क्या एनपी-पूर्ण समस्याओं के लिए सब-एक्सपोनेंशियल-टाइम एल्गोरिदम हैं?

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क्या एनपी-पूर्ण समस्याएं हैं जो कि सब-एक्सपोनेंशियल-टाइम एल्गोरिदम साबित हुई हैं?

मैं सामान्य केस इनपुट्स के लिए कह रहा हूं, मैं यहां ट्रैकेबल विशेष मामलों के बारे में बात नहीं कर रहा हूं।

उप-घातांक से मेरा मतलब है कि बहुपद से ऊपर की वृद्धि का क्रम, लेकिन घातांक से कम, उदाहरण के लिए $n^{\log n}$ ।

— KSB
स्रोत

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"उप-घातांक" से आपका क्या तात्पर्य है? यदि आपका मतलब , तो इसका जवाब निश्चित रूप से हां है। यदि आपका मतलब , तो मेरा मानना है कि उत्तर नहीं है।

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— जेफ

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आप उपसर्गों से क्या मतलब है पर निर्भर करता है। नीचे मैं "सबस्पेक्शनल" के कुछ अर्थ समझाता हूं और प्रत्येक मामले में क्या होता है। इनमें से प्रत्येक वर्ग इसके नीचे की कक्षाओं में निहित है।

I. $2^{n^{o(1)}}$

यदि उपप्राण के द्वारा आप का अर्थ करते हैं , तो ETH (एक्सपोनेंशियल टाइम हाइपोथीसिस) नामक जटिलता सिद्धांत में एक अनुमान है कि no समस्या में रनिंग-टाइम के साथ एल्गोरिथ्म हो सकता है । $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$

ध्यान दें कि यह वर्ग बहुपद के साथ रचना के तहत बंद है। अगर हमारे पास किसी भी समस्या के लिए एक उपसंचालक समय एल्गोरिथ्म है, तो हम इसे एक बहुपद-समय में कमी के साथ जोड़ सकते हैं SAT से इसमें 3SAT के लिए एक उपप्रकारात्मक एल्गोरिथ्म प्राप्त कर सकते हैं जो ETH का उल्लंघन करेगा। $\mathsf{NP}$

द्वितीय। , यानी सभी के लिए $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

स्थिति पिछले एक के समान है।

यह बहुपदों के तहत बंद है, इसलिए इस समय में ETH के उल्लंघन के बिना no समस्या को हल किया जा सकता है। $\mathsf{NP}$

तृतीय। , यानी के लिए कुछ $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

यदि उपप्राण के द्वारा आप अर्थ कुछ तो इसका उत्तर है हां, इस तरह की समस्याएं हैं। $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$

एक समस्या जैसे SAT लें। इसमें एक जानवर बल एल्गोरिथ्म है जो समय में चलता है । अब इनपुट में स्ट्रिंग का आकार जोड़कर सैट के गद्देदार संस्करण पर विचार करें : $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

S A T^{'} = {⟨ φ, w ⟩ ∣ φ \in S A T and | w | = | φ |^{k}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

अब यह समस्या और इसे में हल किया जा सकता है । $\mathsf{NP}$ $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

चतुर्थ। $2^{o(n)}$

इसमें पिछली कक्षा शामिल है, उत्तर समान है।

वी , यानी के लिए सभी $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

इसमें पिछली कक्षा शामिल है, उत्तर समान है।

छठी। , यानी के लिए कुछ $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

इसमें पिछली कक्षा शामिल है, उत्तर समान है।

उपप्राण क्षमता का क्या अर्थ है?

"पॉलीओनोमियल के ऊपर" एक ऊपरी-बाउंड नहीं है बल्कि एक निचली-बाउंड है और इसे सुपरपोलिनोमियल के रूप में संदर्भित किया जाता है ।

जैसे कार्यों को क्सिपोलिनोमियल कहा जाता है , और जैसा कि नाम इंगित करता है कि लगभग बहुपद हैं और घातांक होने से बहुत दूर हैं, उप-प्रचालन क्षमता का उपयोग आमतौर पर बहुत तेज विकास दर के साथ कार्यों के एक बड़े वर्ग को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। $n^{\lg n}$

जैसा कि नाम से संकेत मिलता है, "सबपोनेक्शनल" का अर्थ है घातीय की तुलना में धीमा । घातांक से हमारा मतलब आमतौर पर कक्षा , या अच्छे वर्ग (जो बहुपद के साथ रचना के तहत बंद होता है) में होता है। $2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

Subexponetial इन के करीब होना चाहिए लेकिन छोटा। ऐसा करने के विभिन्न तरीके हैं और एक मानक अर्थ नहीं है। हम घातांक की दो परिभाषाओं में को बदल सकते हैं और I और IV प्राप्त कर सकते हैं। उनके बारे में अच्छी बात यह है कि उन्हें समान रूप से परिभाषित किया गया है ( पर कोई क्वांटिफायर नहीं )। हम सभी लिए गुणक गुणांक साथ को प्रतिस्थापित कर सकते हैं , हमें II और V मिलते हैं। I और IV के करीब हैं, लेकिन गैर-समान रूप से परिभाषित हैं। अंतिम विकल्प कुछ लिए गुणक स्थिर साथ को प्रतिस्थापित करना है । यह II और VI देता है। $\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

