TCS के मोर्चे पर खुली समस्याएं

Question

थ्रेड में सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में प्रमुख अनसुलझी समस्याएं हैं? , इदो तज़मेरेट ने निम्नलिखित उत्कृष्ट टिप्पणी की:

मुझे लगता है कि हमें मूलभूत खुली समस्याओं के बीच अंतर करना चाहिए, जिन्हें मूलभूत समस्याओं के रूप में देखा जाता है, जैसे , और प्रमुख खुली समस्याएं जो एक तकनीकी सफलता का गठन करेंगी, अगर हल किया जाएगा, लेकिन जरूरी नहीं कि मौलिक, जैसे, पर घातीय कम सीमा सर्किट (यानी, एसी ^ 0 + \ मॉड 6 गेट्स)। इसलिए हमें संभवतः "टीसीएस के फ्रंटियर्स में खुली समस्याओं" या इस तरह के एक नए समुदाय विकी को खोलना चाहिए।$P\neq NP$$AC^0(6)$$AC^0+\mod 6$

चूंकि इडडो ने धागा शुरू नहीं किया था, मैंने सोचा कि मैं इस धागे को शुरू करूंगा।

अक्सर खेतों की मुख्य खुली समस्याओं को संबंधित क्षेत्रों में काम करने वाले शोधकर्ताओं के लिए जाना जाता है, लेकिन जिस बिंदु पर वर्तमान शोध अटका हुआ है वह बाहरी लोगों के लिए अज्ञात है। उद्धृत उदाहरण एक अच्छा है। एक बाहरी व्यक्ति के रूप में, यह स्पष्ट है कि सर्किट जटिलता में सबसे बड़ी समस्याओं में से एक यह दिखाना है कि एनपी को सुपर-पोलिनोमियल आकार के सर्किट की आवश्यकता है। लेकिन बाहरी लोगों को पता है कि वर्तमान बिंदु है जिस पर हम अटक कर रहे हैं एसी के लिए घातीय कम सीमा साबित करने के लिए कोशिश कर रहा है नहीं हो सकता है ⁰ आधुनिक 6 फाटकों के साथ सर्किट। (निश्चित रूप से इसी तरह की कठिनाई की अन्य सर्किट जटिलता समस्याएं हो सकती हैं, जो बताएंगी कि हम कहां फंस गए हैं। यह अद्वितीय नहीं है।) एक और उदाहरण है कि SAT के लिए समय-स्थान कम सीमा को n ^1.801 से बेहतर दिखाना है ।

यह धागा इस तरह के उदाहरणों के लिए है। चूंकि इस तरह की समस्याओं को चिह्नित करना कठिन है, इसलिए मैं बस कुछ गुणों के उदाहरण दूंगा जिनमें ऐसी समस्याएं हैं:

1. अक्सर क्षेत्र की बड़ी खुली समस्याएं नहीं होंगी, लेकिन हल होने पर एक बड़ी सफलता होगी।
2. आमतौर पर अविश्वसनीय रूप से कठिन नहीं, इस अर्थ में कि अगर किसी ने आपसे कहा कि समस्या कल हल हो गई है, तो यह विश्वास करना बहुत मुश्किल नहीं होगा।
3. इन समस्याओं में अक्सर संख्या या स्थिरांक होंगे जो मौलिक नहीं हैं, लेकिन वे उत्पन्न होते हैं क्योंकि ऐसा होता है जहां हम फंस जाते हैं।
4. किसी विशेष क्षेत्र के मोर्चे पर समस्या समय-समय पर बदलती रहेगी, क्योंकि यह क्षेत्र की सबसे बड़ी समस्या है, जो कई वर्षों तक एक जैसी रहेगी।
5. अक्सर ये समस्याएं सबसे आसान समस्याएं हैं जो अभी भी खुली हैं। उदाहरण के लिए हमारे पास AC ^{1 के} लिए घातीय निचले सीमाएं नहीं हैं , लेकिन चूंकि [6] को उस वर्ग में शामिल किया गया है, इसलिए [6] के लिए निम्न सीमाएं दिखाना औपचारिक रूप से आसान है , और इस प्रकार वह सर्किट जटिलता की वर्तमान सीमा।$AC^0$$AC^0$

कृपया प्रति उत्तर एक उदाहरण पोस्ट करें; मानक बड़ी सूची और CW सम्मेलन लागू होते हैं। यदि कोई व्यक्ति यह बता सके कि हमें किस प्रकार की समस्याओं की तुलना में बेहतर है, कृपया इस पोस्ट को संपादित करने और उचित बदलाव करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

