क्या मर्लिन के लिए वैध उत्तरों की विशिष्टता की आवश्यकता आर्थर-मर्लिन प्रोटोकॉल की शक्ति को सीमित करती है?


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प्रस्तावना।

जटिलता वर्ग एएम वे समस्याएं हैं जो एक "मर्लिन" और एक सत्यापनकर्ता "आर्थर" के बीच दो-गोल इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम द्वारा हल की जा सकती हैं। एक समस्या - जो किसी वस्तु X की कुछ संपत्ति का परीक्षण करती है - AM में है यदि:

  • के लिए हाँ उदाहरणों, एक यादृच्छिक "चुनौती" संदेश के लिए (बहुपद लंबाई की) आर्थर, उत्पन्न करता है उच्च संभावना मर्लिन एक (बहुपद लंबाई) तैयार कर सकते हैं जवाब जो आर्थर सबूत नहीं है कि के रूप में उपयोग कर सकते हैं के साथ एक्स संपत्ति है;

  • के लिए कोई उदाहरण हैं, एक यादृच्छिक चुनौती संदेश आर्थर उत्पन्न करता है, के साथ उच्च संभावना मर्लिन के लिए कोई जवाब जो संपत्ति के लिए साक्ष्य के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता पर के लिए परीक्षण किया जा रहा तैयार नहीं कर सकते हैं एक्स

- वर्णित वर्ग में बदलाव नहीं होता है यदि हमें मर्लिन की आवश्यकता होती है, ताकि उच्च संभावना के साथ न केवल उपयोगी उत्तर दिया जा सके, बल्कि आर्थर जो भी चुनौती दे सकता है; हम इस मामले कि हम होना करने के लिए हमेशा मर्लिन जवाब की आवश्यकता होती में कह सकते हैं वैध के लिए हाँ उदाहरणों, और क्या आर्थर परीक्षण जवाब की वैधता है। इसलिए यदि मर्लिन कभी भी एक अमान्य प्रतिक्रिया उत्पन्न करता है, तो आर्थर जानता है कि समस्या उदाहरण कोई उदाहरण नहीं है । यह वह सेटिंग है जिस पर मैं विचार करना चाहूंगा।

एक उदाहरण है ग्राफ नॉन-आइसोमोर्फिज्म: दिए गए ग्राफ G और H को वर्टेक्स लेबल के एक ही सेट के साथ, आर्थर बेतरतीब ढंग से ग्राफ़ में से किसी एक का चयन कर सकते हैं और अपने वर्टेक्स लेबल की अनुमति देकर "स्क्रैम्बल" संस्करण F का उत्पादन कर सकते हैं, जो मर्लिन को इसकी एक प्रस्तुति भेजते हैं। । यदि दो ग्राफ गैर-आइसोमॉर्फिक हैं, तो मर्लिन जी या एच आर्थर में से कौन सी एफ  whether  जी या एफ , एच निर्धारित कर सकता है, की पहचान कर सकता है, और यह पहचान कर जवाब दे सकता है कि दोनों एफ में से कौन सा  आइसोमॉर्फिक  है। यदि दो ग्राफ G और H आइसोमॉर्फिक हैं, हालांकि, मर्लिन किस ग्राफ को भेद नहीं सकता हैएफ से आया था, और वह जो भी जवाब देता है वह केवल संयोग से सही हो सकता है। इस प्रकार, हाँ उदाहरणों के लिए मर्लिन हमेशा किसी भी चुनौती के लिए एक वैध प्रतिक्रिया भेज सकते हैं; कोई उदाहरण के लिए कोई भी प्रतिक्रिया जो मर्लिन भेज सकता है उच्च संभावना अमान्य के साथ होगी।

उपरोक्त समस्या में, न केवल एक वैध प्रतिक्रिया मौजूद है जो मर्लिन प्रत्येक चुनौती के लिए आर्थर को जारी कर सकती है, लेकिन वास्तव में एक अद्वितीय वैध प्रतिक्रिया है: अर्थात  यह इंगित करें कि जी या एच आर्थर में से किसने चुना, यह निर्धारित किया जा सकता है। पहचान जो एफ के लिए isomorphic है ।

