पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के विरल समाधान के बारे में क्या जाना जाता है?

Question

अगर मेरे पास रैखिक बाधाओं का एक सेट है, जिसमें प्रत्येक बाधा के पास अधिकतम (कहना) 4 चर (सभी nonnegative और {0,1} गुणांक के अलावा एक चर के अलावा -1 गुणांक हो सकता है), तो समाधान के बारे में क्या जाना जाता है अंतरिक्ष? मैं एक कुशल समाधान के साथ कम चिंतित हूं (हालांकि कृपया इंगित करें कि क्या किसी को पता है), यह जानने के बजाय कि उद्देश्य के न्यूनतम कितने कम हो सकते हैं, चर की संख्या और बाधाओं की संख्या और प्रति चर की संख्या के रूप में। बाधा।

अधिक समवर्ती, कार्यक्रम कुछ इस तरह है

सभी के लिए टी
  विषय को कम से कम करें
, x_i एक सकारात्मक पूर्णांक
X1 + x2 + x3 - t <0
X1 + x4 + x5 - t <0
...
x3 + x6 - t
x1 0 X1 + x2 + x7 - t ≥ 0 है।
...

यदि एक ठोस प्रश्न की आवश्यकता है, तो क्या यह मामला है कि न्यूनतम समाधान t = = स्थैतिकता के आधार पर O () में स्थिरांक के साथ t = = O (अधिकतम {# चर, # की कमी) का पालन करता है? लेकिन यदि उत्तर नहीं है, तो भी मुझे यह जानने में अधिक दिलचस्पी है कि ऐसे मुद्दों की चर्चा के लिए किस तरह की पाठ्यपुस्तक या पेपर का अध्ययन करना है, और यदि इस तरह के अध्ययन के लिए कोई क्षेत्र समर्पित है, लेकिन मुझे अभी पता नहीं है खोजने के लिए शर्तें। धन्यवाद।

अद्यतन: आगे के प्रतिबिंब के साथ (और आईएलपी के लिए 3SAT की सरल कमी के माध्यम से सोच, जो तीन चर के साथ बाधाओं का उपयोग करता है), मुझे एहसास है कि गुणांक का मुद्दा महत्वपूर्ण है (यदि एक कुशल एल्गोरिदम होने जा रहा है)। अधिक सटीक रूप से, सभी x_i चर में 0 या 1 गुणांक होते हैं (किसी भी बाधा में अधिकांश तीन 1 गुणांक के साथ), और सभी t चर में -1 गुणांक होते हैं, और सभी तुलनाओं में बाईं ओर चर और दाईं ओर 0 होते हैं। मैंने स्पष्ट करने के लिए उपरोक्त उदाहरण को अद्यतन किया।

Comments

क्या आप अपने प्रश्न को अधिक सटीक रूप से उद्धृत कर सकते हैं? मैं अनिश्चित हूं कि क्या चर टी वह है जो एक नकारात्मक गुणांक के रूप में गिना जाता है।

— चन्द्र चकुरी

हां, t एक नकारात्मक गुणांक वाला चर है, यदि सभी चर बाईं ओर होना आवश्यक है। या, यदि आप चाहें, तो सभी गुणांक {0,1} हैं, लेकिन सभी x_i बाईं ओर दिखाई देते हैं और प्रत्येक बाधा के दाईं ओर t दिखाई देता है।

— डेव डॉट

आपके पास सभी के लिए x_i the 1 की कमी है, लेकिन क्या आपको भी उस t? 1 की आवश्यकता है?

— आनंद कुलकर्णी

स्पष्ट रूप से नहीं, लेकिन चूंकि x_i + ... <t के रूप में बाधाएं हैं, यह मामला है कि t> = 1 लागू किया जाएगा।

— डेव डॉट

आप डी। चक्रवर्ती और खुद dx.doi.org/10.1007/s00453-010-9431-z (यह arXiv पर भी) द्वारा एक पेपर की जांच करना चाहते हैं, जहां हम विरल पूर्णांक प्रोग्रामिंग की अनुमानितता पर सर्वेक्षण और सुधार करते हैं, कुछ जिनमें से तो एन बंसल एट अल (द्वारा सुधार किया गया springerlink.com/content/e705157852700g23 या arXiv)

— daveagp

Answer 1

इसका उत्तर (कम से कम समाधान के बारे में ठोस सवाल करने के लिए) नहीं है। यह निम्नलिखित पेपर का हिस्सा है: http://arxiv.org/abs/1011.3493 । प्रमेय 5.1 इस प्रश्न के लिए प्रेरणा थी।

प्रतिसाद यह है:

मुख्य मामला:

a_1 '+ b_1' - t '0
a_1 '' + b_1 '' - t। 0
a_1 + b_1 '- t + -1
a_1 '+ b_1' '- t + -1

पुनरावर्ती मामला:

a_n '+ b_n' + a_ {n-1} - t '0
a_n '' + b_n '' + a_ {n-1} - t '0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '- t + -1
a_n '+ b_n' + a_ {n-1} '' - t '-1

