की unprovability के निहितार्थ

Question

मैं पढ़ रहा था " क्या पी वर्सस एनपी औपचारिक रूप से स्वतंत्र है? " लेकिन मैं हैरान हो गया।

यह व्यापक रूप से जटिलता सिद्धांत में माना जाता है कि । मेरा प्रश्न इस बारे में है कि क्या यह साबित होने योग्य नहीं है ( में कहें )। (मान लें कि हम केवल यह पता कि से स्वतंत्र है लेकिन यह कैसे साबित होता है इसके बारे में कोई और जानकारी नहीं।) जेड एफ सी पी ≠ एन पी जेड एफ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$

इस कथन के निहितार्थ क्या होंगे? अधिक विशेष रूप से,

कठोरता

यह मानते हुए कि कुशल एल्गोरिदम ( कोबम-एडमंड्स थीसिस ) और , हम सिद्ध करते हैं कि वे हैं हमारे कुशल एल्गोरिदम की वर्तमान पहुंच से परे। यदि हम पृथक्करण सिद्ध करते हैं, तो अर्थ है कि बहुपद समय एल्गोरिथ्म नहीं है। लेकिन क्या एक परिणाम का अर्थ है यदि पृथक्करण योग्य नहीं है? इन नतीजों का क्या होगा?पी ≠ एन पी एन पी - एच एक आर डी एन ई एस एस एन पी - एच एक आर डी एन ई एस एस एन पी - एच एक आर डी एन ए रों $\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$$\mathsf{NP\text{-}hardness}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

कुशल एल्गोरिदम

क्या अलगाव की अप्राप्यता का मतलब यह है कि हमें कुशल एल्गोरिदम की अपनी परिभाषा को बदलने की आवश्यकता है?

Comments

पहली बात जो आपको पूछने की ज़रूरत है: औपचारिक रूप से स्वतंत्र? गणितीय तर्क में, लोगों के विचार के स्वयंसिद्ध कई सेट हैं। डिफ़ॉल्ट एक ZFC है, या Zermelo-Fraenkel चॉइस के Axiom के साथ सिद्धांत सेट करता है। ZFC से स्वतंत्र होने का अर्थ यह है कि इन स्वयंसिद्धों से न तो P = NP या P! = NP को सिद्ध किया जा सकता है।

— पीटर शोर

यदि आप यह जानना चाहते हैं कि "एक्स एक्स या स्वयंसिद्ध प्रणाली से स्वतंत्र है या नहीं", तो फॉर्म के एक स्टेटमेंट के लिए एक प्रमाण कैसा दिखता है, तो आप केवल कुछ उदाहरण क्यों नहीं पढ़ते हैं? ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से एज़ोम ऑफ़ चॉइस की स्वतंत्रता एक प्रसिद्ध उदाहरण है। मैंने गलती से एक वास्तविक प्रश्न के रूप में बंद करने के लिए मतदान किया था, लेकिन मेरा मतलब बंद विषय के रूप में मतदान करना था।

— त्सुशी जोतो

क्या आपने स्कॉट आरोनसन के बहुत अच्छे और स्वतंत्र रूप से उपलब्ध लेख को पढ़ा; "क्या पी वर्सस एनपी औपचारिक रूप से स्वतंत्र है?" ( scottaaronson.com/papers/pnp.pdf )

— दे बियासी

प्रश्न "यदि X को ZFC से स्वतंत्र साबित किया जाता है, और हमारे पास X Y के कुछ प्रमेय हैं , तो इन धारणाओं का क्या होता है?" अच्छी तरह से प्रकट होता है, और यह सवाल है कि मेरा मानना ​​है कि ओपी पूछ रहा है। उत्तर ऐसा प्रतीत होता है: कुछ स्वयंसिद्ध प्रणालियों में, जैसे कि ZFC + X, तब हमारे पास Y होल्डिंग है, जबकि ZFC + FC X में हमें Y के बारे में कोई जानकारी नहीं है। इस प्रकार, इन सशर्त प्रमेयों का अभी भी कुछ मूल्य होगा। वास्तव में, वे की तुलना में अगर इस स्थिति में अधिक मूल्य होता ¬ एक्स एक प्रमेय साबित हुई किया जाता था। $\rightarrow$$\lnot$$\lnot$

— आंद्र सलाम

P बनाम NP का ZFC अप्राप्यता शायद जटिलता सिद्धांत की तुलना में सेट थ्योरी के लिए बहुत अधिक निहितार्थ होगा।

— डेविड हैरिस

Answer 1

आपके प्रश्न को बेहतर ढंग से समझा जा सकता है, "प्रूफ की खोज से जटिलता सिद्धांत कैसे प्रभावित होगा कि पी = एनपी औपचारिक रूप से कुछ मजबूत स्वयंसिद्ध प्रणाली से स्वतंत्र है?"

