3-निश्चित व्यास के ग्राफ के लिए क्लिक् विभाजन

Question

3- क्लिक्स विभाजन की समस्या यह निर्धारित करने की समस्या है कि क्या ग्राफ़ के कोने, कहते हैं , को इन समूहों में विभाजित किया जा सकता है। 3-रंगहीनता समस्या से एक सरल कमी से यह समस्या एनपी-हार्ड है। यह देखना मुश्किल नहीं है कि इस समस्या का उत्तर आसान है जब या । यह समस्या एनपी-हार्ड बनी हुई है जब में एक सरल कमी से (एक ग्राफ दिया , एक शीर्ष जोड़ें और इसे अन्य सभी कोने से कनेक्ट करें)।डायम ( जी ) = १ डायम ( जी ) > ५ डायम ( जी ) = २ $G$$\textrm{diam}(G) = 1$$\textrm{diam}(G) > 5$$\textrm{diam}(G) = 2$$G$

के साथ लिए इस समस्या की जटिलता क्या है ?3 ≤ पी ≤ $\textrm{diam}(G) = p$$3\le p \le 5$

Answer 1

समस्या में लगती है ।$P$

दो कोने ले लो , वी दूरी के साथ वास्तव में 3 (जैसे एक जोड़ी मौजूद होना चाहिए जब पी ≥ 3 )। उनके पास अलग-अलग रंग होने चाहिए (मैं 3 रंगों को निरूपित करने के लिए R, G, B का उपयोग करूंगा और एक ही क्लिक में कोने एक ही रंग के हैं)। Wlog ग्रहण u का रंग लाल है और v का रंग हरा है।$u$$v$$p\ge 3$$u$$v$

अब कोने के बाकी 3 सेट में विभाजित किया गया है: (के पड़ोसियों यू ), Γ ( v ) और वी - Γ ( यू ) - Γ ( v ) । तीसरा सेट ब्लू रंग का होना चाहिए क्योंकि वे न तो यू से सटे हैं और न ही वी । यू के पड़ोसियों को या तो लाल या नीले रंग का होना चाहिए क्योंकि वे v से सटे हुए नहीं हैं , इसी तरह v के पड़ोसी$\Gamma(u)$$u$$\Gamma(v)$$V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$$u$$v$$u$$v$$v$हरे या नीले रंग का होना चाहिए। प्रत्येक शीर्ष पर अब अधिकांश दो विकल्प हैं, इसलिए समस्या 2-SAT उदाहरण बन जाती है जिसे हम बहुपद समय में हल कर सकते हैं।

Comments

क्या आप संबंधित 2-SAT सूत्रीकरण का वर्णन कर सकते हैं?

— user5153

चलो सच हो यदि और केवल यदि हम रंग शिखर वी नीला। एक किनारे से कनेक्ट नहीं दो यू और v पर विचार करें । मान लें कि दोनों नीले या लाल हो सकते हैं। आप अपने 2-सैट उदाहरण में निम्नलिखित खंड होना चाहिए: ( बी ( v ) ∨ बी ( यू ) ) और ( ¯ बी ( v ) ∨ ¯ बी ( यू ) ) । दूसरा मामला जो उनमें से एक नीला या लाल हो सकता है और दूसरा नीला या हरा समान है (आपको बस एक खंड की आवश्यकता है)।$B(v)$$v$$u$$v$$(B(v) \vee B(u))$$(\bar{B(v)} \vee \bar{B(u)})$

— बाबाक बेहज़ाज़