उदाहरण जहां समतुल्यता आसान है, लेकिन कक्षा प्रतिनिधि खोजना कठिन है

Question

मान लीजिए कि हमारे पास वस्तुओं का एक वर्ग है (जैसे रेखांकन, तार) और इन वस्तुओं पर एक समानता का संबंध है। रेखांकन के लिए यह ग्राफ समरूपता हो सकता है। स्ट्रिंग्स के लिए, हम दो स्ट्रिंग्स को समान घोषित कर सकते हैं यदि वे एक दूसरे के आरेख हैं।

मैं एक समकक्ष वर्ग के लिए एक प्रतिनिधि की गणना करने में रुचि रखता हूं। यही है, मैं एक फ़ंक्शन च () ऐसा चाहता हूं कि किसी भी दो वस्तुओं के लिए x, y, f (x) = f (y) iff x और y समतुल्य हैं। (*)

एनाग्राम के उदाहरण के लिए, f (s) स्ट्रिंग में अक्षरों को छाँट सकते हैं, अर्थात। f ('कैबेक') = 'aabcc'। ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म के लिए, हम f (G) को ग्राफ G 'मान सकते हैं, जो कि G के लिए आइसोमोर्फिक है और इस संपत्ति के लिए लेक्सिसोर्फिक पहला ग्राफ है।

अब सवाल: क्या एक उदाहरण है जहां यह निर्धारित करने की समस्या है कि क्या दो तत्व समतुल्य हैं "आसान" (पॉली टाइम सॉल्व करने योग्य), जबकि प्रतिनिधि ढूंढना मुश्किल है (यानी f की गणना करने के लिए कोई पॉली टाइम एल्गोरिथ्म नहीं है) जो संतुष्ट करता है ( *))।

Comments

यह सवाल बहुत सामान्य हो सकता है, क्योंकि यह बहुत सारे "अजीब" निर्माणों की अनुमति देता है: एक एनपी-पूर्ण समस्या लें, और हर उदाहरण को अपने स्वयं के समकक्ष वर्ग बनाने दें। सं-उदाहरण , सेट करें । एक हाँ-उदाहरण के लिए को परिभाषित कोषगत छोटी से छोटी प्रमाण पत्र के रूप में। f ( s ) = 0 s $s$$f(s)=0$$s$$s$

— गमोव

@Gamow आपके उदाहरण में आप सिर्फ । मुझे लगता है कि ओपी एक उदाहरण चाहता है जहां कोई आसान मौजूद नहीं है। $f(s)=s$$f$

— ब्योर्न जोस-Hanssen

खोज के लिए कीवर्ड "कैनोनेज़ेशन" या "कैनोनिकल लेबलिंग" हैं।

— एमिल जेकाबेक

मेरे जैसे भ्रमित लोगों के लिए, जाहिरा तौर पर इस सवाल को 2018 में फिर से तैयार किया गया था, और बाद में इस पर ध्यान दिया गया और उत्तर यहां वापस मिल गए।

— usul

Answer 1

ठीक है, कैसे के बारे में: संख्या और समतुल्य हैं यदि , या दोनों और में कारक हैं और जहां , , और सभी अभाज्य हैं और । यह है: दो प्राइम के उत्पाद बराबर हैं जब वे अपने सबसे छोटे प्राइम कारक को साझा करते हैं; अन्य संख्याएँ केवल स्वयं के समतुल्य हैं।y x = y x y x = p q y = p r p q r p < मिनट ( q , r $x$$y$$x=y$$x$$y$$x=pq$$y=pr$$p$$q$$r$$p < \min(q,r)$

यह परीक्षण करना आसान है कि क्या दो अलग-अलग संख्याएं समान हैं: उनकी gcd की गणना करें, परीक्षण करें कि क्या यह nontrivial है, परीक्षण करें कि क्या gcd cofactors से कम है, और परीक्षण करें कि क्या gcd और इसके cofactors सभी प्रधान हैं।

लेकिन यह स्पष्ट नहीं की गणना करने के लिए कैसे एक प्रतिनिधि समारोह है बहुपद समय में, और यदि आप शर्त जोड़ कि के बराबर होना चाहिए तो किसी भी प्रतिनिधि समारोह हमें कारक दो अभाज्य संख्या से ज्यादातर उत्पादों के लिए (कि isn हर एक की अनुमति होगी 'अपने ही प्रतिनिधि)।f ( x ) $f$$f(x)$$x$