प्रमाण के विवरण को देखने के अभाव में, अमूर्त में इस प्रश्न का उत्तर देना थोड़ा कठिन है। जैसा कि आरोनसन ने अपने पेपर में उल्लेख किया है, पी = एनपी की स्वतंत्रता को साबित करने के लिए केवल मौलिक सिद्धांत के बारे में नहीं, बल्कि स्वतंत्रता के बयानों को कैसे साबित करना है, इसके बारे में मौलिक रूप से नए विचारों की आवश्यकता होगी। हम एक कट्टरपंथी सफलता के परिणामों की भविष्यवाणी कैसे कर सकते हैं जिसका आकार हम वर्तमान में भी अनुमान नहीं लगा सकते हैं?

फिर भी, कुछ अवलोकन हैं जिन्हें हम कर सकते हैं। ZFC (और बाद में ZFC + बड़े कार्डिनल्स से) की निरंतरता परिकल्पना की स्वतंत्रता के प्रमाण के मद्देनजर, लोगों की एक बड़ी संख्या इस दृष्टिकोण से सामने आई है कि सातत्य की परिकल्पना न तो सही है और न ही गलत है । हम पूछ सकते हैं कि क्या लोग इसी तरह इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि P = NP स्वतंत्रता के प्रमाण के मद्देनजर "न तो सत्य है और न ही असत्य है", तर्क के लिए, मान लें कि P = NP ZFC से स्वतंत्र साबित हुआ है + कोई भी बड़ा कार्डिनल स्वयंसिद्ध)। मेरा अनुमान नहीं है। आरोनसन मूल रूप से कहते हैं कि वह नहीं करेंगे। गोएडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय ने किसी को भी प्रेरित नहीं किया है कि मैं यह तर्क देना जानता हूं कि "ZFC लगातार है" न तो सही है और न ही गलत है।कथन, और अधिकांश लोगों के पास मजबूत अंतर्ज्ञान होते हैं जो अंकगणितीय कथन - या कम से कम अंकगणितीय कथन "पी = एनपी" के रूप में सरल है - या तो सही या गलत होना चाहिए। एक स्वतंत्रता प्रमाण को केवल इस रूप में व्याख्या किया जाएगा कि हमारे पास यह निर्धारित करने का कोई तरीका नहीं है कि पी = एनपी और पी एनपी में से कौन सा मामला है।$\ne$

कोई यह भी पूछ सकता है कि क्या लोग इस मामले की व्याख्या राज्य के रूप में करेंगे जो हमें बता रहे हैं कि पी और एनपी की परिभाषाओं के साथ कुछ "गलत" है। शायद फिर हमें नई परिभाषाओं के साथ जटिलता सिद्धांत की नींव को फिर से तैयार करना चाहिए जो कि काम करने के लिए अधिक ट्रैक्टेबल हैं? इस बिंदु पर मुझे लगता है कि हम जंगली और गैर-भरोसेमंद अटकलों के दायरे में हैं, जहां हम उन पुलों को पार करने की कोशिश कर रहे हैं जिन्हें हमने अभी तक नहीं तोड़ा है और उन चीजों को ठीक करने की कोशिश कर रहे हैं जो अभी तक नहीं टूटे हैं। इसके अलावा, यह भी स्पष्ट नहीं है कि कुछ भी होगाइस परिदृश्य में "टूट" हो। सेट सिद्धांतकार किसी भी बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों को मानते हुए पूरी तरह से खुश हैं जो उन्हें सुविधाजनक लगता है। इसी तरह, जटिलता सिद्धांतकार भी इस काल्पनिक भविष्य की दुनिया में, किसी भी पृथक्करण स्वयंसिद्धों को मानते हुए पूरी तरह से खुश हो सकते हैं कि वे मानते हैं कि वे सच हैं, भले ही वे अविश्वसनीय रूप से अविश्वसनीय हों।