जिसे उपप्राणनीय कहा जाना चाहिए वह तर्क संगत है। आमतौर पर लोग अपने काम में अपनी जरूरत के सामान का इस्तेमाल करते हैं और इसे उपप्रकार के रूप में संदर्भित करते हैं।

मैं अपनी व्यक्तिगत पसंद हूं, यह एक अच्छा वर्ग है: यह बहुपद के साथ रचना के तहत बंद है और इसे समान रूप से परिभाषित किया गया है। यह समान है जो । $\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

II को जटिलता वर्ग की परिभाषा में उपयोग किया जाता है । $\mathsf{SubExp}$

III का उपयोग एल्गोरिथम ऊपरी सीमा के लिए किया जाता है, जैसे पाल के उत्तर में उल्लिखित हैं।

IV भी आम है।

V का उपयोग ETH अनुमान बताने के लिए किया जाता है।

एल्गोरिदम ( द्वितीय और वी ) एल्गोरिथम ऊपरी सीमा के लिए उपयोगी नहीं हैं, उनका मुख्य उपयोग जटिलता सिद्धांत लगता है। व्यवहार में, आप I और II के बीच या IV और V के बीच अंतर नहीं देखेंगे । IMHO की बाद की तीन परिभाषा ( IV , V , VI ) बहुत संवेदनशील हैं, वे विशेष समस्याओं के लिए उपयोगी हो सकती हैं, लेकिन वे मजबूत नहीं हैं जो कक्षाओं के रूप में उनकी उपयोगिता कम हो जाती हैं। मज़बूती और अच्छी क्लोजर प्रॉपर्टीज का एक कारण है कि प्रसिद्ध जटिलता वर्ग जैसे , , , $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSpace}$ , और दिलचस्प हैं। $\mathsf{Exp}$

ग्रीष्मकालिन

IMHO, मुख्य परिभाषाएँ I और III हैं । हमारे पास III के अर्थ में समस्याओं के लिए पहले से ही उपसंचाई एल्गोरिदम हैं और हम ETH का उल्लंघन किए बिना I के अर्थ में उन्हें नहीं कर सकते । $\mathsf{NP}$

— कावेह
स्रोत

7

यह उत्तर विकिपीडिया पर जाना चाहिए।

— एरेल सहगल-हलेवी

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बस कुछ को सूचीबद्ध करने के लिए, सभी कम या ज्यादा या : $2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

टूर्नामेंटों पर प्रतिक्रिया आर्क सेट [नोगा अलोन, डैनियल लोकशतनोव, साकेत सौरभ, एएलपी 2009]
न्यूनतम भरण- पोषण और श्रृंखला पूर्णता [Fomin और Villanger Soda 2012]
स्प्लिट एज डिलीट [घोष एट अल स्वाट 2012]
क्लस्टर के साथ क्लस्टर संपादन $t$ [Fomin et al STACS 2013]
द्वि-आयामी समस्याओं के बहुत सारे, बंधे हुए जीनस ग्राफ और विशेष रूप से प्लानेर ग्राफ पर विभिन्न ग्राफ की समस्याएं (देखें डिमाइन, फोमिन, हाजीगाय, थैलिकोस: बाउंडेड-जीनस और एच-माइनर-फ्री ग्राफ के ग्राफ पर Subexponential पैरामीटरित एल्गोरिदम )
प्लानर ग्राफ [पिलिपिचुक एट अल STACAC 2013] पर स्टेनर ट्री के लिए Subexponential-Time Parameterized एल्गोरिथम
त्रैमासिक पूर्ण समापन, थ्रेसहोल्ड पूर्णता और स्यूडोसप्लिट पूर्णता [डी। एट अल STACS 2014]
अंतराल समापन [ब्लिज़नेट एट अल]
उचित अंतराल पूर्णता [ब्लिज़नेट एट अल]

— Pål जी.डी.
स्रोत

1

2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

क्या एनपी-पूर्ण समस्याओं के लिए सब-एक्सपोनेंशियल-टाइम एल्गोरिदम हैं?

I.2no(1)2no(1)2^{n^{o(1)}}

द्वितीय। , यानी सभी के लिए 2 हे ( एन ε ) 0 < ε⋂0<ϵ2O(nϵ)⋂0<ϵ2O(nϵ)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} 0<ϵ0<ϵ0 < \epsilon

तृतीय। , यानी के लिए कुछ 2 हे ( एन ε ) ε < 1⋃ϵ<12O(nϵ)⋃ϵ<12O(nϵ)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} ϵ<1ϵ<1\epsilon < 1

चतुर्थ। 2o(n)2o(n)2^{o(n)}

वी , यानी के लिए सभी 2 ε n ε > 0⋂0<ϵ2ϵn⋂0<ϵ2ϵn\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ>0ϵ>0\epsilon>0

छठी। , यानी के लिए कुछ 2 ε n ε < 1⋃ϵ<12ϵn⋃ϵ<12ϵn\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ<1ϵ<1\epsilon<1

उपप्राण क्षमता का क्या अर्थ है?

I. $2^{n^{o(1)}}$

द्वितीय। , यानी सभी के लिए $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

तृतीय। , यानी के लिए कुछ $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

चतुर्थ। $2^{o(n)}$

वी , यानी के लिए सभी $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

छठी। , यानी के लिए कुछ $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$