श्रेणी के सिद्धांत से क्या मतलब है कि अभी तक उच्च-क्रम के कार्यों से कैसे निपटना है?

पढ़ने में उदय रेड्डीज जवाब करने के लिए क्या एसएमएल में functors और श्रेणी सिद्धांत के बीच संबंध है? उदय बताता है

श्रेणी सिद्धांत अभी तक नहीं जानता है कि उच्च-क्रम के कार्यों से कैसे निपटना है। किसी दिन, यह होगा।

जैसा कि मैंने सोचा था कि श्रेणी सिद्धांत गणित के लिए एक आधार के रूप में सेवा करने में सक्षम था, फिर गणित और उच्च-क्रम के सभी कार्यों को प्राप्त करना संभव होना चाहिए।

तो, श्रेणी सिद्धांत से क्या मतलब है अभी तक नहीं पता है कि उच्च-क्रम के कार्यों से कैसे निपटें? क्या गणित के लिए नींव के रूप में श्रेणी सिद्धांत पर विचार करना मान्य है?

functional-programming category-theory

— गाइ कोडर
स्रोत

यह चर्चा cstheory.stackexchange.com के लिए एकदम सही होगी ।

— मार्टिन बर्गर

जवाबों:

उच्च-क्रम के कार्यों के साथ समस्या राज्य के लिए पर्याप्त सरल है।

जैसा एक प्रकार-निर्माण एक फ़नकार नहीं है। इसे होना चाहिए था। $T(X) = [X \to X]$
जैसे बहुरूपी कार्य एक प्राकृतिक परिवर्तन नहीं है। इसे होना चाहिए था। ${\it twice}_X : T(X) \to T(X) = \lambda f.\, f \circ f$

यदि आप ईलेनबर्ग और मैकलेन के मूल श्रेणी के सिद्धांत पेपर , (पीडीएफ) को पढ़ते हैं , तो वे उन मामलों को कवर करते हैं। लेकिन उनका सिद्धांत नहीं है। उनके लिए 1945 का एक बेहतरीन पेपर था ! लेकिन, आज, हमें और अधिक की आवश्यकता है।

इन मुद्दों पर श्रेणी सिद्धांतकारों की प्रतिक्रिया थोड़ी सी चिंताजनक है। वे कार्य करते हैं जैसे कि उच्च-क्रम संचालन एक कंप्यूटर विज्ञान विचार बनाते हैं; वे गणित के लिए कोई परिणाम नहीं हैं। यदि ऐसा है, तो कंप्यूटर विज्ञान की नींव के लिए गणित की नींव अच्छी नहीं होगी।

लेकिन मैं गंभीरता से ऐसा नहीं मानता। मेरा मानना है कि गणित के साथ-साथ उच्चतर कार्य भी काफी महत्वपूर्ण होंगे। लेकिन उनकी गंभीरता से खोजबीन नहीं की गई है। मुझे उम्मीद है कि, किसी दिन, उनका पता लगाया जाएगा और श्रेणी सिद्धांत की सीमाओं को महसूस किया जाएगा।

— उदय रेड्डी
स्रोत

यह आश्चर्यजनक है कि वे उच्च-क्रम के कार्यों को दिलचस्प नहीं मानते हैं, उच्च-आयामी बीजगणित, एन-श्रेणी के सिद्धांत और इस तरह की खोज करते समय वे गहराई तक जाते हैं। तुलनात्मक रूप से, उच्च क्रम वाले कार्य इतने डाउन-टू-अर्थ लगते हैं। खासकर, अगर उस धरती में हास्केल कार्यक्रम शामिल हैं।

— डेव क्लार्क

@DaveClarke। मुझे लगता है कि वे जो देखना चाहेंगे, वह एक जबरदस्त उदाहरण है जैसे कि इलेनबर्ग और मैकलेन से शुरू होता है। सभी

