लगती है , जो क्वांटम ग्राउंड राज्यों से निपटने के लिए इस समय एक बहुत ही गर्म विषय है। यह दृष्टिकोण जिस तरह से काम करता है, वह मूल रूप से नोड्स के बीच अधिकतम उलझे जोड़े को पेश करने से होता है, और प्रत्येक नोड पर एक प्रोजेक्टर पेश करता है। उच्च आयामी सिस्टम जोड़कर आप ग्राफ़ की अधिक विशेषताओं को कैप्चर करेंगे। मुझे पता है कि आपकी समस्या शायद क्वांटम नहीं है, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह तकनीक अभी भी काम क्यों नहीं करे। आपको केवल साथ उलझे हुए राज्यों को बदलने में सक्षम होना चाहिए12(|0000|+|1 11 1|)

इसके अलावा, मुझे यकीन नहीं है कि यह उस तरह की चीज है जिसे आप ढूंढ रहे हैं या नहीं, लेकिन स्केल-फ्री नेटवर्क की वास्तविकता पर कुछ हालिया परिणाम हैं, जिससे पता चलता है कि वे दो चरण के बदलावों को प्रदर्शित करते हैं जो अभी-अभी स्वीकार किए गए हैं पीआरएल। "ऑल स्केल-फ्री नेटवर्क विरल हैं" शीर्षक वाला एक प्रीपेयर arXiv: 1106: 5150 के रूप में पाया जा सकता है ।


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दो चीजें जो आप देखना चाहते हैं:

एल्गोरिथ्म खेल थ्योरी चौ। 7: ग्राफिकल गेम्स

विकासवादी खेलों में उतार-चढ़ाव

पहला गेम या स्पिन सिस्टम में संतुलन का पता लगाने के तरीके के बारे में बताया गया है। रणनीति अपनाने के लिए कुछ मेटा-स्ट्रेटेजी (विशेष रूप से गिब्स सैंपलिंग के समान है जो एक सहसंबद्ध संतुलन की ओर जाता है) बहुत सामान्य, ट्रैक्टेबल विश्लेषण की अनुमति देता है।

बड़े विचलन सिद्धांत का उपयोग करके विकासवादी गेम थ्योरी मॉडल में बड़े उतार-चढ़ाव या "मानदंडों" में बदलाव की भविष्यवाणी करने का दूसरा प्रयास। इससे निपटने के उदाहरण छोटे पैमाने पर हैं, लेकिन लेखक उस गणितीय मशीनरी को बनाने का प्रयास करता है जिसका वह सामान्य और शक्तिशाली उपयोग करता है, इसलिए यह आपके मामले पर लागू हो सकता है।

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