Parity-L से CNOT सर्किट में लॉग-स्पेस में कमी?

Question

सवाल।

उनके पेपर में स्टेबलाइजर सर्किट के बेहतर सिमुलेशन , आरोनसन और गोट्समैन का दावा है कि CNOT सर्किट का अनुकरण pleteL -complete (लॉगस्पेस रिडक्शन के तहत) है। यह स्पष्ट है कि यह isL में निहित है ; कठोरता कैसे पकड़ती है?

समान रूप से: क्या पुनरावृत्त मैट्रिक्स उत्पादों मॉडुलो 2 से एक लॉगस्पेस कमी है, प्राथमिक मेट्रिसेस के पुनरावृत्त उत्पादों (इनवर्टर मैट्रेस जो पंक्ति परिवर्तनों का एहसास करते हैं) मॉड 2?

विवरण

एक नियंत्रित-नहीं (या CNOT ) ऑपरेशन एक रिवर्सिबल बूलियन ऑपरेशन है, जो फॉर्म जहां केवल j ^वें कुछ बदल जाता है, और है कि किसी भी भिन्न पदों h और j के लिए modulo 2 को जोड़कर बिट को बदल दिया जाता है । यह देखना मुश्किल नहीं है, अगर हम व्याख्या करते हैं

$$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$$ $x_h$$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$वेक्टर के रूप में corresp / 2ℤ, कि यह एक प्राथमिक पंक्ति परिवर्तन modulo 2 से मेल खाता है, जिसे हम एक मैट्रिक्स द्वारा 1s के साथ विकर्ण और एक एकल-विकर्ण स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। एक CNOT सर्किट तब एक मैट्रिक्स उत्पाद होता है जिसमें इस प्रकार के कुछ प्राथमिक मैट्रिसेस के उत्पाद होते हैं।

आरोनसन और गोट्समैन द्वारा दिए गए पेपर में ऊपर उल्लेख किया गया है (जो कि इस सवाल से बहुत संयोगवश , क्वांटम सर्किट के एक वर्ग के बारे में है जिसे ⊕L में सिम्युलेट किया जा सकता है ) कम्प्यूटेशनल जटिलता पर एक खंड है। इस खंड की शुरुआत में, वे निम्नानुसार ⊕L का वर्णन करते हैं:

⊕L [है] एक nondeterministic logarithmic-Space ट्यूरिंग मशीन द्वारा हल की जाने वाली सभी समस्याओं का वर्ग, जो स्वीकार करता है कि क्या और केवल तभी जब स्वीकार करने वाले पथों की कुल संख्या विषम हो। लेकिन एक वैकल्पिक डे ition नेशन है जो संभवतः गैर-कंप्यूटर-वैज्ञानिकों के लिए अधिक सहज है। यह है कि isL उन समस्याओं का वर्ग है जो एक बहुपद-आकार CNOT सर्किट के अनुकरण को कम करता है, अर्थात  एक सर्किट जो पूरी तरह से NOT और CNOT गेट से बना है, प्रारंभिक अवस्था पर कार्य करता है। 0 ... 0⟩ | (यह दिखाना आसान है कि दो डे equivalent एनएएनएस समकक्ष हैं, लेकिन इससे हमें यह समझाने की आवश्यकता होगी कि सामान्य डे usual नेशन का मतलब क्या है!)

लेख के लक्षित दर्शकों में काफी संख्या में गैर-कंप्यूटर-वैज्ञानिक शामिल थे, इसलिए एलाइड की इच्छा अनुचित नहीं है; मैं उम्मीद कर रहा हूं कि कोई यह स्पष्ट कर सकता है कि यह समानता कैसे है।

