वंशानुगत वर्गों के वैश्विक गुण?

Question

संरचनाओं का एक वंशानुगत वर्ग (जैसे रेखांकन) वह है जो प्रेरित उपग्रहों के तहत बंद है, या समकक्ष रूप से, शीर्ष हटाने के तहत बंद है।

नाबालिग को बाहर करने वाले ग्राफ के वर्ग में अच्छे गुण होते हैं जो विशिष्ट बहिष्कृत नाबालिग पर निर्भर नहीं होते हैं। मार्टिन ग्रोह ने दिखाया कि ग्राफ वर्गों के लिए एक नाबालिग को छोड़कर आइसोमोर्फिज्म के लिए एक बहुपद एल्गोरिथ्म है, और इन ग्राफ वर्गों के लिए बहुपद समय की गणना के साथ निश्चित-बिंदु तर्क है। ( ग्रोह , फिक्स्ड-पॉइंट डेफिसिबिलिटी और बहुपद समय पर एक्सक्लूड माइनर्स , LICS, 2010 के साथ ग्राफ पर ।) इन्हें "वैश्विक" गुणों के रूप में माना जा सकता है।

क्या वंशानुगत वर्गों (या तो रेखांकन या अधिक सामान्य संरचनाओं) के लिए समान "वैश्विक" गुण हैं?

प्रत्येक उत्तर को केवल एक विशिष्ट संपत्ति पर ध्यान केंद्रित करना अच्छा होगा।

Answer 1

निम्नलिखित अर्थों में वंशानुगत गुण बहुत "मजबूत" हैं।

नोगा एलन और आसफ शापिरा से पता चला है कि किसी भी वंशानुगत संपत्ति के लिए , अगर एक ग्राफ जी की जरूरत है और अधिक से अधिक ε एन 2 किनारों को जोड़ने या संतुष्ट करने के लिए हटा दिया पी , फिर वहाँ में एक subgraph है जी ज्यादा से ज्यादा, आकार की च पी ( ϵ ) , जो संतुष्ट नहीं करता है${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$। यहाँ, फ़ंक्शन f केवल गुण P पर निर्भर करता है(औरउदाहरण के लिएग्राफ G के आकार पर नहीं)। Erd Ersने इस तरह के अनुमान को केवल k -colorabilityकी संपत्ति के बारे मेंबताया था।${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

दरअसल, एलन और शापिरा निम्नलिखित मजबूत तथ्य साबित: दी , किसी के लिए ε में ( 0 , 1 ) , देखते हैं एन ( ε ) , ज ( ε ) और δ ( ε ) ऐसी है कि अगर एक ग्राफ जी कम से कम है एन कोने और कम से कम पी । इस प्रकार, यदि ε और संपत्ति पी परीक्षण करने के लिए, ठीक है, तो एक इनपुट ग्राफ संतुष्ट पी या है ${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$ किनारों जोड़ा / संतुष्ट करने के लिए हटा दिया पी , तो कम से कम के लिए δ पर प्रेरित subgraphs के अंश ज कोने, प्रेरित subgraph का उल्लंघन करती है$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$ -far संतोषजनक से , फिर एक ही ग्राफ से लगातार आकार के एक यादृच्छिक प्रेरित subgraph के किनारों क्वेरी करने के लिए की जरूरत है और जाँच करें कि यह संपत्ति को संतुष्ट करता है या नहीं। इस तरह की एक परीक्षक हमेशा संतोषजनक रेखांकन स्वीकार करेंगे पी और अस्वीकार होगा रेखांकन ε निरंतर संभावना के साथ यह संतोषजनक से -far। इसके अलावा, कोई भी संपत्ति जो इस अर्थ में एकतरफा परीक्षण योग्य है वह एक वंशानुगत संपत्ति है! विवरण के लिए अलोन और शपीरा द्वारा पेपर देखें।${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

Comments

दो दिन पहले संपत्ति परीक्षण पर Czumaj ( springerlink.com/content/9rw586wx50656412 ) द्वारा एक अच्छी बात की गई थी। अभी तक अधिक विषय पर के लिए, वहाँ टेरी ताओ (द्वारा एक पोस्ट है terrytao.wordpress.com/2007/10/31/... ) या Goldreich (द्वारा एक सर्वेक्षण eccc.uni-trier.de/report/2010/082 )।

— आरजेके

परीक्षणशीलता एक महान वैश्विक संपत्ति है। अच्छा सारांश के लिए धन्यवाद।

— एंड्रेस सलामन

Answer 2

यह काफी नहीं हो सकता है कि आपके मन में क्या था, लेकिन जाने के प्रतिबंधों पर ज्ञात हैं कि कोने पर कितने रेखांकन हैं, जो वंशानुगत वर्ग के रेखांकन में हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, वहाँ के बीच है कि रेखांकन का कोई वंशानुगत वर्ग है 2 Ω ( एन ) और 2 ओ ( n $n$$2^{\Omega(n)}$ पर रेखांकनnकोने।$2^{o(n\log{n})}$$n$

संदर्भ: ई। स्हीमैनमैन, जे। जीतो, वंशानुगत वर्गों के रेखांकन के आकार पर, जर्नल ऑफ़ कॉम्बिनेटरियल थ्योरी सीरीज़ B

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ये गुण निश्चित रूप से योग्य हैं: मुझे लगता है कि आपके द्वारा निर्दिष्ट मात्रा को "गति" कहा जाता है।

— आंद्रस सलामन

Answer 3

यह ट्रैविस के उत्तर से संबंधित है। वास्तव में, यह एक मजबूत संस्करण माना जा सकता है।

