क्या सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के लिए वास्तविक विश्लेषण में तकनीकों के कोई अनुप्रयोग हैं?

Question

मैंने इस तरह के अनुप्रयोगों के लिए दूर-दूर तक देखा है और ज्यादातर कम हो गए हैं। मैं काउंटेबल (या बेशुमार) सेट पर टोपोलॉजी और समान संरचनाओं के बहुत सारे अनुप्रयोग पा सकता हूं, लेकिन शायद ही कभी मुझे कंप्यूटर वैज्ञानिकों द्वारा अध्ययन के उद्देश्य के रूप में बेशुमार सेट मिले, और इसलिए विश्लेषण से तकनीकों की आवश्यकता के लिए अग्रणी।

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मेरे दोस्तों के अनुसार, सूचना सिद्धांत में वास्तविक विश्लेषण की आवश्यकता है। हालाँकि, यदि आप मूल बातें छोड़ देते हैं तो यह tcs (मेरे लिए कम से कम) में लोकप्रिय नहीं लगती है।

— सिंहसुमित

मेरे लिए सूचना सिद्धांत काफी है! यदि आप एक विशिष्ट उदाहरण निकाल सकते हैं, तो मैं आपकी प्रतिक्रिया को उत्तर के रूप में चिह्नित करूंगा ..

— रॉबिनहोड

सिग्नल प्रोसेसिंग, ग्राफिक्स और आपके पास क्या है। आप किस तरह की तकनीकों की तलाश कर रहे हैं?

— शायर

सूचना सिद्धांत से एक उदाहरण (निश्चित नहीं है कि आप क्या देख रहे हैं): , यह दो यादृच्छिक चर की पारस्परिक जानकारी है गैर-ऋणात्मक है। यह फ़ंक्शन की सहमति और जेन्सेन की असमानता से सीधे अनुसरण करता है। (कवर और थॉमस द्वारा सूचना के सिद्धांत के तत्व देखें, पृष्ठ 28)एक्स , वाई एल ओ $I(X;Y)\geq 0$$X,Y$$log$

— Shir

क्या आप भी जटिल विश्लेषण के अनुप्रयोगों में रुचि रखते हैं?

— राफेल

Answer 1

यहाँ दो संबंधित पाठ्यक्रम हैं:

• टोरंटो विश्वविद्यालय (2009) में एहुद फ्रिगेट द्वारा कॉम्बिनेटरिक्स और सीएस में विश्लेषणात्मक तरीके ,
• इब्रिट यूनिवर्सिटी (2006) में इरिट दिनूर और एहुद फ्राइडगुट द्वारा कॉम्बिनेटरिक्स एंड कंप्यूटर-साइंस में एनालिटिकल मेथड्स ।

अपनी पुस्तक के लिए रयान ओ'डॉनेल के नोट्स भी देखें:

• रयान ओ'डॉनेल द्वारा बूलियन फ़ंक्शंस का विश्लेषण ।

और शीर्ष दाएं कोने पर लिंक।

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ये व्याख्यान नोट्स महान हैं! अच्छी पोस्ट!

— निकोलस मंचुसो

Answer 2

कंक्रीट मैथमेटिक्स की किताब देखें - ए फाउंडेशन फॉर कंप्यूटर साइंस ग्रैहम, नुथ और पैटशनिक द्वारा। अध्याय 9 में वे यूलर-मैकलॉरिन योग सूत्र की व्याख्या करते हैं । यह एक तकनीक है जो आपको अभिन्न का उपयोग करके एक परिमित राशि का अनुमान लगाने की अनुमति देती है। एक ही अध्याय, पृष्ठ 466 में, वे इस तकनीक का उपयोग हार्मोनिक संख्या को अनुमानित करने के लिए करते हैं (जो टीसीएस के कई क्षेत्रों में बहुत कुछ दिखाई देता है)। यह मेरे लिए एक समय था जब मुझे इसका उपयोग करना था, और विभिन्न समीकरणों के लिए एसिम्प्टोटिक सन्निकटन तकनीकों का उपयोग करके एक अभिन्न को हल करना समाप्त कर दिया !

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अच्छे लिंक, लेकिन क्या यह अधिक संख्यात्मक विश्लेषण नहीं है?

— हुक बेनेट

यह पूरी तरह से विश्लेषक है।

— मार्कोस विलाग्रा

Answer 3

लोवाज़ और बी। सज़ीदी के काम में विकसित घने ग्राफ़ अनुक्रमों की सीमाओं का सिद्धांत है। इसमें ग्राफ़ पर कुछ संपत्ति परीक्षण समस्याओं के निहितार्थ हैं। Http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf देखें । मूल रूप से यह विचार है कि वे रेखांकन पर एक उपयुक्त मीट्रिक को परिभाषित करते हैं और ग्राफ़ अनुक्रमों की सीमा लेने की एक धारणा है, और फिर वे दिखाते हैं कि एक ग्राफ संपत्ति परीक्षण योग्य है यदि फ़ंक्शन जो ग्राफ को संपत्ति के लिए संपादित दूरी पर मैप करता है वह निरंतर है रेखांकन पर मीट्रिक स्थान जिसे परिभाषित किया गया था।