जाहिर है, इस तरह के मैट्रिक्स का एक उत्पाद का अनुकरण में किया जा सकता ⊕L के लिए आवर्ती मैट्रिक्स उत्पादों के गुणांक (आधुनिक 2) है, जो पूरी तरह से समस्या है (logspace कटौती के तहत) मूल्यांकन का एक विशेष मामले के रूप ⊕L । इसके अलावा, जैसा कि CNOT मैट्रिसेस सिर्फ प्रारंभिक पंक्ति संचालन करते हैं, किसी भी इनवर्टेबल मैट्रिक्स को CNOT मैट्रिसेस के उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है। हालाँकि: यह स्पष्ट नहीं है कि मुझे लॉगऑन रिडक्शन द्वारा CNOT मैट्रिसेस के उत्पाद में एक इनवर्टेबल मैट्रिक्स मॉड 2 को भी कैसे विघटित करना है । (दरअसल, जैसा कि टिप्पणी में एमिल जेकोब द्वारा लिखा गया है, गाऊसी उन्मूलन निर्धारक मॉड 2 की गणना करने के लिए पर्याप्त है, जो कि एक -L- अपूर्ण समस्या है: इसलिए डीकोम्पोसिंग द्वारा एक सीधा हमला उदा। प्राथमिक मैट्रिसेस के उत्पादों के रूप में इनवर्टेबल मैट्रीज़, जब तक L  =  sayL ) लॉजस्पेस में संभव नहीं लगता है , मैट्रिक्स उत्पादों की कोई बात नहीं कहने के लिए जो कि इनवर्टेबल नहीं हैं। तो कुछ चतुर कमी की आवश्यकता प्रतीत होती है।

मुझे उम्मीद है कि कोई व्यक्ति इस कमी, या एक संदर्भ ( उदाहरण के लिए  एक पाठ जिसके लिए यह एक अभ्यास है, अगर यह सरल है) का एक स्केच प्रदान कर सकता है ।

Comments

मुझे लगता है कि कंप्यूटिंग निर्धारक mod भी completeL- पूर्ण है, इसलिए गाऊसी उन्मूलन mod .L-hard है। $2$$2$

— एमिल जेकाबेक 3.0

@ EmilJeřábek: मैं अपने टिप्पणी के बारे में सोच रहा हूँ, और मैं अगर यह तुरंत संकेत मिलता है कि CNOT सर्किट अनुकरण है देखने के लिए कोशिश कर रहा हूँ नहीं के लिए पूर्ण ⊕L जब तक एल = ⊕L । (एक मैट्रिक्स के उत्पाद पर विचार करें, या पहचान मैट्रिक्स के साथ एकल मैट्रिक्स के उत्पाद पर विचार करें!) यह लगभग बहुत आसान लगता है; क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ? मुझे लगता है कि शायद यह केवल कई-से-एक कटौती को नियंत्रित करता है।

— निएल डी ब्यूड्रैप

मुझे नहीं लगता कि यह इतना आसान है। ⊕L निर्णय की समस्याओं का एक वर्ग है, जबकि F_2 पर मैट्रिक्स गुणन एक फ़ंक्शन समस्या है। मैट्रिक्स गुणन का forL संस्करण परिणाम के एक विशेष बिट के लिए पूछना है (कहते हैं, मैट्रिक्स के शीर्ष बाईं प्रविष्टि)। क्या एक लॉगस्पेस एल्गोरिथ्म हो सकता है जो मैट्रिसेस का एक क्रम लेता है और प्रारंभिक मैट्रिसेस का एक अनुक्रम पैदा करता है ताकि दोनों अनुक्रमों के उत्पादों में एक ही शीर्ष बाएं तत्व हो? यह सच गॉसियन उन्मूलन की तुलना में बहुत कमजोर है। वास्तव में, आरोनसन और गोट्समैन का दावा मेरे लिए प्रशंसनीय लगता है, हालांकि मुझे यकीन नहीं है कि इसे कैसे साबित किया जाए।