EDIT: Kaveh ने सुझाव दिया कि उत्तरों में एक स्पष्टीकरण भी शामिल है कि किसी समस्या को सीमा पर क्यों रखा गया है। उदाहरण के लिए, हम एसी ⁰ [6] और एसी ⁰ [3] के मुकाबले कम सीमा क्यों खोज रहे हैं ? इसका उत्तर यह है कि हमारे पास AC ⁰ [3] के मुकाबले कम सीमाएँ हैं । लेकिन फिर स्पष्ट सवाल यह है कि एसी ⁰ [6] के लिए वे तरीके क्यों विफल हो जाते हैं । अच्छा होगा यदि उत्तर भी यह बता सकते हैं।

Comments

क्या यह केवल जटिलता सिद्धांत के बारे में है? मैं पूछ रहा हूं क्योंकि उद्धृत धागे पर, कई समस्याएं हैं जो इस प्रश्न के वर्णित विवरण को फिट करेंगे, और पी बनाम एनपी (संपादित दूरी, मैट्रिक्स गुणन, और इसी तरह) पर कोई सीधा असर नहीं है

— सुरेश वेंकट

मेरा मतलब सभी TCS को शामिल करना था। मैंने केवल जटिलता के उदाहरणों का उपयोग किया क्योंकि मैं इससे परिचित हूं। उस थ्रेड के साथ कुछ ओवरलैप होंगे क्योंकि लोगों ने हमारे ज्ञान की सीमा पर बड़ी खुली समस्याओं और समस्याओं को पोस्ट किया था।

— रॉबिन कोठारी

मुझे लगता है कि यह एक उत्कृष्ट प्रश्न है, "प्रमुख खुली समस्याओं" के बारे में बहुत दिलचस्प और उपयोगी है। इसलिए मैंने एक बाउंटी शुरू करने का फैसला किया, भले ही यह मेरा सवाल नहीं था। मुझे 100% यकीन नहीं है कि क्या होगा अगर मैं सीडब्ल्यू जवाब देने के लिए एक इनाम देता हूं, लेकिन हम इसे 7 दिनों में देखेंगे। :)

— जुकोका सुमेला

अच्छा विचार। मैं यह जानने के लिए भी उत्सुक हूं कि क्या होगा अगर आप एक सीडब्ल्यू जवाब देने के लिए इनाम देते हैं।

— रॉबिन कोठारी

और इनाम मौजूदा शीर्ष रैंकिंग के जवाब में चला गया। (लगता है कि यह उम्मीद के मुताबिक काम किया; सीडब्ल्यू जवाब पोस्ट करने वाले उपयोगकर्ता को +50 प्रतिनिधि मिला।)

— जुका सूमेला

Answer 1

यहाँ तीन सबसे छोटे रास्तों पर शोध किया गया है:

ओ ( एन + एम लॉग डब्ल्यू ) 2 $1$ । क्या गैर-संवेदी भार के साथ निर्देशित ग्राफ़ में एकल स्रोत सबसे छोटे रास्तों के लिए एक रेखीय समय एल्गोरिथ्म है, कम से कम गणना के शब्द-रैम मॉडल में? ध्यान दें कि एक रेखीय समय एल्गोरिथ्म अप्रत्यक्ष रेखांकन के लिए मौजूद है (थोरुप का पेपर देखें)। उसके आधार पर, हेगरअप के पास बंधे वजन के साथ निर्देशित रेखांकन के लिए रनटाइम है । क्या कोई तेज़ एल्गोरिथम है?$O(n+m\log w)$$2^w$

हे ( एन ω n ) ω < 2.376 हे ( n 2.575 ) हे ( एन ω n $2$ । वहाँ एक पॉलीग्लॉट एल्गोरिथ्म सभी जोड़े के लिए कम से कम दिशाहीन रेखांकन में सबसे छोटा रास्ता है? ( मैट्रिक्स गुणन का प्रतिपादक है Zwick द्वारा वर्तमान सबसे अच्छा रनटाइम है, और अप्रत्यक्ष रेखांकन के लिए समस्या को _ पॉलीलॉग में हल किया जा सकता है ।$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

(क्या निर्देशित समस्याएं वास्तव में कठिन हैं?)

ओ ( एन। 2.9 ) एन 0 , … , $3$ । वहाँ एक है सभी जोड़ों में कम से कम पथ के लिए एल्गोरिथ्म {में वजन के साथ -node रेखांकन }? या, क्या इस प्रतिबंध में सामान्य सभी जोड़े सबसे छोटे रास्तों की समस्या से कमी है?$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

Answer 2

यह पहले से ही प्रश्न में उल्लिखित है:

खुला:

अलग से ( गहराई 2 के सर्किट)। A C 0 2 [ 6 ] A C 0 [ 6 $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$(नीचे अपडेट देखें)

[नवम्बर 11, 2010] से अलग । से अलग ।ए सी ० २ [ ६ ] ई एक्स पी एन पी टी सी $EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

मालूम:

1. [अलेक्जेंडर रज़बोरोव 1987 - रोमन Smolensky 1987] में नहीं है अगर एक प्रमुख है और की शक्ति नहीं है । A C 0 [ p k ] p m $MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [अर्कदेव चट्टोपाध्याय और एवी विगडरसन 2009] m, q को-प्राइम पूर्णांक हो जैसे कि m वर्ग-मुक्त है और अधिकांश दो प्रमुख कारक हैं। सी प्रकार के किसी भी सर्किट होने दो जहां या तो है या गेट और आधार पर फाटक मनमाने ढंग से स्वीकार कर सेट है। यदि C गणना करता है, तो शीर्ष प्रशंसक-और इसलिए सर्किट का आकार, होना चाहिए । जी ए एन डी ओ आर एम ओ डी एम एम ओ डी $MAJoGoMOD^A_m$$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

बाद का परिणाम गहराई -2 साथ फ़ंक्शन से बंधे हुए छोटे सहसंबंध को प्राप्त करने पर आधारित है और कम डिग्री के बहुपदों से जुड़े घातीय रकम का अनुमान ।$MOD_q$

बाधाएँ:?

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अपडेट [Nov. 10, 2010]

एक कागज से रयान विलियम्स तरीकों जो कि ऊपर उल्लेख किया उन लोगों से अनिवार्य रूप से अलग होने लगते हैं का उपयोग कर इस खुले समस्या आकर बस गए हैं लगता है:

[रेयान विलियम्स 2010] में गैर-वर्दी सर्किट का आकार । A C C 0 2 n o ( 1 $E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

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संदर्भ:

• एए रज़ोरोव Matematicheskie Zametki, 41 (4): 598–607, 1987 में तार्किक जोड़ (रूसी) के साथ एक पूर्ण आधार पर बंधे गहराई नेटवर्क के आकार पर निचले सीमा, यूएसएसआर के विज्ञान अकादमी के गणितीय नोट्स के अंग्रेजी अनुवाद में 41, (४): ३३३-३३,, १ ९ 33।

• आर। स्मोलेंस्की। बूलियन सर्किट जटिलता के लिए निचले सीमा के सिद्धांत में बीजगणितीय विधियां। STOC में, पृष्ठ 77-82। एसीएम, 1987।

• अर्कदेव चट्टोपाध्याय और एवी विगडरसन। समग्र मोडुली , एफओसीएस 2009 पर रेखीय प्रणाली

• रेयान विलियम्स। गैर-वर्दी एसीसी सर्किट लोअर बाउंड्स , 2010, ड्राफ्ट (प्रस्तुत?)।

Comments

क्या एनपी सबसे बड़ा वर्ग है जिसे [6] को कड़ाई से नहीं जाना जाता है ? $AC^0$

— रॉबिन कोठारी

मुझे लगता है कि [6] यहाँ वर्ग के गैर-समान संस्करण को संदर्भित करता है (अन्यथा यह EXP में कड़ाई से निहित होगा क्योंकि यह P में समाहित है)। शायद कोई वर्दी संस्करण के लिए ज्ञान की वर्तमान स्थिति को भी जोड़ सकता है। $AC^0$

— रॉबिन कोठारी

स्पष्ट करने के लिए: क्या कम सीमा को गहराई के लिए जाना जाता है 2 सर्किट द्वार की सटीक परिभाषा पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है । यदि हम परिभाषित करते हैं (के रूप में ज्यादातर किया जाता है) यदि और केवल यदि फिर निचले सीमा रहे हैं जाना जाता है। हम "सामान्यीकृत" स्वीकृति मानदंड, अर्थात अनुमति देकर खुले प्रश्न क्षेत्र में आते हैं, यदि कुछ लिए 6 में है । $AC^0\[6\]$$MOD_6$$MOD_6(x)=1$एम ओ डी ए 6 ए एक ⊆ { 0 , ... , 5 $\sum x_i \not\equiv 0 \pmod 6$$MOD_6^A$$A$$A \subseteq \{0,\dots,5\}$

— क्रिस्टोफ़र अर्नसेफेल्ट हैनसेन 6'10

एक अतिरिक्त बिंदु: यदि आप गहराई को 2 से 3 तक बढ़ाते हैं, तो फाटकों के बीच का अंतर अब मायने नहीं रखता है ... कोई भी निचला प्रकार गेट प्रकार के लिए नहीं जाना जाता है। $MOD_6$

— रेयान विलियम्स

अब यह एक रायन द्वारा बसाया गया है: cs.cmu.edu/~ryanw/acc-lbs.pdf । बधाई हो!!!