Comments

पुन :: "यह स्पष्ट नहीं है कि एक प्रतिनिधि फ़ंक्शन की गणना कैसे करें f ": संभवतः मैं आपको गलत समझ रहा हूं, लेकिन: यदि x दो अलग-अलग अपराधों का उत्पाद है, तो: पी को इन अपराधों से कम होने दें ; जाने रों के बाद कम से कम प्रधानमंत्री होना पी ; चुनें च ( एक्स ) = ps । यदि एक्स है नहीं दो अलग अभाज्य संख्या की उत्पाद, फिर चुनें च ( एक्स ) = एक्स । (यह सब कहने का एक गोल रास्ता है: f ( x ) = x का समतुल्य वर्ग का सबसे कम तत्व चुनें ।) नहीं?

— बरबाद

@ruakh " इन प्राइम्स के कम होने दें " माना जाता है कि आप कारक x ( पी को खोजने के लिए ) कर सकते हैं, लेकिन इसे आमतौर पर कठिन माना जाता है। $p$$x$$p$

— एरन रोथ

@AaronRoth: आह, मैं देख रहा हूं। द्वारा "यह स्पष्ट नहीं की गणना करने के लिए कैसे एक प्रतिनिधि समारोह है ", वह कोई न कोई मतलब की तरह "यह स्पष्ट नहीं है कि कैसे करने के लिए आवश्यक आसानी से गणना एक प्रतिनिधि समारोह च ", तो। जो ओपी के सवाल के साथ फिट बैठता है। यह समझ में आता है, धन्यवाद। :-)$f$$f$

— बरबाद करें

हाँ, क्षमा करें, यही मेरा मतलब है।

— डेविड एप्पस्टीन

Answer 2

दो पूर्णांकों आधुनिक n बराबर है, तो कर रहे हैं एक्स 2 ≡ y 2 आधुनिक एन । यदि कोई आसानी से इस फ़ंक्शन के लिए एक कक्षा प्रतिनिधि की गणना कर सकता है, तो प्रोबायबिलिस्टिक बहुपद समय में फैक्टरिंग किया जा सकता है।$x,y$$n$$x^{2} \equiv y^{2}$$n$

सामान्य तौर पर, इस तरह के एक उदाहरण है कि अर्थ होगा । मान लीजिए कि R एक समानता संबंध है जो बहुपद समय में निर्णायक है। फिर एक एन पी ओरेकल का उपयोग करके लेक्सोग्राफिक खोज द्वारा , किसी भी स्ट्रिंग के समतुल्य वर्ग में लेक्सोग्राफिक रूप से सबसे कम तत्व मिल सकता है। यदि पी = एन पी , यह बहुपद समय हो जाता है, तो आप कक्षा प्रतिनिधि के रूप में लेक्सोग्राफिक रूप से कम से कम समकक्ष स्ट्रिंग का उपयोग कर सकते हैं। यह अवलोकन मूल रूप से Blass और Gurevich [1] के कारण है।$P \neq NP$$R$$NP$$P=NP$

इस तरह के एक उदाहरण भी अर्थ होगा (और इसलिए, particluar में, पी ≠ यू पी )।$UP \not\subseteq BQP$$P \neq UP$

आपके द्वारा पूछा गया प्रश्न वही है जो हमने दर्शाया है ? कश्मीर ई आर ( एफ पी ) लांस फॉर्टनो [2] के साथ हमारे समाचार पत्र में। उस पेपर में मेरे द्वारा बताए गए परिणाम भी शामिल हैं, साथ ही पीटर शोर, कुछ अन्य संभावित उदाहरणों, और संबंधित परिणामों और प्रश्नों द्वारा इंगित किए गए हैश फ़ंक्शन के उदाहरण भी शामिल हैं।$PEq =? Ker(FP)$

[१] Blass, A. और Gurevich, Y. समान संबंध, अपरिवर्तनीय और सामान्य रूप । स्याम जे। Comput। 13 (4): 682-689, 1984।

[२] फोर्टवॉर्न, एल। और ग्रूचो, जेए कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस ऑफ़ समवनेंस प्रॉब्लम रिविज़िटेड । सूचित करना। और कम्प्यूट। २० ९ (४): -४-- 4६३, २०११। इसके अलावा arxiv पर उपलब्ध है ।

Answer 3

क्या "प्रतिनिधि" को समतुल्यता वर्ग में होना चाहिए?

