परिकलित उपसमूह की गणना की कम्प्यूटेशनल जटिलता जो सही मिलान को स्वीकार करती है

एक अनिर्दिष्ट और अनिर्धारित ग्राफ को देखते हुए और यहां तक कि पूर्णांक एक , कोने की गिनती सेट के कम्प्यूटेशनल जटिलता क्या है ऐसा है कि और के सबग्राफ को शीर्ष सेट तक सीमित किया गया है जो एक परिपूर्ण मिलान स्वीकार करता है? क्या जटिलता # पी-पूर्ण है? क्या इस समस्या का कोई संदर्भ है? $G=(V,E)$ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

ध्यान दें कि समस्या एक निरंतर लिए निश्चित रूप से आसान है क्योंकि तब आकार सभी उपसमूह समय में enumerer हो सकते हैं । यह भी ध्यान दें कि समस्या सही मिलान की संख्या गिनने से अलग है। इसका कारण यह है कि एक सेट जो एक परिपूर्ण मिलान स्वीकार करता है, उसमें कई पूर्ण मिलान हो सकते हैं। $k$ $k$ ${|V| \choose k}$

समस्या का वर्णन करने का एक अन्य तरीका इस प्रकार है। एक मिलान एक कहा जाता है -matching अगर यह मेल खाता कोने। दो मैचिंग और `` वर्टेक्स-सेट-नॉन-इनवेरिएंट' 'हैं, यदि और मेल खाने वाले सेट सेट समान नहीं हैं। हम वर्टेक्स-सेट-नॉन-इनवेरिएंट -मैचिंग्स की कुल संख्या को गिनना चाहते हैं । $k$ $k$ $M$ $M'$ $M$ $M'$ $k$

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— हा
स्रोत

जब

, तो इस तरह के सबसेट की संख्या

k = \log n

$k=\log n$

, और पता चल सके कि ग्राफ सबसेट से प्रेरित Tutte के लक्षण वर्णन का उपयोग कर एक आदर्श मिलान है लेता

समय है, इसलिए यह संभावना नहीं है यह जब तक कि यहां तक कि एन पी-सम्पूर्ण हो के लिए घातीय समय परिकल्पना गलत है। इसलिए दिलचस्प मामला है जब

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$

, जिस स्थिति में भोली दृष्टिकोण

समयलेता है, यदि आप # पी पूर्णता की तलाश कर रहे हैं।

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— सजिन कोरोथ

@ सजिन कोरोथ: मैं आपकी टिप्पणी में अंतिम वाक्य का पालन नहीं करता हूं। उदाहरण के लिए, यदि k = √n, अनुभवहीन दृष्टिकोण लेता है

समय, और मुझे नहीं लगता है कि इस के खिलाफ यह # पी पूरा किया जा रहा है किसी भी सबूत देता है।

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$

— त्सुयोशी इटो

@TsuyoshiIto: हाँ आप सही हैं। यह "ऐसा

चुनना चाहिए था , जो भोले दृष्टिकोण

समय लेता है "।

k

$k$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— सजिन कोरोथ

@ सजिन कोरोथ: किसी को कश्मीर का मान ऐसा क्यों चुनना चाहिए कि भोली दृष्टिकोण

समय लेता है ? ऐसा करने से शायद चोट नहीं लगती है, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि किसी को ऐसा क्यों करना चाहिए।

O (2^{n})

$O(2^n)$

— त्सुयोशी इटो

ऐसा लगता है कि सॉर्ट की अधिकांश समस्याएं "आदमी ने आकार के सबग्राफ को कैसे प्रेरित किया है, उसके पास संपत्ति एक्स है?" कठिन हैं। यहां तक कि संपत्ति में "एक छोर है" कठिन है ("एक किनारे है" हल "एक धार नहीं है" जो द्वंद्वयुद्ध में "एक पूर्ण ग्राफ है" ... मैक्स क्लीक्वे हल करता है)। यह वास्तव में यह महसूस करता है कि "एक परिपूर्ण मिलान है" भी कठिन होगा, लेकिन एक प्रमाण ढूंढना अभी अलग है।

— bbejot

समस्या # पी-पूर्ण है। यह निम्नलिखित पेपर के पेज 2 के अंतिम पैराग्राफ से आता है:

सीजे कोलबर्न, जेएस प्रोवन, और डी। वर्टिगन, द ट्रांसवर्सटल मैट्रोइड्स पर टुटे बहुपद की गणना की जटिलता, कॉम्बिनेटरिका 15 (1995), नहीं। 1, 1-10।

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— हा
स्रोत

समस्या एक FPTRAS स्वीकार करती है। यह एक यादृच्छिक एल्गोरिथ्म है है कि हो जाता है एक ग्राफ , एक पैरामीटर , और तर्कसंगत संख्याओं और इनपुट के रूप में। अगर की संख्या है -vertex सेट आप देख रहे हैं, तो एक नंबर आउटपुट ऐसी है कि $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$ और यह समय में करता है , जहां कुछ गणनीय समारोह है और कुछ बहुपद है।

P (z^{'} \in [(1 - ϵ) z, (1 + ϵ) z]) \geq 1 - δ,

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$

g

$g$

यह Thm से आता है। में 3.1 (Jerrum, Meeks 13) : एक संपत्ति को देखते हुए ग्राफ की, एक FPTRAS ऊपर के रूप में एक ही इनपुट, जो सेट के आकार का अनुमान लगाती है के साथ नहीं है, बशर्ते कि गणना कर सका, एक लय है, और उसके किनारे कम से कम रेखांकन के सभी घिरे treewidth है। सभी तीन स्थितियाँ यदि सही मिलान की , तो ग्राफ की संपत्ति है। $\Phi$

{S \subseteq V (G) ∣ | S | = k \land Φ (G [S])},

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— रादु कर्टिसैपियन
स्रोत