— एमिल जेकाबेक 3.0

@ EmilJe Emábek: मैं सोच रहा हूं कि अधिकांश problemsL निर्णय समस्याएं, समस्याओं के व्यक्तिगत गुणांक को सत्यापित करने पर आधारित हैं, जो कि DET के लिए स्वाभाविक हैं (यह functionL -complete के रूप में फ़ंक्शन समस्याओं की बात करना आम है , हालांकि इसका दुरुपयोग है शब्दावली है कि); और यह कि मैट्रिक्स उत्पादों के लिए मेरा अंतर्ज्ञान पर्याप्त रूप से जटिल है कि किसी भी गुणांक के लिए तदर्थ की व्यवस्था करना मुश्किल है , दो मैट्रिक्स उत्पादों को उस गुणांक के लिए इस तरह से बराबर होना चाहिए कि आप काफी हद तक निश्चित नहीं हो सकते कि अन्य सभी गुणांक के रूप में अच्छी तरह से सहमत होंगे।

— निएल डी ब्यूड्रैप

मुझे मिल गया: गिनती एक logspace मशीन एक में गिनती के रास्तों को मात्रा के रास्तों को स्वीकार अचक्रीय जो विकर्ण पर 1 के साथ ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के गुणन द्वारा दर्शाया जा सकता ग्राफ,। बाद को आसानी से गौसियन उन्मूलन के बिना एक स्पष्ट तरीके से प्राथमिक मैट्रिस के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

— एमिल जेकबेक 3.0

Answer 1

हमें साथ शुरू करते हैं गिनती के -Complete समस्या आधुनिक लंबाई के रास्तों की संख्या शिखर से को शिखर एक निर्देशित ग्राफ में । हम लॉगस्पेस रिडक्शन के एक जोड़े को निम्नानुसार लागू करते हैं।$\oplus L$$2$$n$$s$$t$$G=(V,E)$

चलो ग्राफ ऐसी है कि हो सकता है और (यानी, हम प्रतियों की का चक्कर लगाते हैं, बनाते हैं किनारों से जाना$G'=(V',E')$$V'=V\times\{0,\dots,n\}$$E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$$n+1$$G$$i$$(i+1)$$G$$n$$s'=(s,0)$$t'=(t,n)$$G'$

$G'$$V'=\{w_k:k\le m\}$$G'$$w_k$$w_l$$k<l$$w_0=s'$$w_m=t'$$M$$G'$$M$$1$$n$$s'$$t'$$M^n$

$$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$$ $E_{i,j}(a)$$a$$i$$j$$\oplus L$$2$$\mathbb F_2$$E_{i,j}(0)=I$$E_{i,j}(1)$$\#L$$k$$\mathrm{Mod}_kL$

Comments

$\#L$

$\mathbb F_2$

आपको मैट्रिक्स पॉवरिंग से गुजरने की ज़रूरत नहीं है, जिसकी completL- पूर्णता को साबित करना कठिन है। ⊕L को परिभाषित किया गया है कि मॉड 2 को एक nondeterministic logspace ट्यूरिंग मशीन के स्वीकार पथ (बहुपद समय घड़ी के साथ, मैं अनुमान लगाता हूं, ताकि संख्या परिमित होने की गारंटी हो), जो कॉन्फ़िगरेशन के ग्राफ में गिनती के पथ के समान है मशीन (यह व्यवस्था करना आसान है कि पथ सभी एक ही कॉन्फ़िगरेशन में समाप्त हो जाते हैं, और यह कि पथ की लंबाई समान है, मशीन को लूप में जाने तक इसकी घड़ी समाप्त हो जाती है और फिर एक निश्चित स्वीकार स्थिति दर्ज करें)।

— एमिल जेकबेक 3.0

मुझे लगता है कि पेपर में विचारों पर ध्यान केंद्रित करने और बंटॉक एट अल द्वारा लॉगस्पेस -एमओडी कक्षाओं के महत्व पर ध्यान केंद्रित किया गया है । , मैं एक अधिक चक्रीय पाचक में मनमाने ढंग से लंबाई के रास्तों की संख्या के संदर्भ में सोचने के आदी हो गया हूं , और डीईटी -जैसी समस्याएं जैसे मैट्रिक्स उत्पाद और शक्तियां जो स्वाभाविक रूप से इससे जुड़ी हैं।

— नील डी बेउड्राप