यदि ऐसा होता है, तो टक्कर प्रतिरोध के साथ किसी भी क्रिप्टोग्राफिक रूप से मजबूत हैश फ़ंक्शन ले लो ।$f$

चलो यदि च ( एक्स ) = च ( y $x \simeq y$$f(x) = f(y)\,$। यह जांचना आसान है कि क्या दो चीजें बराबर हैं, लेकिन अगर, को दिया जाए , तो आप h की एक विहित पूर्वधारणा पा सकते हैं , तो आप दो स्ट्रिंग्स x और y को खोज सकते हैं जैसे कि f ( x ) = f ( y $f(x) = h$$h$$x$$y$$f(x)=f(y)\,$। यह कठिन माना जाता है (यही टक्कर प्रतिरोध का मतलब है)।

बेशक, कंप्यूटर वैज्ञानिक यह साबित नहीं कर सकते कि टक्कर प्रतिरोध के साथ क्रिप्टोग्राफिक रूप से मजबूत हैश फ़ंक्शन मौजूद हैं, लेकिन उनके पास कई उम्मीदवार हैं।

Answer 4

पहला, जो आप वास्तव में पूछ रहे हैं, उसे आम तौर पर पूर्ण अपरिवर्तनीय कहा जाता है। एक विहित या सामान्य रूप के लिए यह भी आवश्यक है कि $f(x)$ सभी x के लिए $x$ बराबर हो । ("प्रतिनिधि" के लिए पूछना थोड़ा अस्पष्ट है, क्योंकि कुछ लेखकों का यह अर्थ हो सकता है कि विहित रूप की स्थिति को शामिल करना।)$x$

दूसरा, कृपया बेशर्म आत्म-पदोन्नति को माफ कर दें, लेकिन यह वास्तव में फोर्टवे के सवालों में से एक है और मैंने [1] पर काम किया। हमने दिखाया कि यदि $\mathsf{P}$ में तय किए जा सकने वाले हर समतुल्य संबंध को $\mathsf{FP}$ में पूर्ण रूप से अपरिवर्तित किया जाता है , तो बुरी चीजें होती हैं। विशेष रूप से, यह अर्थ होगा $\mathsf{UP} \subseteq \mathsf{BQP}$ । इस बयान के एक वादा संस्करण रखता है (प्रमेय 4.6 देखें) तो $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{BQP} \cap \mathsf{SZK}$ और $\mathsf{PH} = \mathsf{AM}$ ।

अब, यदि आप वास्तव में एक विहित रूप चाहते हैं (प्रत्येक समतुल्यता वर्ग का एक प्रतिनिधि जो समतुल्यता वर्ग में भी है), तो हम और भी बदतर चीजें दिखाते हैं। यही है, यदि बहुपद-काल में प्रतिपादक हर समतुल्य संबंध में एक पाली-समय विहित रूप होता है, तो:

• समर्थकों को संभाव्य पाली समय में उतारा जा सकता है
• टकराव मुक्त हैश कार्यों का मूल्यांकन किया जा सकता है जो $\mathsf{FP}$ मौजूद नहीं है।
• $\mathsf{NP} = \mathsf{UP} = \mathsf{RP}$ (इसलिए$\mathsf{PH} = \mathsf{BPP}$ )

तुलनीय संबंधों के बारे में इन बयानों में से अधिकांश के लिए, हमारे और Blass और Gurevich [2] के लिए दोनों तरीके से oracles जा रहे हैं।

यदि "किसी भी" प्रतिनिधि के बजाय, आप एक समतुल्य वर्ग में lexicographically कम से कम तत्व के लिए पूछते हैं, तो समतुल्य वर्ग में lexicographically सबसे छोटे तत्व को खोजने के लिए $NP$ -hard हो सकता है (वास्तव में, $P^{NP}$ भार) - भले ही संबंध एक बहुपद-काल विहित रूप है [2]।