— Hsien-Chih चांग।

Answer 3

बता दें कि CNF-SAT यह निर्धारित करने की समस्या है कि क्या दिया गया CNF फॉर्मूला संतोषजनक है (क्लॉस की चौड़ाई पर कोई प्रतिबंध नहीं)।

क्या CNF-SAT वेरिएबल्स और क्लॉज़ पर समय में है, कुछ ?एम 2 δ एन पी ओ एल y ( मीटर ) δ < $n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$

यह "एनपी के लिए तेज एल्गोरिदम" के क्षेत्र में एक अच्छी तरह से ज्ञात खुली समस्या है। मुझे नहीं लगता कि इसने "प्रमुख खुली समस्या" का दर्जा हासिल किया है लेकिन इसने काफी ध्यान आकर्षित किया है। सर्वश्रेष्ठ ज्ञात एल्गोरिदम समय (जैसे, यहाँ ) में चलते हैं ।$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

घातीय समय हाइपोथीसिस (कि 3SAT subexponential समय में नहीं है) से संबंधित, वहाँ भी एक है "सशक्त घातीय समय हाइपोथीसिस" उस के लिए इष्टतम प्रसारण समय -SAT को अभिमुख के रूप में । स्ट्रांग-ईटीएच का एक परिणाम यह होगा कि उपरोक्त प्रश्न का उत्तर नहीं है। कई प्रशंसनीय परिकल्पनाओं का अर्थ है कि उत्तर हां है , लेकिन कौन जानता है।2 n k → $k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$

मुझे लगता है कि यह उन समस्याओं में से एक है जो किसी भी तरह से "हल" होने की संभावना है: या तो हम एक हां-जवाब दिखाएंगे, या हम दिखाएंगे कि हां-जवाब का मतलब कुछ बहुत ही बड़ा है। पहले मामले में, हमें समस्या को हल करने की संतुष्टि होगी, दूसरे मामले में हमने प्रश्न को "बड़ी खुली समस्या" के रूप में ऊंचा कर दिया होगा ... कोई जवाब नहीं , और एक हां-जवाब का तात्पर्य कुछ बहुत बड़ा है। :)$P \neq NP$

Answer 4

प्रश्न वृक्ष PAC हैं या नहीं यह प्रश्न कम्प्यूटेशनल सीखने के सिद्धांत की सीमा पर लगता है।

खुला

क्या निर्णय के पेड़ (DTs) PAC उदाहरणों पर समान वितरण (या सामान्य रूप से) के तहत सीखने योग्य हैं?

मालूम

• सांख्यिकीय क्वेरी (SQ) [ ब्लम एट अल के साथ एकसमान वितरण के तहत DTs सीखने योग्य नहीं हैं । ' ]
• यादृच्छिक वितरण एक समान वितरण के तहत सीखने योग्य हैं [ जैक्सन, सेविडियो '05 ]
• एक समान वितरण के तहत मोनोटोन DTs सीखने योग्य हैं [ ओ'डोनेल, सेविडियो '06 ]
• एक समान वितरण के तहत डीटी सीखने के लिए एक सुचारू विश्लेषण [ कलाई, टेंग '08 ]

यह एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण समस्या है क्योंकि निर्णय के पेड़ एक बहुत ही प्राकृतिक वर्ग हैं, और इसके विपरीत, ऑटोमेटा कहते हैं, हमारे पास क्रिप्टोग्राफ़िक कठोरता परिणाम नहीं हैं जो समस्या को निराशाजनक बनाते हैं। इस सवाल पर प्रगति शायद इस बात की अंतर्दृष्टि दे सकती है कि क्या वितरण संबंधी धारणाओं के बिना डीटी (और इसी तरह की कक्षाएं) सीखने योग्य हैं। यह एक सैद्धांतिक सफलता होने के अलावा व्यावहारिक प्रभाव हो सकता है।

इस समस्या से भी लगता है कि सभी पक्षों से निपट लिया गया है। हम जानते हैं कि उदाहरणों पर समान वितरण के तहत: मोनोटोन निर्णय पेड़ सीखने योग्य हैं, कि यादृच्छिक निर्णय पेड़ सीखने योग्य हैं, और साथ ही साथ एक सुचारू विश्लेषण भी मौजूद है। हम यह भी जानते हैं कि एक SQ एल्गोरिथ्म इस समस्या को हल नहीं करेगा। और इस क्षेत्र में लगातार प्रगति भी हो रही है। दूसरी ओर, यह एक कठिन समस्या है जो कुछ समय के लिए खुली है, इसलिए यह "टीसीएस के फ्रंटियर्स पर खुली समस्याओं" के बिल को फिट करता है।

ध्यान दें कि अन्य परिणाम हैं जो मैं उचित सीखने वाले डीटीएस की कठोरता पर नहीं गए , डीटीएस को प्रश्नों के साथ सीखने की क्षमता पर, और एसक्यूएस के साथ यादृच्छिक डीटीएस सीखने की कठोरता पर भी ।

Answer 5

खुला:

एक स्पष्ट स्थिर डेटा-संरचना समस्या के लिए सेल जांच मॉडल में एक निचली बाउंड दिखाएं, जो यह साबित करता है कि कुछ "उचित" अंतरिक्ष प्रतिबंध (जैसे कि इनपुट के आकार में स्थान बहुपद है) के तहत, फिर क्वेरी समय पर होना चाहिए कम से कम T, जहाँ T लॉग से बड़ा है | Q |, जहाँ Q प्रश्नों का समूह है। इसे "लॉग | Q | - -रियर" (या कभी-कभी, कुछ हद तक गलत तरीके से, "लॉग-बैरियर") कहा जाता है।

मालूम:

1. लॉग की तुलना में कम सीमा | Q | अंतर्निहित समस्या के लिए ( मिलर्सन का सर्वेक्षण देखें )

2. लॉग की तुलना में कम सीमा | Q | चरम स्थान प्रतिबंध के साथ (उदाहरण के लिए कम सीमा)

3. लॉग की तुलना में कम सीमा | Q | गतिशील समस्याओं के लिए (जहां मेरा मतलब है कि यदि अपडेट का समय बहुत छोटा है, तो क्वेरी का समय बहुत बड़ा होना चाहिए, या इसके विपरीत, उदाहरण के लिए, आंशिक राशि के लिए पैट्रसक्यू की निचली सीमा देखें)

4. प्रतिबंधित मॉडल में कम सीमा, जैसे कि पॉइंटर मशीन, तुलना मॉडल, आदि

5. लोअर सीमाएँ जो लॉग को तोड़ती हैं | Q | बाधा संचार की जटिलता के मानक प्रकार से साबित नहीं की जा सकती है, क्योंकि ऐलिस केवल क्वेरी ही भेज सकता है, जो केवल लॉग लेता है। बिट्स, और इस प्रकार यह सत्यापित करना आसान है कि कमी कभी भी इससे कम बेहतर बाउंड नहीं देगी। इस प्रकार, सेल जांच मॉडल के लिए या तो एक बाध्य "मूल" का उपयोग किया जाना चाहिए, या संचार जटिलता में कुछ अधिक चतुर कमी का उपयोग किया जाना चाहिए।

Comments

शायद मैं प्रश्न को गलत समझ रहा हूं, लेकिन यह कैसे जाना जाता है? "डायनामिक समस्याओं (संदर्भ?) के लिए लॉग की तुलना में कम सीमा। Q

— मिहाई

उपयुक्त संदर्भ जोड़ा, और स्पष्ट किया।

— एलाद

Answer 6

निम्न-स्तरीय जटिलता वर्गों में, के लक्षण वर्णन के बारे में एक दिलचस्प समस्या है ।$\mathsf{NL}$

खुला:

दिखाएँ कि क्या , बराबर है ।यू $\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

एन $\mathsf{UL}$ , असंदिग्ध लॉगस्पेस , वर्ग में ऐसी समस्याएं हैं जिन्हें -machine द्वारा हल किया जा सकता है जो अतिरिक्त अवरोध के साथ हैं जो कि कम्प्यूटिंग पथ को स्वीकार करने वाले अधिकांश एक पर हैं।$\mathsf{NL}$

मालूम:

• के तहत गैर वर्दी परिस्थितियों, । [RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• प्रशंसनीय कठोरता मान्यताओं ( लिए घातीय आकार के सर्किट की आवश्यकता होती है), [RA00] के परिणाम को उस को दिखाने के लिए व्युत्पन्न किया जा सकता है । [ARZ99]एन एल = यू $\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• गम्यता पर 3-पेज रेखांकन के लिए पूरा हो गया है । [PTV10]$\mathsf{NL}$
• गम्यता 2-पेज रेखांकन पर के लिए व्याख्या करने योग्य है । [BTV09]$\mathsf{UL}$
• यदि , तो । [AJ93]$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

अनजान:

• एक इंटरमीडिएट क्लास , जिसे एक समस्या के रूप में परिभाषित किया गया है -machine के साथ अधिकांश बहुपद में कई स्वीकार किए जाने वाले संगणना पथ, और बीच स्थित है । किसी भी पतन का पता नहीं है।$\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$
• यह ज्ञात है कि प्रसिद्ध Immerman-Szelepcsényi प्रमेय द्वारा, जबकि कि क्या पूरक के तहत बंद कर दिया है अभी भी खुला है।$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

Comments

आप NL = coNL जोड़ना चाह सकते हैं, यह एक क्लासिक परिणाम है लेकिन यह संबंधित है।

— केवह

@ केव: क्या आपका मतलब है कि क्या उल पूरक के तहत बंद है?

