फिक्स्ड ग्राफ पर समस्या

Question

जैसा कि हम जानते हैं, -clique फ़ंक्शन पूर्ण -vertex ग्राफ एक ( फैले ) को , और आउटपुट iff में -clique होता है । इस मामले में चर किनारों के । यह पता है (रेज़बोरोव, अलोन-बोपाना) कि, , इस फ़ंक्शन को बारे में आकार के मोनोटोन सर्किट की आवश्यकता होती है । सी एल मैं क्यू यू ई ( एन , कश्मीर ) जी ⊆ कश्मीर एन एन कश्मीर एन 1 जी कश्मीर कश्मीर एन 3 ≤ कश्मीर ≤ n / 2 n $k$$CLIQUE(n,k)$$G\subseteq K_n$$n$$K_n$$1$$G$$k$$K_n$$3\leq k\leq n/2$$n^k$

लेकिन अगर हम ले एक तय ग्राफ , और एक लय बूलियन समारोह पर विचार है, जो लेता है एक सबसेट कोने, और आउटपुट की कुछ iff में कोने प्रपत्र एक में गुट । इस मामले में चर कोने के अनुरूप होते हैं , और फ़ंक्शन केवल मानक क्लिक फ़ंक्शन है, लेकिन एक निश्चित ग्राफ़ के फैले हुए सबग्राफ तक सीमित है । एस जी कश्मीर एन$G\subseteq K_n$एस ⊆ [ एन ] 1 $CLIQUE(G,k)$$S\subseteq [n]$$1$$k$$S$$G$$K_n$$G$

1. क्या -vertex ग्राफ़ मौजूद है जिसके लिए को से बड़े आकार के मोनोटोन सर्किट की आवश्यकता होती है ? मेरे अनुमान से ऐसा नहीं है। G C L I Q U E ( G , k ) n O ( लॉग एन $n$$G$$CLIQUE(G,k)$$n^{O(\log n)}$

2. क्या रेखांकन के कुछ अनुक्रम के लिए NP-कठिन समस्या है ? मेरे अनुमान से ऐसा नहीं है। ( G n : n = 1 , 2 … $CLIQUE(G_n,k)$$(G_n\colon n=1,2\ldots)$

ध्यान दें कि यदि सभी अधिक से अधिक क्लिक्स में हैं , तो एक के रूप में या के गणना की जा सकती threshold- काम करता है, वें जिनमें से परीक्षण है कि क्या । इस प्रकार, यदि , तो पूरा सर्किट बहुपद का है। लेकिन अधिकतम क्लोन की एक घातीय संख्या के साथ ग्राफ़ के बारे में क्या? (एक गुट अधिकतम होता है, इसमें कोई शीर्ष नहीं जोड़ा जा सकता है।) G C L L I Q U E ( G , k ) r k i | S a ∩ C i | ≥ k r = p o l y ( n $C_1,\ldots,C_r$$G$$CLIQUE(G,k)$$r$$k$$i$$|S_a\cap C_i|\geq k$$r=poly(n)$

कोने पर एक विशेष ग्राफ लिए में को एम्बेड करना संभव है । विशेष रूप से, बोलोबस और थॉमसन (1981) ने दर्शाया है कि, यदि एक हैमर्ड ग्राफ है, जिसके कोने उपसमुच्चय , और दो कोने और समीप हैं iffयहां तक ​​कि, तब में vertices पर हर ग्राफ की एक आइसोमॉर्फिक कॉपी है । क्या इस तथ्य को समाप्त करने के लिए लिए Razborov withs की निचली सीमा (लगभग ) के साथ जोड़ा जा सकता है C L I Q U E ( H , k ) H n = 2 $CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$H$$n=2^m$[ एम ] यू वी | यू ∩ v | H G m m k C C L I Q U E ( m , k ) C L I Q U E ( H , k $H$$[m]$$u$$v$$|u\cap v|$$H$$G$$m$$m^k$$CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$ को के आकार के मोनोटोन सर्किट की आवश्यकता होती है ? यहां एक संभावित समस्या यह है कि, भले ही ग्राफ में " सभी -vertex ग्राफ शामिल हैं, ये ग्राफ वर्टिकल के समान सेट पर नहीं हैं । और रज़बोरोव का तर्क मानता है कि सकारात्मक और नकारात्मक इनपुट ( -cliques और कंप्लीट ऑफ़ कंप्लीट -पार्टाइट ग्राफ) वर्टिकल के एक ही सेट पर ग्राफ होते हैं। इसके अलावा, सभी पॉजिटिव इनपुट ( -cliques) एक और एक ही निश्चित -clique की समसामयिक प्रतियां हैं ।$m^k$$H$ $m$( k - 1 $k$$(k-1)$$k$ $k$

3. कोई विचार? क्या किसी ने इस प्रकार की समस्याओं पर विचार किया है? मेरा मतलब है, एक निश्चित ग्राफ के सबग्राफ के लिए निर्णय की समस्याएं । या, कहें, एक निश्चित (संतोषजनक) CNF के उप- CNF के लिए SAT समस्या (कुछ शाब्दिक हटाकर प्राप्त)?