संक्षेप में, P = NP के स्वतंत्रता प्रमाण से तार्किक रूप से कुछ भी अधिक नहीं होता है । इस तरह की शानदार सफलता के प्रकाश में जटिलता सिद्धांत का चेहरा मौलिक रूप से बदल सकता है , लेकिन हमें बस इंतजार करना होगा और देखना होगा कि सफलता क्या दिखती है।

Comments

@vzn: आपके उदाहरण केवल "यकीनन" अंकगणित नहीं हैं; वे निर्विवाद रूप से अंकगणित हैं। लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि आपकी बात क्या है। कुछ डायोफैंटाइन समीकरण ले लो संपत्ति है कि "के साथ ई कोई समाधान नहीं है" ZFC में अनिर्णनीय है। मेरा कहना है कि हर कोई जानता है कि या तो ई के पास समाधान है या यह नहीं है, और हम इसे एक या दूसरे तरीके से साबित नहीं कर सकते हैं। क्या आप मानते हैं कि इस बात का कोई तथ्य नहीं है कि क्या ई के पास समाधान है - कि ई के पास न तो समाधान है और न ही समाधान है? $E$$E$$E$$E$$E$

— तीमुथियुस चो

@vzn: मुझे लगता है कि आप पूरी तरह से इस बिंदु को याद करते हैं। सवाल यह नहीं है कि क्या कोई विशेष कथन अनुचित है , लेकिन क्या यह न तो सही है और न ही गलत है । दो अवधारणाएं पूरी तरह से अलग हैं। उदाहरण के लिए, क्या आप कहेंगे कि ZFC न तो सुसंगत है और न ही असंगत है? हर कोई (बाकी) जो मुझे पता है कि जेडएफसी सुसंगत है, या यह नहीं है, भले ही हमारे पास यह निर्धारित करने का कोई तरीका नहीं है कि मामला क्या है।

— टिमोथी चो

"यह मेरे लिए धर्म की तरह लगता है और गणित नहीं" - मेटामैटामिक्स में आपका स्वागत है। शायद "एक्स न तो सच है और न ही झूठा" कहने का एक कम आपत्तिजनक तरीका है कि हमारे पास एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को पसंद करने का कोई प्राथमिक कारण नहीं है जिसमें एक्स एक स्वयंसिद्ध प्रणाली पर एक्स सच है जिसमें एक्स गलत है। हमारे पास अंकगणित का एक (लगभग) सार्वभौमिक रूप से सहमत मानक मॉडल है; एक सामाजिक सम्मेलन के रूप में, हम अंकगणित कथनों को स्वीकार करते हैं जो वास्तव में वास्तव में सच होने के रूप में उस मॉडल में निहित हैं। सेट सिद्धांत के लिए भी ऐसा नहीं कहा जा सकता है।

— जेफ

यह भी देखें consc.net/notes/continUM.html और mathoverflow.net/questions/14338/… - औपचारिकतावाद, प्लैटोनवाद और अंतर्ज्ञानवाद के प्रत्येक गणितज्ञ का व्यक्तिगत मिश्रण अनिवार्य रूप से एक धार्मिक विश्वास है।

— जेफ

@vzn: आप अभी भी बात याद आती है। यहां तक ​​कि अगर हम आपको अपने व्यक्तिगत धार्मिक विश्वास प्रदान करते हैं, तो आप बस इतना ही कह रहे हैं कि आप एरोनसन और बाकी दुनिया को अंकगणितीय वाक्यों को सही या गलत घोषित करने में शामिल नहीं होंगे। हम सभी इस बात से सहमत हैं कि बयान के रूप में यह बताने का कोई तरीका नहीं है कि क्या यह अनुचित है , लेकिन यह दावा नहीं है। दावा आप को छोड़कर लगभग हर कोई है जो करता है मजबूत अंतर्ज्ञान है कि अंकगणितीय बयान कर रहे हैं सही या गलत । सिर्फ इसलिए कि आप उस विश्वास को साझा नहीं करते हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि दूसरों के पास नहीं है।

— टिमोथी चो

Answer 2

यह एक वैध प्रश्न है, भले ही शायद थोड़ा दुर्भाग्य से। सबसे अच्छा जवाब मैं यह दे सकता हूं:

स्कॉट आरोनसन: पी बनाम एनपी औपचारिक रूप से स्वतंत्र है । सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के लिए यूरोपीय संघ के बुलेटिन, 2003, वॉल्यूम। 81, पृष्ठ 109-136।