— हसीन-चिह चांग 張顯

समझ गया! गलतफहमी के लिए क्षमा करें ... मैंने इसे उल की संपत्ति के रूप में जोर देने के बजाय, UNKNOWN हिस्से में डाल दिया।

— Hsien-Chih चांग 張顯

Answer 7

कुछ पीसीपी खुली समस्याएं:

• स्लाइडिंग स्केल अनुमान। पीसीपी में हम चाहते हैं कि सत्यापनकर्ता की त्रुटि यथासंभव छोटी हो। BGLR ने अनुमान लगाया कि त्रुटि सभी जहां यादृच्छिकता है (स्पष्ट रूप से लोअर बाउंड है)। त्रुटि को कम करने के लिए आप जिस कीमत का भुगतान करते हैं वह केवल वर्णमाला को उचित रूप से बढ़ा रही है।$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

औपचारिक रूप से: अनुमान यह है कि एसी मौजूद है, जैसे कि सभी प्राकृतिक आर के लिए, सभी , एक PCP सत्यापनकर्ता है जो अपने प्रमाण के लिए दो प्रश्न बनाने के लिए r randomness का उपयोग करता है, एकदम सही है पूर्णता और ध्वनि त्रुटि । प्रमाण की वर्णमाला केवल पर निर्भर करती है ।$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

दो प्रश्नों के लिए, कुछ विशिष्ट (एम-आरजे, 2008) के लिए सबसे अच्छी ज्ञात त्रुटि । किसी भी लिए त्रुटि भी प्राप्त हो सकती है , कई प्रश्नों के साथ जो कि (DFKRS) पर निर्भर करता है ।$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

सी पर निचले सीमा (यानी, सन्निकटन एल्गोरिदम) के बाद भी मांग की जाती है।

देखें इरिट दिनूर के सर्वेक्षण अधिक जानकारी के लिए।

• रैखिक लंबाई पीसीपी। रैखिक लंबाई के साथ उच्च दूरी त्रुटि सुधार कोड हैं। क्या रैखिक लंबाई के साथ एक पीसीपी है?

विशेष रूप से, हम एक SAT सूत्र की संतुष्टि के लिए एक सत्यापनकर्ता चाहते हैं जिसमें निरंतर प्रश्नों की संख्या, निरंतर वर्णमाला और निरंतर त्रुटि हो और सूत्र की लंबाई में लंबाई रैखिक के प्रमाण तक पहुंच हो? यह 1 के करीब त्रुटि के लिए भी खुला है (लेकिन तुच्छ से बेहतर ), उप-घातांक वर्णमाला और प्रश्नों की उप-रैखिक संख्या।$1-1/n$

निरंतर त्रुटि के लिए सबसे अच्छी ज्ञात लंबाई , और उप-निरंतर त्रुटि के लिए ।$n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

Answer 8

सिद्ध करें कि हर , में एक भाषा है जिसमें तारों के साथ (गैर-समरूप) सर्किट नहीं है । याद रखें कि । यही है, एक ओरेकल तक पहुंच के साथ घातीय समय के लिए सुपरलाइनियर सर्किट कम सीमा साबित करें ।$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

Comments

सबसे छोटा वर्ग कौन सा है जिसके लिए हमारे पास सुपरलाइनियर सर्किट कम सीमा है?

— रोबिन कोठारी

@ रॉबिन: अच्छा सवाल। यहाँ वास्तव में एक "अद्वितीय" न्यूनतम नहीं है। "बहुपद बाध्य वर्ग" के संदर्भ में, यह ज्ञात है कि वर्ग सर्किट नहीं हैं। एक भी के लिए superlinear सर्किट कम सीमा साबित कर सकते हैं असीम के लिए । (मुझे इसे एक अभ्यास के रूप में छोड़ दें ... संकेत: सभी -size सर्किट के सेट में कार्डिनैलिटी ।)$S_2 P \subseteq ZPP^{NP}$$TIME[2^{f(n)\cdot n \log n}]$$f$$cn$$2^{O(n \log n)}$

— रयान विलियम्स

Answer 9

एक -locally decodable कोड (एलडीसी) नक्शा दिया गया है एक एल्गोरिथ्म है कि इस तरह के स्थानीय डिकोडर बुलाया , जो इनपुट के रूप में एक पूर्णांक और एक प्राप्त शब्द जो से कुछ में सबसे भिन्न है पदों का भिन्न अंश, अधिकांश निर्देशांक को देखता है और को कम से कम प्रायिकता के साथ आउटपुट करता है । LDC को रैखिक कहा जाता है अगर$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$एक क्षेत्र है और है -linear। एलडीसी की जटिलता सिद्धांत और गोपनीयता में कई अनुप्रयोग हैं, दूसरों के बीच में।$C$$\mathbb{F}$