प्रेरणा: इस तरह की समस्याएं कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन एल्गोरिदम की जटिलता से संबंधित हैं। लेकिन वे अपने आप में दिलचस्प लगते हैं। हमें ऐसे एल्गोरिदम की तलाश क्यों करनी चाहिए, जो सभी ग्राफ़ पर कुशल हों ? वास्तव में, हम आम तौर पर एक (बड़े) ग्राफ (देश, या फेसबुक या इस तरह की सड़कों का नेटवर्क) के छोटे टुकड़ों के गुणों में रुचि रखते हैं।

टिप्पणी 1: अगर ग्राफ है द्विपक्षीय , असमानताओं के तो शीर्ष बढ़त घटना मैट्रिक्स सभी के लिए पूरी तरह से unimodular है , और एक रैखिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से प्रेरित उपसमूहों पर क्लिक् समस्या को हल कर सकता है । इस प्रकार, ग्राफ , में एक छोटा (यद्यपि गैर-मोनोटोन) सर्किट होता है। एक्स यू + एक्स वी ≤ 1 ( यू , वी ) ∉ ई जी जी सी एल मैं क्यू यू ई ( जी , कश्मीर $G=(L\cup R,E)$$x_u+x_v\leq 1$$(u,v)\not\in E$$G$$G$$CLIQUE(G,k)$

टिप्पणी 2: एक संकेत है, कि द्विदलीय ग्राफ के मामले में , प्रश्न 1 "का उत्तर" वास्तव में नहीं होना चाहिए, तब पर निम्न मोनोटोन कारचमर-विगडरसन गेम को केवल संचार की जरूरत है। आज्ञा देना की सबसे बड़ी संख्या की एक पूरी द्विपदाइट उपसमूह । ऐलिस एक सेट हो जाता है लाल नोड्स की, बॉब एक सेट नीले नोड्स की ऐसी है कि । लक्ष्य और बीच एक गैर-बढ़त का पता लगाना है ।G O ( log n ) k G A B | ए | + | B | > के ए $G$$G$$O(\log n)$$k$$G$$A$$B$$|A|+|B|>k$$A$$B$

Comments

अधिक विचार (1) ऐसा लगता है कि आपको एक "फ़िल्टर" फ़ंक्शन को परिभाषित करने का समान परिणाम मिल सकता है जिसमें किनारों के समान # चर हैं और बूलियन चर के 0/1 मानों के आधार पर निश्चित ग्राफ़ के "फ़िल्टर" किनारों ... ।? यह कुछ हद तक किनारों से कोने तक जाने वाले प्रेरित ग्राफ निर्माण के कारण विश्लेषण को कम कर सकता है। (२) एक महत्वपूर्ण सरल प्रश्न आपके प्रश्न में सन्निहित है जो अकेले ही सम्बोधित करने योग्य है। घातांक अधिकतम क्लोन के साथ कुछ रेखांकन क्या हैं? हामार्ड उदाहरण पर्याप्त नहीं हो सकता है क्योंकि इसका "बड़ा" है।

— vzn 15

हाल ही में कुछ वैसा ही दिख रहा था और इस दिलचस्प तथ्य को पार कर गया था: "ग्राफ़ का एक लालची गुच्छेदार अपघटन एक ग्राफ से एक-एक करके अधिकतम ग्राफ़ को हटाता है जब तक कि ग्राफ़ खाली नहीं हो जाता। हमने हाल ही में दिखाया है कि कोई भी लालची वस्तु अपघटन। ऑर्डर का एक ग्राफ अधिकतम 2/4 क्लिक्स पर है। " --mcguinnessn 2 /$n$$n^2/4$

— vzn

@vzn: अपने अंतिम प्रश्न के लिए। एक साधारण निर्माण है (किसका स्मरण नहीं है)। वर्टेक्स-डिसऑइंट "एंटी-ट्राइएंग्स" (उनके बीच कोई किनारों के साथ तिरछे त्रिभुज) की प्रतियां लें , और किसी भी दो एंटी-ट्रिंगल्स के सभी कोने के बीच किनारों को रखें। मैक्सिमल क्लिक्स की संख्या , और यह इष्टतम है (और अधिक संभव नहीं है)। 2 n /$n/3$$2^{n/3}$

— Stasys

@vzn: McGuinness परिणाम पर। जैसा कि मैंने समझा, वह सभी किनारों को कम-से-कम अधिकतम-आकार (आकार) वाले खंडों में बदल देता है। लेकिन ऐसा हो सकता है कि प्रेरित उपसमूह की अधिकतम गुत्थी उनमें से किसी में भी न हो। फिर भी, परिणाम "सही दिशा" में प्रतीत होता है।

— Stasys

टिप्पणी 2 के बारे में : जब आप कहते हैं कि एक द्विदलीय में एक गुट की तलाश है, तो क्या आपका मतलब पूर्ण द्विदलीय है?