सार: यह शीर्षक प्रश्न के बारे में एक सर्वेक्षण है, जो उन लोगों के लिए लिखा जाता है जो (लेखक की तरह) तर्क को निषिद्ध, गूढ़ और अपनी सामान्य चिंताओं से दूर के रूप में देखते हैं। Zermelo Fraenkel सेट सिद्धांत पर एक दुर्घटना पाठ्यक्रम के साथ शुरुआत, यह oracle स्वतंत्रता पर चर्चा करता है; प्राकृतिक सबूत; रज़ोरोव, रज़, डीमिलो-लिप्टन, सज़ानोव और अन्य के स्वतंत्रता परिणाम; और मजबूत तार्किक सिद्धांतों से स्वतंत्र पी बनाम एनपी साबित करने के लिए बाधाएं। यह कुछ दार्शनिक पेशों के साथ समाप्त होता है जब किसी को गणितीय प्रश्न से डी some नीट उत्तर की उम्मीद करनी चाहिए।

Comments

उह, मैंने इस तथ्य को पूरी तरह से याद किया कि टिप्पणी में आरोनसन का पेपर पहले ही उल्लेख किया गया था। मैं क्षमाप्रार्थी हूं।

— बाउर

Answer 3

$[ZFC][1]$। इसका सीधा सा मतलब है कि सिद्धांत न तो कथन को प्रमाणित कर सकता है और न ही उसकी उपेक्षा को। इसका यह अर्थ नहीं है कि कथन का सत्य मूल्य नहीं है, इसका यह अर्थ नहीं है कि हम कथन के सत्य मूल्य को नहीं जान सकते हैं, हम नए उचित स्वयंसिद्ध जोड़ सकते हैं जो सिद्धांत को मजबूत बनाने में सक्षम होंगे बयान या इसकी उपेक्षा साबित करने के लिए। अंत में, एक सिद्धांत में उकसाना एक औपचारिक अमूर्त अवधारणा है। यह एक मॉडल के रूप में हमारे वास्तविक दुनिया के अनुभव से संबंधित है।

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$$\Pi_1$टोपोलॉजी विद लॉजिक ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$, और FOM मेलिंग सूची पर पोस्ट खोजें ।

Answer 4

जैसा कि इस पत्र में सिद्ध किया गया है:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

यदि पी! = एनपी को पीनो अंकगणित से स्वतंत्र दिखाया जा सकता है, तो एनपी के पास बेहद करीब-से-बहुपद नियतात्मक समय ऊपरी सीमा है। विशेष रूप से, ऐसे मामले में, एक DTIME (n ^ 1og * (n)) एल्गोरिथ्म है जो इनपुट लंबाई के अनंत रूप से कई विशाल अंतराल पर SAT की सही गणना करता है।

Answer 5

बस इस बारे में कुछ विचार। बेझिझक आलोचना करें।

Q = [साबित नहीं कर सकता (P = NP) और साबित नहीं कर सकता (P / = NP)]। एक विरोधाभास के लिए क्यू मान लीजिए। मैं यह भी मानूंगा कि पी बनाम एनपी के बारे में सभी ज्ञात खोजें अभी भी व्यवहार्य हैं। विशेष रूप से, सभी एनपी समस्याएं इस अर्थ में बराबर हैं कि यदि आप उनमें से एक को बहुपद समय में हल कर सकते हैं, तो आप अन्य सभी को बहुपद समय में हल कर सकते हैं। तो डब्ल्यू डब्ल्यू एक एनपी पूरी समस्या हो; डब्ल्यू एनपी में सभी समस्याओं का समान रूप से प्रतिनिधित्व करता है। क्यू के कारण, कोई बहुपद समय में डब्ल्यू को हल करने के लिए एक एगोथेम ए प्राप्त नहीं कर सकता है। अन्यथा हमारे पास सबूत है कि पी = एनपी, जो क्यू (1) (*) के विपरीत है। ध्यान दें कि सभी एल्गोरिदम परिभाषा द्वारा गणना योग्य हैं। इसलिए यह कहना कि A मौजूद नहीं है, इसका अर्थ है कि बहुपद समय में W की गणना करने का कोई तरीका नहीं है। लेकिन यह विरोधाभास क्यू (2)। हम या तो खारिज कर रहे हैं (1) xor अस्वीकार (2)। या तो मामला एक विरोधाभास की ओर जाता है। इस प्रकार क्यू एक विरोधाभास है,