के लिए और निरंतर , स्थिति पूरी तरह से हल हो गई है। Hadamard कोड साथ एक रैखिक Lery LDC है , और यह गैर-रैखिक LDC के लिए भी अनिवार्य रूप से इष्टतम माना जाता है। लेकिन यहाँ, सीमांत है! जैसे ही हम बनाते हैं , ज्ञात ऊपरी और निचले सीमा के बीच एक बड़ा अंतर होता है। वर्तमान सबसे अच्छी ऊपरी सीमा किसी भी परिमित क्षेत्र (और यहां तक ​​कि दायरे और परिसरों) पर क्वेरी जटिलता साथ एक रैखिक -सीरी LDC है। [ एफ्रेमेनको '09 , दविर-गोपालन-येचानिन '10 ]। सबसे अच्छी निचली सीमा है$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$ रैखिक के लिए -query एलडीसी के किसी भी क्षेत्र से अधिक और के लिए सामान्य -query एलडीसी के [ Woodruff '10 ]। बड़ी संख्या में प्रश्नों की स्थिति और भी विकट है।$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

Answer 10

कुल कार्यों के लिए नियतात्मक और (2-पक्षीय बाध्य-त्रुटि) क्वांटम क्वेरी जटिलताओं के बीच सबसे बड़ा संभावित अंतर क्या है ?

खुला:

क्या कुल फ़ंक्शन मौजूद है जिसकी क्वांटम क्वेरी जटिलता T है, और निर्धारक क्वेरी जटिलता a (T ² ) है?

क्या कुल फ़ंक्शन मौजूद है जिसकी क्वांटम क्वेरी जटिलता T है, और निर्धारक क्वेरी जटिलता a (T ⁴ ) है?

यदि कुल फ़ंक्शन को क्वांटम एल्गोरिथम द्वारा टी प्रश्नों के साथ गणना की जा सकती है, तो क्या यह हमेशा एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म द्वारा प्रश्नों से गणना की जा सकती है?$o(T^6)$

मालूम:

यदि कुल फ़ंक्शन की क्वांटम क्वेरी जटिलता T है, तो इसकी नियतात्मक क्वेरी जटिलता । (संदर्भ)$O(T^6)$

सबसे बड़ा ज्ञात अंतर OR फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो एक द्विघात अंतर को प्राप्त करता है।

अपडेट (21 जून, 2015) : अब हम एक फ़ंक्शन को जानते हैं जो एक चतुर्थांश (4 वें शक्ति) अलगाव को प्राप्त करता है। Http://arxiv.org/abs/1506.04719 देखें ।

यह अनुमान लगाया जाता है कि OR फ़ंक्शन अधिकतम संभव अंतर प्राप्त करता है।

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एशले के सुझाव के अनुसार मुझे एक ही समस्या को सटीक गणना के लिए जोड़ना चाहिए।

खुला:

क्या कुल फ़ंक्शन मौजूद है जिसकी सटीक क्वांटम क्वेरी जटिलता T है, और जिसका नियतात्मक क्वेरी जटिलता is ?$\omega(T)$

मालूम:

यदि कुल फ़ंक्शन की सटीक क्वांटम क्वेरी जटिलता T है, तो इसकी निर्धारक क्वेरी जटिलता । (संदर्भ)$O(T^3)$

सबसे अच्छा ज्ञात अंतर 2 का एक कारक है।

अपडेट (5 नवंबर, 2012) : एंड्रीस अंबैनिस द्वारा सटीक क्वांटम एल्गोरिदम के लिए सुपरलाइनियर लाभ में यह सुधार किया गया है । अमूर्त से: "हम एक बूलियन फ़ंक्शन f (x_1, ..., x_N) का पहला उदाहरण प्रस्तुत करते हैं, जिसके लिए सटीक क्वांटम एल्गोरिदम का नियतात्मक एल्गोरिदम पर सुपरलाइनियर लाभ होता है। कोई भी नियतात्मक एल्गोरिथम जो हमारे कंप्यूटरों की गणना करता है, उन्हें एन प्रश्नों का उपयोग करना चाहिए, लेकिन ए। सटीक क्वांटम एल्गोरिथ्म इसे O (N ^ {0.8675 ...}) प्रश्नों के साथ गणना कर सकता है। "

Comments

यह मेरी पसंदीदा खुली समस्याओं में से एक है। लेकिन मैं निम्नलिखित प्रश्न भी जोड़ूंगा: क्या कुल फ़ंक्शन मौजूद है जिसकी सटीक क्वांटम क्वेरी जटिलता T है , और जिसका निर्धारक क्वेरी जटिलता ω (T) है ? सबसे अच्छा ज्ञात अंतर 2 का एक कारक है। मुझे यह कुछ चौंकाने वाला लगता है कि यह एक खुली समस्या है।

— एशले मोंट्रो

Answer 11

सबूत जटिलता में कई खुली समस्याएं हैं, मैं केवल एक का उल्लेख करूंगा, जो कुछ विशेषज्ञों द्वारा इसे निपटाने की कोशिश में वर्षों बिताने के बाद भी खुला रहता है। यह सर्किट जटिलता में राज्य का प्रमाण जटिलता संस्करण है। (देखें [Segerlind07] अगर आप सबूत जटिलता में अधिक खुली समस्याओं को देखना चाहते हैं।)