साथ ही उन सभी को गैर-जरूरी होने की आवश्यकता है।

आप इंडक्शन द्वारा साबित कर सकते हैं कि किसी भी वास्तविक समाधान को a_n '' = = a_n + 2 ^ n को संतुष्ट करना होगा। हम "<0" -नियुक्तियों को "because -1" में बदलते हैं क्योंकि कोई भी पूर्णांक समाधान "only -1" को संतुष्ट करता है यदि और केवल अगर वह "<0" को संतुष्ट करता है।

तो, नैतिक यह है कि इस फॉर्म की n असमानताओं में यह गुण हो सकता है कि सभी पूर्णांक समाधानों में कम से कम एक पूर्णांक n में कम से कम एक घातांक हो, निश्चित रूप से रैखिक रूप से बंधे नहीं हैं क्योंकि हम मूल रूप से संदिग्ध हैं।

Answer 2

यदि गुणांक मैट्रिक्स पूरी तरह से असमान है , तो एक कुशल समाधान साधारण रैखिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से मौजूद है। यह किसी भी ILP के लिए है, न कि केवल विरल के लिए - हालांकि आप इस तरह के एक विरल ILP के लिए इस संपत्ति का फायदा उठाने में सक्षम होने की अधिक संभावना रखते हैं।

मुझे संदेह है कि आप यह पहले से ही जानते होंगे, इसलिए मुझे कोशिश करें और आपको बेहतर उत्तर दें। बारीकियों के बारे में बहुत गहराई से सोचने से पहले, आपके ठोस प्रश्न का उत्तर "हाँ" है, एक बाउंड मौजूद है। M चरों में n असमानताओं का प्रतिच्छेदन एक बहुवचन को परिभाषित करता है। क्योंकि गुणांक बहुत अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, हम थोड़ा अंकगणित के साथ इसके कोने के निर्देशांक के आयाम पर एक ऊपरी बाध्य काम कर सकते हैं। यह आपको पॉलीटोप के भीतर किसी भी पूर्णांक बिंदु के आयाम पर एक बहुत आसान ऊपरी सीमा देता है, और इस प्रकार आपके पूर्णांक कार्यक्रम के समाधान पर। क्या आपने यह पहले से ही आजमाया हुआ है?

विशेष रूप से आपकी समस्या में काफी संरचना है (मैं उत्सुक हूं, यह कहां से आता है?) इसलिए मुझे विश्वास है कि अगर हम आगे इस पर चर्चा करते हैं तो हम इससे कहीं अधिक सटीक हो सकते हैं।

अब, इस विषय पर जानकारी खोजने के बारे में अधिक सामान्य प्रश्न के लिए। यह उस प्रकार की समस्या है जो परंपरागत रूप से रैखिक और पूर्णांक प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में आती है, गणितीय प्रोग्रामिंग का सबसेट।

यह अनुसंधान का काफी सक्रिय क्षेत्र है, लेकिन कंप्यूटर विज्ञान के बजाय "ऑप्टिमाइज़ेशन" और "गणितीय प्रोग्रामिंग" के शीर्षक के तहत संचालन अनुसंधान विभागों में बहुत काम होता है। विषय को कवर करने के लिए कई पाठ्य पुस्तकें उपलब्ध हैं। आप वोल्सी द्वारा एक पर विचार कर सकते हैं , जिसका उपयोग हम बर्कले में करते हैं। ग्रीनबर्ग द्वारा मिथकों और प्रतिकृतियों की एक रेखांकित सूची है , जिसमें पूर्णांक और रैखिक प्रोग्रामिंग शामिल हैं, जो आपको इस बात का अहसास दिला सकती हैं कि लोग ऐसी समस्याओं का विश्लेषण करने में किन बातों पर ध्यान देते हैं। वॉल्सी घनी है, लेकिन शुरू करने के लिए एक अच्छी जगह है - आईएलपी का विश्लेषण करने और दक्षता के मुद्दे पर समस्या के योगों में सुधार करने के लिए तकनीकों का एक बड़ा हिस्सा है।

मुझे यह जोड़ने दें कि यदि आप मेरे द्वारा सुझाए गए भोले दृष्टिकोण का अनुसरण करते हैं, तो पॉलीटोप की ज्यामिति का विश्लेषण करके, पॉलीटॉप के कोने के निर्देशांक के आकार को सीमित करने के लिए खोज करने के लिए शब्द। ये शब्द गणितीय साहित्य में कई बार बहुदेववाद के बारे में सामने आते हैं।

Comments

@ डव डॉट: ऑपरेशंस रिसर्च या-exchange.com के लिए स्टैकएक्सचेंज साइट है ।

— एम। अलागन

Answer 3

आपको ब्याज का यह खाता मिल सकता है:

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

और विशेष रूप से जी। जिगलर का लेख:

0-1 पॉलिथोप्स पर व्याख्यान

में:

कलाई, गिल; ज़िग्लर, गुंटर एम। (2000), पॉलीटोप्स: कॉम्बिनेटरिक्स एंड कम्प्यूटेशन, डीएमवी सेमिनार, 29, बिरखुसर, आईएसबीएन 9783764363512।

Comments

धन्यवाद! ऐसा लगता है कि इस तरह के परिणामों का अध्ययन करने वाले क्षेत्र की तरह होगा।

— डेव डॉट