-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस एक-दूसरे के लिए आइसोमॉर्फिक हैं। : तो, एक वेक्टर अंतरिक्ष अपनी ही दोहरी isomorphic को है

। हालांकि, ये आइसोमोर्फिम्स "प्राकृतिक" नहीं हैं। (वे विशेष ठिकानों का उपयोग करें - "प्रतिनिधित्व पर निर्भर" हमारे बात में।) दूसरी ओर समाकृतिकता

"प्राकृतिक", सभी ठिकानों के लिए उसी तरह काम करता है। एक श्रेणी थ्योरी 2.0 के लिए पूछने के लिए, हमें एक समान हत्यारा उदाहरण की आवश्यकता है!

n

$n$

A ≅ A^{*}

$A \cong A^*$

A ≅ A^{* *}

$A \cong A^{**}$

— उदय रेड्डी

@DaveClarke। सामान्य गणित में क्या होता है कि गणितज्ञ बहुत चतुराई से उच्च-क्रम की चीजों को पहले-क्रम की संरचनाओं में कम कर देते हैं। उदाहरण के लिए, मैंने जो

टाइप किया है, वह सिर्फ एक मोनॉयड है, जिसका गुणन पहले क्रम का ऑपरेशन है। यदि आप अपने रेखीय बीजगणित को याद करते हैं, तो रैखिक परिवर्तन

को सदिश स्थान में बदल दिया जाता है, और फिर इसके सभी संचालन पहले क्रम में हो जाते हैं। ऑटोमेटा सिद्धांत (कंप्यूटर विज्ञान फिर से) पहला स्थान हो सकता है जहां यह चाल काम नहीं करती थी। यदि इलेनबर्ग के पास 10 साल का सक्रिय जीवन था, तो वह समस्या पर पहुंच सकता था।

T (X)

$T(X)$

A \to B

$A \to B$

— उदय रेड्डी

+1 यह वाकई दिलचस्प है। क्या आप किसी ऐसे संदर्भ को जानते हैं जो इन मुद्दों पर आगे चर्चा करता है?

— केवह

λ

$\lambda$

π

$\pi$

π

$\pi$

[यह दूसरा उत्तर "श्रेणी थ्योरी 2.0" की एक रूपरेखा प्रस्तुत करता है, जो उच्च-क्रम के कार्यों को ठीक से करता है, जैसा दिख सकता है।]

हम लंबे समय से जानते हैं कि उनके बारे में तर्क करने में उच्च-क्रम के कार्यों से कैसे निपटना है।

जब एक बीजीय संरचना में उच्च-क्रम के संचालन होते हैं, तो होमोमोर्फिम्स काम नहीं करते हैं। हमें इसके बजाय तार्किक संबंधों का उपयोग करना चाहिए । दूसरे शब्दों में, हमें " संरचना को संरक्षित करने वाले कार्यों " से " संरचना को संरक्षित करने वाले संबंध " को स्थानांतरित करना होगा ।
उच्च-क्रम के प्रकारों पर "वर्दी" या "एक साथ दिए गए" परिवर्तनों के बारे में बात करने के लिए, स्वाभाविकता काम नहीं करती है। हमें इसके स्थान पर संबंधपरक समालोचना का उपयोग करना चाहिए । दूसरे शब्दों में, हमें सभी तार्किक संबंधों को संरक्षित करने वाले "परिवारों को सभी आकारिकी को संरक्षित करने वाले" परिवारों से आगे बढ़ना चाहिए "।
$\to$

इन मुद्दों पर एक त्वरित परिचय पीटर ओ'हेयर के अनुभाग में "रिलेशनल पैरामीट्रिकिटी" पर है, जो कि डोमेन और डेनोटेशनल सेमेंटिक्स : हिस्ट्री, अकॉमप्लिशमेंट और ओपन प्रॉब्लम्स (CiteSeerX) में है ।

