एक द्विदलीय ग्राफ में न्यूनतम शीर्ष विलोपन दिखा रहा है कि एनपी-पूर्ण है

Question

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें जिसका इनपुट उदाहरण एक सरल ग्राफ $G$ और एक प्राकृतिक पूर्णांक $k$ ।

क्या कोई सेट जैसे कि और ?$S \subseteq V(G)$$G - S$$|S| \leq k$

मैं यह बताना चाहूंगा कि यह समस्या -3-SAT, -CLIQUE, -DOMINATING SET या -VERTEX COVER को कम करके।$\rm{NP}$$k$$k$$k$

मेरा मानना ​​है कि मैं 3-रंग की समस्या को कम कर सकता हूं, इसलिए मुझे केवल यह देखना होगा कि इसमें उल्लिखित समस्याओं में से एक को कैसे कम किया जाए। लेकिन जब से यह गड़बड़ हो जाएगा मैं सोच रहा था कि किसी को उपरोक्त समस्याओं के लिए एक सुरुचिपूर्ण कमी दिखाई देती है।

इसके अलावा, क्या इस निर्णय की समस्या का कोई नाम है?

Comments

विषम चक्र संचलन ।

— पाएल जीडी

यह प्रतिक्रिया शीर्ष सेट के समान लगता है । यही है, आप इस तरह के हटाने के लिए कोने के न्यूनतम उपसमुच्चय को ढूंढना चाहते हैं ताकि परिणामस्वरूप ग्राफ एसाइक्लिक हो। एक चक्रीय ग्राफ एक पेड़ (या जंगल) की परिभाषा है जो द्विदलीय है।

— निकोलस मंचुसो

@ निचलोलस मंसुको ऐसा नहीं है। यह वास्तव में जैसा कि मैं ऊपर कहता हूं, ऑड साइकल ट्रांसवर्सल समस्या है। या जैसा कि वॉर बताते हैं, 70 और 80 के दशक में यानाकिस द्वारा बिपर्टाइट नोड (या वर्टेक्स) विलोपन कहा जाता था।

— पाएल जीडी

@ PålGD, मैं सहमत हूं। मुझे लगा कि सबसे आसान कमी FVS से होगी। हालाँकि, इसे अनावश्यक रूप से ऑड साइकिल ट्रान्सवर्सल के रूप में परिभाषित किया गया है।

— निकोलस मंचुसे

@Jernej: यदि आप कहते हैं कि "... मैं दिखाने के लिए कि इस समस्या है चाहते हैं एनपी में या तो इसे कम करने के द्वारा करने के लिए 3-सैट, k-गुट, ..."। क्या आपका मतलब है "मैं यह दिखाना चाहूंगा कि यह समस्या 3-सैट, के-क्लिक्व, ..." से कमी का उपयोग करते हुए एनपी-हार्ड है ? (समस्या एनपी में स्पष्ट रूप से है क्योंकि परीक्षण अगर एक ग्राफ द्विदलीय रैखिक समय में किया जा सकता है)

— वोर

Answer 1

आपकी समस्या नोड-विलोपन समस्याओं नामक समस्याओं के व्यापक वर्ग का एक विशेष मामला है :

जेएम लुईस और एम। यानाकिस, "वंशानुगत गुणों के लिए नोड-विलोपन समस्या एनपी-पूर्ण है"

... यह पेपर निम्नानुसार परिभाषित ग्राफ़ की समस्याओं के वर्ग से संबंधित है:
एक निश्चित ग्राफ़ संपत्ति के लिए , नोड्स (या कोने) की न्यूनतम संख्या ढूंढें, जिसे किसी दिए गए ग्राफ़ G से हटा दिया जाना चाहिए ताकि परिणाम ies को संतुष्ट करे । हम इस फोन नोड विलोपन समस्या के लिए Π । हमारे परिणाम बताते हैं कि अगर Π एक है nontrivial संपत्ति जो है वंशानुगत प्रेरित subgraph पर है, तो के लिए नोड विलोपन समस्या Π एनपी कठिन है। इसके अलावा, हम शर्त यह है कि के लिए परीक्षण जोड़ने Π बहुपद समय में किया जा सकता है, तो हमारे परिणाम मतलब है कि के लिए नोड विलोपन समस्या$\Pi$$G$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$ एनपी-पूर्ण है। ...$\Pi$

आपकी समस्या द्विध्रुवीयता के लिए नोड विलोपन समस्या है , लेकिन (जैसा कि पाल ने नोट किया है), इसे आज ओड चक्र चक्रवात (OCT) समस्या के रूप में जाना जाता है।

संपादित करें

प्रत्यक्ष कमी का क्या संबंध है, इसके बारे में मैंने 3SAT से सोचा।

साथ 3SAT का एक उदाहरण को देखते हुए चर और मीटर खंड, निम्नलिखित ग्राफ का निर्माण: जोड़ने के दो नोड्स x मैं , ¯ x मैं प्रत्येक चर और उन दोनों के बीच एक बढ़त के लिए। एक सत्य असाइनमेंट का अनुकरण करने के लिए, प्रत्येक चर x i के लिए n + 1 नोड्स जोड़ें और उन्हें x i और ¯ x i दोनों से कनेक्ट करें ; इस तरह से, क्रम में अधिक से अधिक एक द्विपक्षीय ग्राफ हटाने बनाने के लिए n नोड्स के बीच कम से कम एक, एक्स मैं और ¯ x मैं से हटाना होगा। अंत में प्रत्येक खंड के लिए$n$$m$$x_i, \overline{x_i}$$n+1$$x_i$$x_i$$\overline{x_i}$$n$$x_i$$\overline{x_i}$ 4 नोड्स जोड़ते हैं और एक विषम चक्र बनाते हैं जो C j में वेरिएबल्स को जोड़ता है।$C_j$$C_j$

परिणामी ग्राफ़ ज्यादा से ज्यादा द्विपक्षीय हटाने बनाया जा सकता है n नोड्स यदि और केवल यदि मूल 3SAT सूत्र संतुष्टि योग्य है।$G$$n$

Comments

यह वास्तव में सवाल का जवाब नहीं है। ओपी दी गई समस्या का उपयोग करके स्पष्ट रूप से कम करना चाहते हैं। इसके अलावा, इस समस्या को आज ऑड साइकल ट्रांसवर्सल के रूप में जाना जाता है।

— पाएल जीडी

@ PålGD: आप सही कह रहे हैं।

— वॉर

हाँ, लेकिन मैं तुरंत ओपी की समस्याओं की सूची से कमी नहीं देख सकता, हालांकि ... मुझे केवल आपके द्वारा उल्लेख किए गए यान्नकिस द्वारा पता है।

— पाएल जीडी

@ PålGD: मैं एक अलग कमी के बारे में सोचूंगा, लेकिन ईमानदार होने के लिए मुझे यकीन नहीं है कि ओपी क्या चाहता है (मेरी टिप्पणी देखें)।

— वोर

@ मैं जो चाहता हूं, वह है कि उल्लेखित समस्याओं में से एक से एक सरल कमी को देखना। यह लेख मेरे लिए जाना जाता है, लेकिन मैं सबसे प्रत्यक्ष कमी के लिए देख रहा हूं।

— जेरनेज