खुला

प्रूफ सिस्टम लिए सुपरपोलीनोमियल प्रूफ साइज़ लोअरबाउंड साबित करें ।$AC^0[2]$

$AC^0[2]$ -Frege (उर्फ डी- + ) प्रस्ताव प्रमाण प्रणाली है जो केवल ( with गेट) सर्किट की अनुमति देती है।$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

मालूम

1. ( कबूतरों और साथ कबूतर-शिकारी सिद्धांत का प्रस्ताव तैयार करना ) के लिए लिए घातांक प्रमाण आकार निम्न हैं (-Fre निरंतर गहराई फ्रेज, उर्फ ​​डी)। छेद)। लिए घातीय लोअरबाउंड भी हैं -Frege + (काउंटिंग के साथ निरंतर गहराई axioms)। यह भी ज्ञात है कि -Frege + बहुपद नहीं हैं। P H P n + 1 n n + 1 n A C 0 C A p mod p A C 0 C A $AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$

2. संबंधित सर्किट वर्ग अर्थात् लिए घातीय सर्किट आकार के निचले हिस्से हैं ।$AC^0[2]$

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संदर्भ:

• नाथन सेर्लिंड, "द प्रॉपर्टीस ऑफ़ प्रोपोज़ल प्रूफ़्स", बुलेटिन ऑफ़ सिम्बोलिक लॉजिक 13 (4), 2007

Answer 12

खुला:

QIP (2) और AM के बीच एक अलंकृत पृथक्करण दिखाएं। यही है, क्यूआईपी (2) ^ए में एक समस्या है जो एएम ^ए में नहीं है ।

बड़ी खुली समस्या बीक्यूपी और पीएच के बीच एक अलंकृत अलगाव को दिखाना है। लेकिन हमारे पास BQP और AM के बीच अलगाव नहीं है (क्योंकि AM PH में है, यह आसान होना चाहिए)। इससे भी बदतर, BQP को मर्लिन के साथ 1 राउंड इंटरैक्शन की अनुमति देकर काफी अधिक शक्तिशाली बनाते हैं, जिससे आपको वर्ग QAM या QIP (2) (सार्वजनिक सिक्कों या निजी सिक्कों पर निर्भर करता है) और हम अभी भी अलग नहीं होते हैं।

मालूम:

सबसे अच्छा ज्ञात अलगाव बीक्यूपी और एमए के बीच है, जो जॉन वाट्रस द्वारा इस पेपर से आता है । जटिलता वर्ग के लिए जो निर्णय समस्या वर्ग नहीं हैं, स्कॉट ऐरसन द्वारा इन परिणामों को देखें ।

Answer 13

मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह फ्रंटियर ओपन समस्याओं या प्रमुख खुली समस्याओं के वर्ग से संबंधित है, तो टिप्पणियों का स्वागत किया जाता है।

खुला:

यह दिखाएं कि क्या का तात्पर्य है या नहीं।पी $\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$ ( असंदिग्ध बहुपद समय) एक वर्ग है जिसे निर्णय समस्याओं के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक अतिरिक्त बाधा के साथ एनपी-मशीन द्वारा निर्णय लिया गया है

• किसी भी इनपुट पर अधिकतम एक गणना पथ स्वीकार करना है।

इस समस्या को 2003 में जटिलता ब्लॉग में कहा गया है ।

मालूम:

हेमासपंड्रा, नाइक, ओगिवारा और सेलमैन द्वारा एक परिणाम से पता चलता है कि यदि निम्नलिखित कथन चलता है, तो बहुपद पदानुक्रम दूसरे स्तर तक ढह जाता है।

• वहाँ एक है भाषा ऐसे प्रत्येक सूत्र के लिए कि सैट में, वहाँ है एक अद्वितीय संतोषजनक काम के साथ में । एल φ एक्स ( φ , एक्स ) $\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

अनजान:

किसी भी असंभावित पतन या अलगाव।

संबंधित पोस्ट: सिंटैक्टिक बनाम सिमेंटिक वर्गों पर अधिक, और यूपी बनाम एनपी ।

Comments

क्या कोई कमजोर कथन भी खुला है? उदाहरण के लिए, क्या एमए = यूपी एक पतन है? या एएम = यूपी?

— रॉबिन कोठारी

@ रोबिन: मेरी जानकारी में, नहीं। लेकिन मैं इस क्षेत्र के लिए नया हूँ, और अभी भी सर्वेक्षण के परिणामों के भीतर। शायद कुछ प्रासंगिक आ जाएगा!

— एचएन-चिह चांग।