[१] लांस फोर्टन और जोशुआ ए। ग्रोको। समतुल्यता समस्याओं की जटिलता वर्गों का पुनरीक्षण किया गया । सूचित करना। और संगणना करें। 209: 4 (2011), 748-763। इसके अलावा arXiv: 0907.4775v2 के रूप में उपलब्ध है ।

[२] एंड्रियास ब्लास और यूरी गुरेविच। समतुल्यता संबंध, अपरिवर्तनीय और सामान्य रूप । सियाम जे। कम्प्यूट। 13: 4 (1984), 24-42।

Comments

यह पता चला कि 2018 में पोस्ट किए गए इस सवाल का संस्करण 2012 के एक प्रश्न के स्पैम उपयोगकर्ता द्वारा एक रिपॉस्ट था। शायद उनके दो उत्तरों को मिला दें? वे दोनों उल्लेख उत्तर प्रदेश और BQP लेकिन नकार मायनों में ... आप कुछ प्रतिनिधि खो देंगे, लेकिन मैं आंशिक रूप से कम होता है अपने पुराने जवाब upvoting द्वारा :) कि

— ब्योर्न जोस-Hanssen

Answer 5

यहां एक और जवाब देने का प्रयास किया गया है, जहां हम "प्रतिनिधि" पर आवश्यकता को ढीला करते हैं; यह वास्तव में समतुल्यता वर्ग का सदस्य होना जरूरी नहीं है, लेकिन समतुल्य वर्ग की पहचान करने वाला एक कार्य है।

मान लीजिए कि आपके पास एक समूह है जहाँ आप उपसमूह सदस्यता परीक्षण कर सकते हैं। यही कारण है, दिया जाता है , आप देख सकते हैं कि ज द्वारा उत्पन्न उपसमूह में है जी 1 , ... , छ k ।$g_1, g_2, \ldots, g_k$$h$$g_1, \ldots, g_k$

अपने तुल्यता कक्षाओं लो तत्वों के सेट होने के लिए है कि एक ही उपसमूह उत्पन्न करते हैं। यह जांचना आसान है कि क्या दो सेट एक ही उपसमूह उत्पन्न करते हैं। हालाँकि, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि आप हर उपसमूह के लिए एक विशिष्ट पहचानकर्ता कैसे पा सकते हैं। मुझे संदेह है कि यह वास्तव में एक उदाहरण है यदि आप उपसमूह सदस्यता परीक्षण के साथ ब्लैक-बॉक्स समूह ग्रहण करते हैं। हालाँकि, मुझे नहीं पता कि कोई गैर-ओरेकल समूह है जहाँ यह समस्या कठिन प्रतीत होती है।$g_1, g_2, \ldots, g_k$

Answer 6

यहाँ एक उदाहरण है। ऑब्जेक्ट जोड़े $(H,X)$ जहां $H$ एक एसएटी सूत्र है और $X$ चर के लिए एक प्रस्तावित असाइनमेंट है। कहो $(H,X) \sim (H',X')$ यदि $H=H'$ और या तो (क) $X$ और $X'$ दोनों संतोषजनक कार्य, या (ख) कर रहे हैं $X$ और $X'$ दोनों को संतुष्ट नहीं कर रहे हैं कार्य। यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमणीय है। प्रत्येक असंतोषजनक$H$ में एक समतुल्य वर्ग होता है जिसमें सभी$(H,X)$ । प्रत्येक संतोषजनक$H$ में सभी का एक वर्ग होता है$(H,X)$ जहां$X$ एक संतोषजनक असाइनमेंट है, और गैर-संतोषजनक लोगों के साथ एक अन्य वर्ग है।

जांच की जा रही है कि क्या $(H,X) \sim (H',X')$ के लिए आसान है के बाद से हम सिर्फ जाँच लें कि $H=H'$ , तो अगर $X$ संतुष्ट $H$ , तो अगर $X'$ को संतुष्ट करता है $H$ । लेकिन एक्स द्वारा संतुष्ट एच के साथ दिए गए $(H,X)$ वर्ग के विहित सदस्य की गणना करना$H$$X$बहुत मुश्किल लगता है (मुझे यकीन नहीं है कि कठोरता साबित करना सबसे अच्छा है)। हम सैट उदाहरणों के लिए एक अतिरिक्त समाधान आसानी से लगा सकते हैं, इसलिए एक समाधान को जानने से आम तौर पर हमें किसी अन्य समाधान को खोजने में मदद नहीं मिलेगी, अकेले एक कैनोनस लेने दें। (संपादित करें: मेरा क्या मतलब है कि मैं पहले समाधान दिए गए अतिरिक्त समाधान खोजने के लिए किसी भी कुशल एल्गोरिथ्म की उम्मीद नहीं करता हूं। क्योंकि हम इसका उपयोग सैट की समस्याओं को हल करने के लिए कर सकते हैं। पहले "रोपण" से समस्या का एक अतिरिक्त समाधान निकाल सकते हैं, फिर इसे खिला सकते हैं। एल्गोरिथ्म। टिप्पणियों को देखें।)