और फिर निश्चित रूप से फ्लैजलेट और सेडगविक के मैग्नम ओपस हैं, जो पूरी तरह से दहनशील संरचनाओं के स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग करने के लिए समर्पित हैं, जिसमें एल्गोरिदम का विश्लेषण भी शामिल है। यह ज्यादातर जटिल विश्लेषण पर भरोसा करने वाले फ़ंक्शन ट्रिक्स उत्पन्न कर रहा है

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यह ध्यान देने योग्य है कि ग्राफ की सीमा के सिद्धांत और, अधिक मोटे तौर पर, ग्राफ़ पर विश्लेषण एक बहुत ही गर्म विषय है, उदाहरण के लिए math.ias.edu/cga

— Marcin Kotowski

अच्छा सूचक @MarcinKotowski। यह क्षेत्र में :) Laci Lovasz होना अच्छा रहेगा जो

— Sasho निकोलोव

Answer 4

जैसा कि शायर ने जेंसन की असमानता का उल्लेख किया है वह हर समय दिखाता है। विशेष रूप से दहनशील समस्याओं में सीमा साबित करने में। उदाहरण के लिए निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

के उपसमूह V = { 1 , … , n } के परिवार को देखते हुए , इसका प्रतिच्छेदन ग्राफ G = ( V , E ) { i , j } ∈ E द्वारा परिभाषित किया गया है और यदि S केवल I$S_1, \ldots, S_n$$V = \{1, \ldots, n\}$$G = (V, E)$$\{i, j\} \in E$ । माना जाता है कि औसत सेट आकार r है और युग्मक चौराहों का औसत आकार अधिकांश k पर है। वो दिखाओ$S_i \cap S_j \neq \emptyset$$r$ ।$|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

प्रमाण:

हमें जोड़े गिनती करते हैं ऐसी है कि एक्स ∈ वी और एक्स ∈ एस मैं ∩ एस जे । हमें पहले ठीक करें ( S i , S j ) , हम देखते हैं कि ऐसे विकल्पों में से अधिकांश k हैं। के सभी मानों ले रहा है ( एस मैं , एस जे ) साथ ही, हम एक ऊपरी के लिए बाध्य है कश्मीर ⋅ ($(x, (S_i, S_j))$$x \in V$$x \in S_i \cap S_j$$(S_i, S_j)$$k$$(S_i, S_j)$। अब हम एक्स को ठीक करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रत्येकxमें है ( d(x$k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$$x$ चुनने के तरीके(Si,Sj)। जेन्सेन की असमानता हमारे पास है:$\binom{d(x)}{2}$$(S_i, S_j)$

।$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$

हम अंत में शब्दों को n से जोड़ते हैं।$\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

जबकि यह सीएस की तुलना में थोड़ा अधिक "मैथी" है, यह यह दिखाने के लिए कार्य करता है कि उत्तल कार्यों के लिए एक उपकरण का उपयोग कैसे किया जा सकता है - विशेष रूप से दहनशील अनुकूलन में।

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नोट जेंसेंस असमानता erd "os sunflower lemma [असतत संस्करण सर्किट लोअर बाउंड्स में देखा गया] से संबंधित है, हालांकि मुझे नहीं लगता कि Ive कहीं भी साबित हुआ है।

— vzn

Answer 5

कैसे Dedekind Reals के साथ Bauer और पॉल टेलर द्वारा कुशल संगणना के बारे में ।

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मुझे वास्तव में इसमें काम के बारे में पढ़ना पसंद है - सटीक वास्तविक संख्या अभिकलन क्या बेशुमार सेट हैं, साथ ही कुछ मन उड़ाने वाले एल्गोरिदम पर एक दिलचस्प परिप्रेक्ष्य प्रदान करता है।

— नील कृष्णस्वामी

... बीफोर बाउर और पॉल टेलर द्वारा , कृपया।

— बाउर

ओह हे, मैं पोस्ट को संपादित कर सकता हूं। फिक्स्ड।

— बाउर

सही किया। लेखक को कागज पर सूचीबद्ध करता था। हो सकता है कि आप उसे कागज के सह-लेखक के रूप में

— रखें

यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप जिस सिद्धांत को सिद्ध करने का प्रयास करते हैं वह शास्त्रीय है या रचनात्मक। रचनात्मक रूप से, आप केवल यह दिखाने के लिए मानक विकर्ण तर्क का उपयोग करते हैं कि वे बेशुमार हैं। चूंकि वास्तविक संख्याओं को गणना योग्य प्रक्रियाओं द्वारा महसूस किया जाना है, एक शास्त्रीय पीओवी से रचनात्मक प्रमाण हमें बता रहा है कि रुकने की समस्या अवांछनीय है। यह मेरा मतलब है जब मैंने कहा कि यह बेशुमार सेट क्या है पर दिलचस्प दृष्टिकोण प्रदान करता है ..!