— मासिमलौरिया

Answer 1

हमने पेड़ की तरह संकल्प में साबित करने की समस्या पर कुछ शोध किया था कि क्या एक निश्चित ग्राफ का आकार k (जहां k आमतौर पर छोटा होता है) है। विशेष रूप से हम आकार की है कि खंडन की खोज n Ω ( कश्मीर ) रेखांकन का एक बड़ा वर्ग के लिए आवश्यक हैं।$G$$k$$k$$n^{\Omega(k)}$

आप इस लिंक पर डीपीएलएल सर्च प्रक्रिया के पेपर पैरामीटेड कॉम्प्लेक्सिटी पा सकते हैं ।

Comments

एक बहुत अच्छा परिणाम! वास्तव में, मेरा सवाल तब पैदा हुआ जब (क्लिक) समस्या के लिए पेड़ की तरह कटिंग प्लेन (सीपी) प्रतिनियुक्ति के लिए एक ही परिणाम दिखाने की कोशिश की गई । पेड़ की तरह की व्युत्पत्तियों के लिए हमारे पास दो (केवल?) उपकरण हैं: (1) संचार जटिलता तर्क और (2) प्लेयर-डिलेयर गेम्स ऑफ़ पुडलक और इम्पेग्लियाज़ो। रिमार्क 2 का तात्पर्य है कि (1) क्लिक समस्या के लिए (साबित) विफल हो जाएगा। क्या सीपी प्रमाणों के मामले में (2) का कुछ सादृश्य है?

— Stasys

Answer 2

मेरा मानना ​​है कि यह पत्र आपके सवालों का जवाब दे सकता है: http://arxiv.org/abs/1204.6484

कागज एनपी 3 एसएटी समस्याओं के परिवारों को परिभाषित करता है, जैसे कि फार्मूला की संरचना हर एन के लिए तय की जाती है, और इनपुट सूत्र की ध्रुवीयता है।

3SAT से CLIQUE तक मानक कमी का उपयोग करना (प्रत्येक 3CNF क्लॉज 8 संभावित असाइनमेंट (या 7 संतोषजनक असाइनमेंट का एक सेट) को परिभाषित करता है, गैर-परस्पर विरोधी असाइनमेंट के बीच के किनारों के साथ), ऐसा एक ग्राफ है जो प्रत्येक क्लॉज के लिए एक शीर्ष के बाद होता है। एनपी को अधिकतम क्लेमिक (या इसके आकार को अनुमानित करने के लिए, ग्राफ़ उत्पादों या आरेखित ग्राफ़ उत्पादों का उपयोग करके) खोजना मुश्किल है

Answer 3

पुन: Q3, "रीढ़" और एसएटी समस्याओं के संभावित "बैकडोर" पर कुछ अनुभवजन्य कार्य है। रीढ़ की हड्डी उन शाब्दिकों का समूह है जो हर संतोषजनक कार्य में सच्चे हैं। SAT समस्या में एक बैकडोर वैरिएबल का एक (उम्मीद से छोटा) सेट है जो समस्या को हल करने में "शॉर्ट कट" प्रदान करता है। ये दो संरचनाएं संभवतः "सब-CNFs" या CNF के रूप में संदर्भित करने में सहायक और / या कुंजी होगी जो कुछ चरों को हटा दिया गया है। लेकिन DP, davis putnam एल्गोरिदम को इसे हल करने के लिए CNF के कई "सब-CNFs" को व्यवस्थित रूप से देखने के रूप में देखा जा सकता है।

[१] बैकबोंस और बैकसाइड इन सैटिसिबिलिटी बाय किलबी एट अल

Comments

संदर्भ के लिए धन्यवाद! दरअसल, सैट सॉल्वरों में ये दोनों अवधारणाएं महत्वपूर्ण हैं। हमारे मामले में "बैकसाइड" वैरिएबल (= कोने) के सेट के अनुरूप होता है, जिसकी सेटिंग 0/1 से क्लिक समस्या को सरल बनाता है। यदि एक छोटा (लघुगणक) पिछले दरवाजे , तो हमारे पास एक छोटा सर्किट है (बस एस को सभी असाइनमेंट की कोशिश करके )। लेकिन मैं मानता हूं कि अधिकांश रेखांकन के लिए बैकडोर बड़े हैं। $S$$S$

— स्टासिस