Comments

एक सैट उदाहरण दिया: "संयंत्र" करके, आप की तरह मतलब कुछ करना CNF में, चलो एक नया वेरिएबल जोड़ने पी में उत्पन्न नहीं एच , और कश्मीर = ⋀ मैं ( φ मैं ∨ पी ) ? $H=\bigwedge_i\varphi_i$$p$$H$$K = \bigwedge_i (\varphi_i\vee p)$

— ब्योर्न जोस-Hanssen

@ BjørnKjos-Hanssen, हाँ, ऐसा ही कुछ। आदर्श रूप से हम वास्तव में एक अतिरिक्त समाधान बनाएंगे। तो मैं इस काम करता है लगता है (CNF में नहीं है, हालांकि): एक सामान्य सैट सूत्र दिया , चलो कश्मीर = ( एच ∧ ¬ पी ) ∨ ( पी ∧ एक्स 1 ⋯ ∧ एक्स एन ) जहां { x मैं } मूल चर हैं। तो बस स्पष्ट करने के लिए, अगर हमारे पास SAT उदाहरणों के लिए दूसरा समाधान खोजने / जांचने के लिए एक एल्गोरिथ्म था, तो किसी भी एच को देखते हुए हम कश्मीर का निर्माण करेंगे $H$$K = (H \land \lnot p) \lor (p \land x_1 \cdots \land x_n)$$\{x_i\}$$H$$K$और इसे उस एल्गोरिथ्म के साथ-साथ सभी-सच्चे असाइनमेंट को खिलाएं और यह मूल उदाहरण को हल करेगा। अगर मैंने कुछ भी याद नहीं किया है।

— usul

जबकि "प्रतिनिधि" शब्द का अर्थ यह हो सकता है कि का कोडोमैन उसका डोमेन होना चाहिए, इस प्रतिबंध को उठाने से यह एक गैर-उदाहरण बन जाता है। $f$

— जिक्स सेप

(१) दूसरा संतोषजनक कार्य खोजना अभी भी एनपी-कठिन है। (2) वर्ग बहुपद समय में दी गई (एच, एक्स) की एक विहित सदस्य ढूँढना के बराबर है है, जो शारीरिक रूप से विकलांग गिर (Hemaspaandra-नायक-Ogihara-सेलमेन)। हालाँकि, ध्यान दें कि प्रश्न वास्तव में कक्षा के एक विहित सदस्य के लिए नहीं पूछता है, क्योंकि इसे x को f (x) के समतुल्य होने की आवश्यकता नहीं है, यह वास्तव में केवल पूर्ण अपरिवर्तनीय के लिए पूछ रहा है। $NPMV \subseteq_c NPSV$

— जोशुआ ग्रूचो सिप

Answer 7

यह एक खुला प्रश्न है, कम से कम रेखांकन के लिए। मेरा मानना ​​है कि नवीनतम प्रगति है

बाबई और कुचेरा, "रेखीय औसत समय में रेखांकन के कैनिकल लेबलिंग," एफओसीएस, 1979

जो एक (अपेक्षित) रैखिक समय एल्गोरिथ्म को एक विहित ग्राफ के लिए देता है जो प्रायिकता 1 - 1 के साथ सही है$1 - \frac{1}{2^{O(n)}}$

आप विकिपीडिया पर अधिक पढ़ सकते हैं । ध्यान दें कि बाबई के एल्गोरिथ्म के एक व्युत्पन्न संस्करण का मतलब होगा कि ग्राफ़ के लिए ऐसा कोई उदाहरण मौजूद नहीं है।

