क्या दोहरे में होमोसेक्सुअल चक्रों को नापसंद करने की एक जोड़ी ग्राफ को अलग करती है?

Question

चलो $G$ जीनस के एक उन्मुख कॉम्पैक्ट सतह पर एम्बेडेड एक ग्राफ हो $g$ताकि एम्बेडिंग सेलुलर हो। ग्राफ के दोहरे पर विचार करें$G^*$। चलो$C_1$ तथा $C_2$ में चक्रवृद्धि होना $G^*$ जो एक दूसरे के समरूप हैं और जाने देते हैं $E_1$ तथा $E_2$ में उनके इसी बढ़त सेट हो $G$क्रमशः। है$G \setminus (E_1 \cup E_2)$ एक डिस्कनेक्ट ग्राफ?

Answer 1

हाँ। मुझे लिखने दो$\Sigma$ जिस सतह के लिए $G$ तथा $G^*$ एम्बेडेड हैं।

क्योंकि चक्र $C_1$ तथा $C_2$ होमोटोपिक हैं, वे भी उसी में हैं $\mathbb{Z}_2$-होमोलॉजी क्लास। तो परिभाषा के अनुसार, सममित अंतर$C_1\oplus C_2$ चेहरों के कुछ सबसेट के मिलन की सीमा है $G^*$; चेहरों के इस मिलन को बुलाओ$U$। (वास्तव में, या तो$U$ या इसके पूरक हैं $\Sigma\setminus U$ वार्षिकी होनी चाहिए, लेकिन यह महत्वपूर्ण नहीं है।)

चूंकि $C_1$ तथा $C_2$ असम्बद्ध हैं, सममित अंतर $C_1\oplus C_2$ संघ के बराबर है $C_1\cup C_2$। विशेष रूप से, हमारे पास है$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$, जिसका तात्पर्य है कि दोनों $U$ और इसके पूरक $\Sigma\setminus U$खाली नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, उपसतह$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$ काट दिया जाता है।

में कोई भी रास्ता $G$ में एक पथ के रूप में देखा जा सकता है $\Sigma$ के कोने से बचा जाता है $G^*$, और इसके विपरीत (होमोटोपी तक)। इस प्रकार, (ग्राफ) के घटक$G\setminus (E_1\cup E_2)$ के (सतह) घटकों के लिए जैविक रूप से मेल खाती है $\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं$G\setminus (E_1\cup E_2)$ काट दिया जाता है।

धारणा है कि $\Sigma$ ओरिएंटेबल का उपयोग कभी नहीं किया जाता है।

Comments

जेफ, क्या आप मुझे एक संदर्भ के लिए इंगित कर सकते हैं जिसमें यह परिणाम है?

नहीं, माफ करिए। लेकिन अवलोकन कि दो सरल असम्बद्ध होमोटोपिक गैर-संविदात्मक चक्रों में एक अन्नुलस (जो आपको वहां सबसे अधिक मिलता है) डेविड बीए एपस्टीन में दिखाई देता है। 2-कई गुना और समस्थानिक पर वक्र। एक्टा मैथमेटिका 115: 83–107, 1966।

— जेफ