— नील कृष्णस्वामी 20

Answer 6

असतत गणित में एक समस्या आने पर एक बहुत ही सामान्य और अक्सर उपयोगी तकनीक इसे एक निरंतर डोमेन में एम्बेड कर रही है, क्योंकि इससे गणितीय उपकरण का एक समृद्ध विकल्प नियोजित किया जा सकता है। इसलिए, मेरे उत्तर को सही करते हुए: वास्तविक विश्लेषण (ग्राफिक्स, सिग्नल प्रोसेसिंग और भौतिक दुनिया के साथ बातचीत करने वाले अन्य क्षेत्रों) में स्वाभाविक रूप से दिखाई देने वाले क्षेत्रों के अलावा, यह मूल रूप से हर जगह पॉप अप करता है, और उन जगहों पर जो यह नहीं था - मेरा यह भविष्य में होगा।

कुछ त्वरित उदाहरण:

1. कोड्स को सही करने में त्रुटि: रीड सोलोमन कोड्स पॉलीनॉमियल का उपयोग करते हैं। कोड पर कुछ सीमाएँ कोड के संकेतक फ़ंक्शन को असतत घन से वास्तविक के रूप में देखने में शामिल करती हैं, इस प्रकार फूरियर रूपांतरण और अन्य तकनीकों को लागू करती हैं।
2. संभाव्य विधि - मापक प्रमेयों (एक विश्लेषणात्मक उपकरण) का उपयोग यादृच्छिक रेखांकन (जैसे वर्णिक संख्या) के विभिन्न गुणों को दिखाने के लिए किया जाता है। अलोन और स्पेंसर की पुस्तक देखें।

3. प्रतिच्छेदन प्रमेय (यह अधिक संयोजन से संबंधित है, लेकिन वैसे भी) - कोने और ई किनारों के साथ एक ग्राफ $v$$e$$\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$

4. $k-1$$k$$k-1$

Comments

ठोस उदाहरण, कृपया?

— Marcin Kotowski

मैंने 4 उदाहरण जोड़े, हालांकि मुझे लगता है कि उनमें से बहुत सारे हैं, हम वास्तव में दिन भर जा सकते हैं।

— शायर

Answer 7

अगर मैं सही ढंग से याद करता हूं कि विभाजन हार पर नोगा एलोन की प्रमेय समस्या के निरंतर संस्करण का उपयोग करता है।

देख: http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

यहाँ विकी पेज में इसका भी उल्लेख है: http://en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

Answer 8

संसाधन-बाध्य उपाय का क्षेत्र जटिलता वर्ग के लिए लेब्सेग माप को लागू करता है। विचार इन सेटों के सापेक्ष "आकारों" के बारे में बात करके जटिलता वर्गों के बीच अलगाव प्राप्त करना है।

Answer 9

एक सुंदर कागज है, क्वांटम वन-वे कम्युनिकेशन बोआज़ क्लार्टैग और ओडेड रेगेव द्वारा शास्त्रीय संचार की तुलना में अत्यधिक मजबूत है , जो वास्तविक विश्लेषण से तकनीकों की एक बड़ी संख्या का उपयोग करता है जो कि टीसीएस में असामान्य हैं, जिसमें रेडॉन ट्रांसफ़ॉर्म, गोलाकार हार्मोनिक्स और हाइपर कॉन्ट्रेक्टिव शामिल हैं (गैर-असतत) इकाई क्षेत्र पर असमानताएं

Answer 10

Haken, कुक द्वारा मोनोटोन रियल सर्किट (1997) के आकार के लिए एक घातीय लोअर बाउंड

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यह आपके पहले से अलग जवाब क्यों है? सिर्फ संपादन ही क्यों?

— Artem Kaznatcheev

आवेदन के विभिन्न क्षेत्र

— vzn

Answer 11

मुझे हमेशा नियमित / संदर्भ-मुक्त भाषाओं और फ़ंक्शन सिद्धांत ((औपचारिक) पावर सीरीज़) के बीच के संबंध काफी रोमांचक लगे: यही कारण है कि फ्रांसीसी इन भाषा वर्गों को "तर्कसंगत" और "बीजीय" कहते हैं। यह भग्न ज्यामिति के कनेक्शन को भी इंगित करता है। एक समान नस में, उदाहरण के लिए, परिमित ऑटोमेटा उन भाषाओं पर अनंत शब्दों को परिभाषित कर सकती है, जिनमें मानक मीट्रिक टोपोलॉजी से सुसज्जित होने पर अच्छे सामयिक गुण होते हैं।

एक अन्य कनेक्शन "सेट कन्वर्सेशन" का हाल ही में विकसित सिद्धांत हो सकता है जो फाउर ट्रांसफॉर्म से ज्ञात कई एल्गोरिदम को समान करने की अनुमति देता है। मेरा मानना ​​है कि ये कम से कम "प्रेरणात्मक समानताएँ" हैं।