Comments

इसके अलावा ब्याज की: औसत दर-मामला विहित प्रपत्र, श्वित्ज़र-Wiebking (द्वारा हाल ही में कागज के बजाय बुरी से बुरी हालत के लिए arxiv.org/abs/1806.07466 ) एक तकनीक है कि कई संबंधित तुल्यता संबंधों के लिए अच्छा विहित प्रपत्र (कोड तुल्यता, क्रमचय देता है देता है समूह संयुग्मता, हाइपरग्राफ आइसो), और अपने अंतिम खंड में वे सुझाव देते हैं कि उनकी तकनीकें बाबई के परिणाम पर भी लागू हो सकती हैं, जिससे जीआई के लिए एक अर्ध-पाली-समय विहित रूप दिया जा सकता है।

— जोशुआ ग्रोवो

@JoshuaGrochow मैंने इस बारे में नहीं सुना, लेकिन यह बहुत रोमांचक है। बाद में पढ़ने के लिए बचत करना।

— स्टेला बिडरमैन

Answer 8

चाहे आकार के दो सर्किट परीक्षण सर्किट बराबर हैं।$\leq N$

निर्धारित करने के लिए आप केवल पर मूल्यांकन करने की जरूरत 2 n इनपुट अंक। एक वर्ग के प्रतिनिधि निर्धारित करने के लिए, एक शायद सभी का परीक्षण करने के लिए होता है 2 Ω ( एन लॉग एन ) संभव सर्किट। के लिए एन पर्याप्त रूप से बड़े इस तेजी से कठिन सर्किट तुल्यता परीक्षण की तुलना में है।$C_1 \sim C_2$$2^n$$2^{\Omega(N \log N)}$$N$

Comments

Here's a function $f$ that maps each circuit to a representative object (not a circuit) as quickly as equivalence testing: map each circuit to the vector of $2^n$ outputs for each possible input. Probably it would be not difficult to turn this into an explicit crossbar-style circuit.

— David Eppstein

I insisted that the circuits had bounded size in order to prevent an easy mapping from $2^n$ outputs to circuit. However, I had assumed that the function $f$ needed to map to a class representative as opposed to an arbitrary string.

— David Harris

Answer 9

A famous example from descriptive set theory:

Let us define an equivalence relation $\sim$ on $\mathbb R$ by

$$r\sim s\iff r-s\in\mathbb Q.$$

This is a rather "easy" equivalence relation, in particular it's measurable.

But finding representatives amounts to finding a Vitali set, which requires the Axiom of Choice and cannot be measurable.

Answer 10

Let the objects in your universe be the triples ($\Phi, b, i)$ where $\Phi$ be a Satisfiability problem, on variables $x_0, \ldots, x_{k-1}$, $b$ is either 0 or 1, and $i$ is a bitstring of length $k$, where $\Phi(i)=b$. That is, $i$ is an assignment to $x_0, \ldots, x_k$ that satisfies $\Phi$ if $b$ is 1 or does not satisfy $\Phi$ if $b$ is 0.

Two objects are equivalent if they have the same $\Phi$. Easy to check.

Let the representative object be the lexicographically greatest among all in the equivalence class.

The representative is NP-complete to find: it would solve SAT, since if the lexicographically greatest has $b=0$, then $\Phi$ is unsatisfiable; if it has $b=1$, it is satisfiable.

Seems that most NP-complete problems can be posed this way; it's a matter of placing the certificate of membership into the encoding of the element.

I thought maybe this was a homework problem, which is why I didn't post the solution earlier. I should have done; I could have used those points that @david-eppstien got. Goodness knows, he doesn't need them.

Comments

Ah but in this case there is an easy choice of representative: just take $i$ to be anything and $b$ to be $\Phi(i)$.

— Bjørn Kjos-Hanssen

Answer 11

I suppose you can easily achieve that for virtually any problem of the type you describe.

Trivial example: Suppose objects are strings, and any $x$ is equivalent to only itself. Determining whether two elements are equivalent is always easy (it is simply equality). However, you can define $f()$ as your favorite injective hard function.

Comments

But in the case you describe, there is a different $f$ that is easy to compute: the identity function.

— David Eppstein

From the question, it's not clear whether the hardness is required from all $f$, rather than some $f$.

— MCH

@MCH I think it's perfectly clear, since otherwise there would be no doubt at all and the question would be silly.

— Random832