सवाल।

इन पंक्तियों के साथ एक अड़चन लगाता है - कि हाँ उदाहरणों के लिए, किसी भी चुनौती के लिए आर्थर भेज सकते हैं, मर्लिन के लिए एक वैध प्रतिक्रिया है - एक अधिक प्रतिबंधक वर्ग उपज, एक वर्ग को उपजाने के अर्थ में जो एएम के बराबर नहीं जाना जाता है ?


यह विचार करने से पहले कि यह एएम के बराबर है या नहीं, मैं यह भी देखने में विफल हूं कि यह साबित करने के लिए कि एनपी आपकी कक्षा में कैसे निहित है…।
त्सुयोशी इतो

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यदि हमें मर्लिन को केवल उच्च संभावना के साथ एक वैध प्रतिक्रिया की आवश्यकता होती है, तो कक्षा में एनपी (और, मुझे लगता है, सभी एएम) शामिल हैं: हम आर्थर को अद्वितीय-सैट के लिए मूल्यवान-वज़ीरानी कटौती कर सकते हैं।
एमिल जेकाबेक मोनिका

@ ईमिल: मैं समझता हूं कि अगर "उच्च संभावना" 1 / पाली है, लेकिन क्या यह संभव है कि संभावना बढ़े, कहे, स्थिर?
त्सुयोशी इतो

पर्याप्त रूप से उचित, यह वास्तव में एक छोटी संभावना है। मुझे नहीं पता कि इसे कैसे स्थिर बनाया जाए।
एमिल जेकाबेक मोनिका

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क्या आप सार्वजनिक-सिक्का प्रोटोकॉल या निजी-सिक्का प्रोटोकॉल पर विचार कर रहे हैं? परिभाषा से, ऐसा लगता है कि आप सार्वजनिक-सिक्का प्रोटोकॉल के बारे में सोच रहे हैं, लेकिन ग्राफ गैर-आइसोमोर्फिज्म के लिए प्रोटोकॉल जो आपने वर्णित किया है, वह सार्वजनिक-सिक्का प्रोटोकॉल नहीं है।
Tsuyoshi Ito

जवाबों:


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कोइरन का पेपर हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसट्ज पॉलिनोमियल हायरार्की में है, यह स्थापित करने के लिए एक सार्वजनिक-सिक्का आर्थर-मर्लिन प्रोटोकॉल प्रदान करता है कि एन अज्ञात पर m समीकरणों की एक प्रणाली में सी एन में एक समाधान है , जो सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना पर आधारित है। यहाँ मर्लिन एक प्रमुख पाता पी के साथ एच ( पी ) = 0 कुछ यादृच्छिक हैश के लिए एच , एक समाधान के साथ ( एक 0 , एक 1 , , एक एन ) में से प्रत्येक के मीटर समीकरणnCnpH(p)=0H(a0,a1,,an)mmodp

यदि समीकरणों की प्रणाली में कोई समाधान modp , तो केवल p modulo की एक परिमित संख्या होगी जो एक समाधान मौजूद है। प्रणाली तो करता है एक समाधान है modp , तो बिना शर्त वहाँ की एक सकारात्मक घनत्व हो जाएगा p एक समाधान के साथ, और GRH की अनुमति देता है कि p ऐसी है कि मर्लिन एक जीत हो जाता है एक समाधान के साथ "equidistributed" कर रहे हैं कुछ अर्थों में,।

pCnpa11/e

इस प्रकार, उपरोक्त समस्या में, न केवल एक वैध प्रतिक्रिया मौजूद है जो मर्लिन प्रत्येक चुनौती के लिए आर्थर को जारी कर सकती है, लेकिन वास्तव में बड़ी संख्या में वैध प्रतिक्रियाएं हो सकती हैं।

pp

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