(*) आप कह सकते हैं, "अहा! मौजूद हो सकता है, लेकिन हम इसे ढूंढ नहीं सकते"। ठीक है, अगर A अस्तित्व में है, तो हम छोटे कार्यक्रमों से बड़े कार्यक्रमों की गणना करके A को खोजने के लिए सभी कार्यक्रमों के माध्यम से गणना कर सकते हैं। एक परिमित होना चाहिए क्योंकि यह एक एल्गोरिथ्म है, इसलिए यदि ए मौजूद है, तो इसे खोजने के लिए गणना कार्यक्रम को समाप्त करना होगा।

Comments

@ विक्टर: अच्छी बात है। मैं कल्पना करता हूं कि यदि ए मौजूद है, तो कोई प्रत्येक प्रगणित कार्यक्रम का विश्लेषण कर सकता है यह देखने के लिए कि क्या यह वास्तव में बहुपद समय में एक एनपी पूरी समस्या को हल करता है। मेरा मानना ​​है कि चूंकि एक परिमित अनुदेश सेट (कुछ सार्वभौमिक कंप्यूटर द्वारा दिया गया) के साथ काम कर रहा है, जिसे ए की पहचान की जा सकती है। लेकिन मैं कोई विशेषज्ञ नहीं हूं।

— थॉमस ईडिंग

समस्या यह है कि यदि क्यू सच है, तो हम एक ऐसे मामले में पड़ेंगे, जहां कोई भी, चाहे वह कितना भी बुद्धिमान क्यों न हो, यह साबित कर सकता है कि एन्यूमरेटर द्वारा उत्पन्न एक विशेष एल्गोरिथ्म पी = एनपी को हल करता है, भले ही वह ऐसा करता हो। इस मामले में, यह निर्धारित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म कि पी = एनपी मौजूद है और पाया जा सकता है, लेकिन विश्लेषणात्मक के लिए इसकी शुद्धता साबित करना असंभव है। आगे एक स्टेटमेंट "जैसे एल्गोरिथ्म एक्स पी = एनपी समस्या हल करता है?" बहुत अस्वाभाविक लगता है।

— विक्टर स्टैफुसा

इसके अलावा ... यदि A मौजूद है, तो N को A के आकार का होने दें। T को आकार के सभी प्रोग्राम के सेट होने दें <= N. एक साथ T में सभी A पर W चला सकते हैं। जैसा कि प्रत्येक 'A' समाप्त होता है, चलाएँ आउटपुट O एक प्रोग्राम के माध्यम से जो यह देखने के लिए जाँच करता है कि O हल करता है W (ध्यान दें कि किसी NP तथाकथित समस्या के लिए किसी तथाकथित 'समाधान' को बहुपद समय में सत्यापित किया जा सकता है।) यदि O एक सही उत्तर है, तो अन्य सभी कंप्यूटरों को बंद कर दें। और O को ध्यान में रखें कि प्रत्येक A 'को समाप्त नहीं करना चाहिए क्योंकि A उनमें से एक है और पॉलीनोमिनल समय में एक सही O का उत्पादन करेगा। इस प्रकार किसी को यह भी साबित करने की आवश्यकता नहीं है कि ए सोल पी = एनपी हल करता है। एन परिभाषा से मौजूद है।

— थॉमस ईडिंग

आपके (*) खंड में: "A को परिमित होना चाहिए क्योंकि यह एक एल्गोरिथ्म है, इसलिए यदि A मौजूद है, तो इसे खोजने के लिए गणना कार्यक्रम को समाप्त होना चाहिए।" इसका मतलब यह है कि प्रगणक किसी तरह यह निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए कि क्या यह प्रोग्राम उत्पन्न करता है कि यह बहुपद समय में एनपी-पूर्ण समस्या को हल करता है, जो निश्चित रूप से अनिर्णायक है (और भी अधिक जब से हम यहां क्यू मान रहे हैं), और इस तरह एन्यूमरेटर कभी भी बंद नहीं होगा। ।

— विक्टर स्टाफ़ुसा

"पी = एनपी जेडएफसी से स्वतंत्र है" वैसा नहीं है जैसा कि "हम नियतात्मक बहुपद समय में एनपी में किसी भी समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म नहीं ढूंढ सकते हैं", जैसा कि विक्टर ने बताया है। एक सिद्धांत के संबंध में स्वतंत्रता जैसी धारणाओं से निपटने के दौरान इन वर्गों की सटीक परिभाषाएं महत्वपूर्ण हैं।

— एन्द्रस सलामोन