एक Bollob \ द्वारा कागज 'के रूप में और थॉमसन (Combinatorica, 2000) से पता चलता है कि में अर्ड \ एच {ओ} एसआर \' Enyi यादृच्छिक रेखांकन (साथ पी कुछ तय निरंतर), हर वंशानुगत संपत्ति क्या इसका अनुमान लगाया जा सकता है कि वे एक मूल संपत्ति को बुलाओ । बेसिक लगभग रेखांकन जिसका शिखर सेट की यूनियनों हैं इसका मतलब आर कक्षाएं, एस जो की अवधि क्लिक्स और आर - रों जिनमें से स्वतंत्र सेट अवधि है, लेकिन काफी नहीं। यह सन्निकटन एक सबसे बड़ा के आकार चिह्नित करने के लिए प्रयोग किया जाता है पी सेट के साथ-साथ पी की -chromatic संख्या$G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$ , जहां पी कुछ निश्चित वंशानुगत संपत्ति है। यदिpको भिन्न करने की अनुमति है, तो व्यवहार अच्छी तरह से समझा नहीं गया है।$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

इस और संबंधित कार्य के लिए अधिक पृष्ठभूमि के लिए, बोल्लोब द्वारा ' (ICM 1998 की कार्यवाही के रूप में) एक सर्वेक्षण है जो इन पंक्तियों के साथ-साथ हाइपरग्राफ के लिए एक आकर्षक अनुमान भी देता है।

मुझे वंशानुगत गुणों और Szem 'की eredi की नियमितता लेम्मा के बीच गहरा संबंध बहुत पेचीदा लगता है, क्योंकि इसका उपयोग यहाँ और अलोन और शपीरा परिणाम दोनों में किया गया था।

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धन्यवाद रॉस। लिंक जो आप वंशानुगत गुणों और नियमितता लेम्मा के बीच उजागर करते हैं, कुछ दिलचस्प सवालों के लिए बनाते हैं।

— एन्ड्रेस सलामोन

Answer 4

एकेआर अनुमान के बारे में सुरेश का जवाब मुझे वंशानुगत गुणों के लिए एक ही अनुमान के बारे में सोचकर मिला। मुझे लगता है (जब तक मैंने कोई गलती नहीं की है) मैं दिखा सकता हूं कि सभी गैर-तुच्छ वंशानुगत गुणों में (यादृच्छिक और निर्धारक) निर्णय पेड़ की जटिलता , जो इस तरह के गुणों (स्थिरांक तक) के लिए एकेआर अनुमान को सुलझाता है।$\Theta(n^2)$

मैंने यह देखने के लिए साहित्य को खोजने की कोशिश की कि क्या यह कहीं दिखाया गया है, लेकिन मुझे संदर्भ नहीं मिला। इसलिए या तो मैं इसे ढूंढ नहीं पाया लेकिन यह मौजूद है, या प्रमेय निर्बाध है, या मैंने एक त्रुटि की है।

तो, यह सभी वंशानुगत ग्राफ गुणों की वैश्विक संपत्ति का एक और उदाहरण है।

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मुझे आपके परिणामों के साथ एक मसौदा पढ़ने में बहुत दिलचस्पी होगी।

— आंद्र सलाम

जब आप इसे लिखने के लिए इधर-उधर होंगे तो मैं आपको बता दूंगा। मुझे यह भी पूरा विश्वास है कि इस क्षेत्र में कुछ प्रसिद्ध निचली सीमाओं का पालन करना चाहिए। दुर्भाग्य से मैं इस क्षेत्र के किसी भी विशेषज्ञ को नहीं जानता, जो मैं पूछ सकता हूं।

— रॉबिन कोठारी

Answer 5

एर्दो-हेज़ल अनुमान के अनुसार , प्रत्येक वंशानुगत परिवार के पास यह गुण होता है कि उसमें मौजूद ग्राफ़ में या तो बहुवचन आकार के समूह या स्वतंत्र सेट होते हैं (अर्थात,$\Omega(n^c)$$c>0$

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यह संभावित रूप से एक बहुत ही दिलचस्प उदाहरण है, लेकिन कुछ उत्कृष्ट संरचनात्मक ग्राफ सिद्धांतकारों को मैं जानता हूं कि यह गलत है!

— आरजेके

Answer 6

यह "रिवर्स" दिशा है, लेकिन अच्छी तरह से ज्ञात Aanderaa-Rosenberg-Karp अनुमान ग्राफ गुणों के लिए लागू होता है जो कि ऊपर की ओर मोनोटोन होते हैं (यानी यदि जी संपत्ति को संतुष्ट करता है, तो उसी नोड पर किसी भी ग्राफ को यह किनारा सेट होता है) ))।

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AKR अनुमान उन संपत्तियों पर समान रूप से लागू होता है, जो नीचे की ओर मोनोटोन हैं, क्योंकि एक ऊपर-मोनोटोन संपत्ति का पूरक एक नीचे-नीरस संपत्ति है, और एक संपत्ति का निर्णय ट्री जटिलता और इसका पूरक समान है। हालांकि, एकेआर अनुमान में एकरसता की धारणा किनारे को हटाने के संबंध में है, जबकि ओपी का प्रश्न शीर्ष निष्कासन के संबंध में एकरसता के बारे में है। ये गुणों के दो अलग-अलग वर्गों को परिभाषित करते हैं।

— रॉबिन कोठारी

सबस्ट्रक्चर-बंद कक्षाओं के लिए एक नया प्रश्न करना दिलचस्प हो सकता है।

— आंद्र सलाम