"श्रेणी थ्योरी 2.0" के निर्माण का पहला प्रयास ओ'हर्ने और टेन्नेन्ट की पैरामीट्रिकिटी और लोकल वेरिएबल्स (CiteSeerX) में है ।
ब्रायन डनफी की पीएचडी थीसिस: रिफ्लेक्टिव ग्राफ्स (CiteSeerX) में एकरूपता की धारणा के रूप में समरूपता उनके ढांचे पर निर्मित होती है और पैरामीट्रिकिटी परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यक रिलेशनल संरचना को स्वयंसिद्ध करती है। मैं सभी मुद्दों का एक अच्छा अवलोकन प्राप्त करने के लिए डंपी की थीसिस की सिफारिश करूंगा।
पूर्णता के लिए, मुझे क्लाउडियो हर्मिडा की पीएचडी थीसिस का भी उल्लेख करना चाहिए: कंपन, लॉजिकल प्रेडिक्ट्स और इंडिटर्मेट (पीडीएफ) , जो एक श्रेणी सिद्धांतिक सेटिंग में तार्किक संबंधों का अध्ययन करने वाला पहला था, लेकिन ज्यादातर लोगों के लिए यह उपचार शायद तकनीकी भी है।

मैं यह भी जोड़ सकता हूं कि राज्य के बारे में तर्क उच्च स्तर के कार्यों को प्रमुखता से दिखाता है। ऑटोमेटा-सिद्धांतकार यह पहचानने वाले पहले व्यक्ति थे कि होमोमोर्फिम्स सही ढंग से काम नहीं करते हैं, एक ऐतिहासिक कागज में जिसे ऑटोमेटा के उत्पाद और कवरिंग की समस्या कहा जाता है । उन्होंने तार्किक संबंधों को संदर्भित करने के लिए "कमजोर समलैंगिकता" और "संबंधों को ढंकने" जैसे शब्दों का इस्तेमाल किया। नियत समय में, "सिमुलेशन" और "बिसिमुलेशन" जैसे शब्दों का उपयोग उनके संदर्भ के लिए किया गया था। Davide Sangiorgi का सर्वेक्षण लेख: Bisimulation और Coinduction की उत्पत्ति पर यह प्रारंभिक इतिहास और अधिक शामिल है।

विशेष रूप से अनिवार्य प्रोग्रामिंग में, राज्य के बारे में तर्क देने में बार-बार फसलों के संबंध में तर्क की आवश्यकता । बहुत कम लोग ध्यान देते हैं कि विनम्र "अर्धविराम" एक उच्च-क्रम ऑपरेशन है। इसलिए, आप उच्च-क्रम के कार्यों से निपटने के बारे में जानने के बिना अनिवार्य कार्यक्रमों के बारे में सोचने से नहीं हट सकते। हम गलत धारणा में राज्य और अनिवार्य प्रोग्रामिंग के मुद्दों की अनदेखी करते हैं कि गणित के सभी उत्तर हैं। इसलिए, अगर गणितज्ञ राज्य नहीं समझते हैं, तो यह अच्छा नहीं होना चाहिए! सच्चाई से आगे कुछ भी नहीं हो सकता है। राज्य कंप्यूटर विज्ञान के केंद्र में है। हम लोगों को राज्य के साथ व्यवहार करने के तरीके दिखाते हुए सामान्य रूप से विज्ञान को आगे बढ़ाएंगे!

— उदय रेड्डी
स्रोत

@GuyCoder, मुझे लगता है कि अच्छा विचार है। वैसे, मुझे लगता है कि यह और विषय थ्योरेटिकल कंप्यूटर साइंस के लिए भी विषय पर होगा यदि आप इसे वहां पोस्ट करना पसंद करेंगे।

— केवह

उदय के साथ सांठगांठ के बाद, इस दूसरे उत्तर के लिए एक नया प्रश्न विशेष रूप से नहीं पूछा जाएगा। :)

— गाइ कोडर

राज्य सापेक्ष है।

— शेल्बी मूर तृतीय