कम्प्यूटेशनल वाले की तुलना में अधिक गैर-कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन क्यों हैं?

मैं वर्तमान में एल्गोरिदम और जटिलता में एक पुस्तक पढ़ रहा हूं। फिलहाल, मैं कंप्युटेबल और नॉन-कंप्युटेबल फंक्शंस के बारे में पढ़ रहा हूं, और मेरी किताब बताती है कि ऐसे कई और फंक्शन हैं, जो कंप्युटेबल से नॉन-कंप्युटेबल हैं, वास्तव में यह नॉन-कंप्युटेबल है। कुछ अर्थों में मैं सहज रूप से इसे स्वीकार कर सकता हूं लेकिन पुस्तक औपचारिक प्रमाण नहीं देती है और न ही इस विषय पर अधिक विस्तार से बताती है।

मैं बस एक प्रमाण देखना चाहता था / यहाँ किसी को इसके बारे में विस्तार से बताने / अधिक सख्ती से समझने की आवश्यकता है कि कम्प्यूटेशनल लोगों की तुलना में बहुत अधिक गैर-कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन क्यों हैं।

computability turing-machines combinatorics

— hsalin
स्रोत

दो अनंत सेटों की तुलना करते समय, "अधिक" के शब्दार्थ को संशोधित करना होगा।

— राफेल

जवाबों:

हैं गणनीय कई गणनीय कार्य:

प्रत्येक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन में कम से कम एक एल्गोरिथ्म होता है। प्रत्येक एल्गोरिथ्म में एक परिमित सेट से प्रतीकों का उपयोग करके एक परिमित विवरण होता है, उदाहरण के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हुए द्विआधारी तार । द्वारा निरूपित परिमित बाइनरी स्ट्रिंग्स की संख्या गिनने योग्य है (अर्थात प्राकृतिक संख्याओं की संख्या )। $\{0,1\}$ $\{0,1\}^*$ $\mathsf{N}$

इसलिए सबसे अधिक गणना योग्य कार्यों में सबसे अधिक हो सकता है । कर रहे हैं कम से कम प्रत्येक के लिए के बाद से गणनीय कई गणनीय समारोह , निरंतर समारोह गणना कर सका है। $c\in \{0,1\}^*$ $f(x)=c$

दूसरे शब्दों में, इसके बीच एक पत्राचार है:

कम्प्यूटेशनल कार्यों का सेट,
एल्गोरिदम का सेट,
$\{0,1\}^*$ , से परिमित तार का सेट , और $\{0,1\}$
$\mathbb{N}$ , प्राकृतिक संख्याओं का समूह।

दूसरी ओर, स्ट्रिंग्स (या प्राकृतिक संख्या) पर बेशुमार कार्य होते हैं। एक फ़ंक्शन (या ) प्रत्येक इनपुट के लिए एक मान प्रदान करता है। इनमें से प्रत्येक मूल्यों को दूसरों से स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। इसलिए संभव फ़ंक्शन हैं। प्राकृतिक संख्याओं पर कार्यों की संख्या वास्तविक संख्याओं के बराबर होती है। $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}=2^\mathbb{N}$

चूँकि केवल बहुत से कार्यों में गणना की जाती है, उनमें से अधिकांश नहीं हैं। वास्तव में असंगत कार्यों की संख्या भी । $2^{\mathbb{N}}$

यदि आप इसे सहज रूप से चित्रित करना चाहते हैं, तो प्राकृतिक संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के बारे में सोचें, या परिमित बाइनरी स्ट्रिंग्स और अनंत बाइनरी स्ट्रिंग्स के बारे में सोचें। प्राकृतिक संख्याओं और परिमित तारों की तुलना में अधिक वास्तविक संख्या और अनंत द्विआधारी तार हैं। दूसरे शब्दों में (इस तथ्य के प्रमाण के लिए कैंटर के विकर्ण तर्क और कार्डिनल अंकगणित देखें )। $\mathbb{N} < 2^\mathbb{N}$

— कावेह
स्रोत

अच्छा उत्तर! मेरी समझ में नहीं आ रहा है (मैं यहां कुछ तुच्छ याद कर रहा हूं) आप कैसे ?

N^{N} = 2^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N} = 2^\mathbb{N}$

— hsalin

यह कार्डिनल अंकगणित है। प्राकृतिक संख्याओं को बाइनरी में प्राकृतिक संख्याओं के अनंत अनुक्रम में लिखें, जो अंतर्ज्ञान देना चाहिए।

— केव

यह धारणा सच क्यों है - "प्रत्येक एल्गोरिथ्म में एक परिमित सेट से प्रतीकों का उपयोग करके एक बारीक वर्णन है"? एक एल्गोरिथ्म में अनंत विवरण क्यों नहीं हो सकता है?

— रोलैंड पिहलकास

@ रोलैंडपिलकस जो एक एल्गोरिथ्म की परिभाषा का हिस्सा है (यदि आप चाहें, तो एक कंप्यूटर प्रोग्राम)।

— केव

यहाँ बेशुमार गैर-कम्प्यूटेशनल बूलियन कार्यों का "स्पष्ट" निर्माण किया गया है। बता दें कि कुछ निश्चित गैर-संगणनीय बूलियन फ़ंक्शन है, जिसे हॉल्टिंग समस्या की विशेषता कहा जाता है। कार्यों के सेट पर विचार करें प्रत्येक _ गैर-संगणनीय है, और बेशुमार है। $K$

F = {f : N \to {0, 1} : \forall x \in N, f (2 x) = K (x)} .

$F = \{ f \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \forall x \in \mathbb{N}, f(2x) = K(x) \}.$

f \in F

$f \in F$

F

$F$

कम्प्यूटेशनल कार्यों के साथ एक समान निर्माण होता है। एक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन को देखते हुए , दूसरे शब्दों में, यदि यह से भिन्न रूप से कई मानों में भिन्न होता है । में सभी कार्य कम्प्यूटेशनल हैं (हार्ड-कोड बहुत सारे अंतर हैं)। पिछली स्थिति के विपरीत, गणनीय है। $R$

G = {g : N \to {0, 1} : \exists n \in N \forall m \geq n, g (m) = R (m) .}

$G = \{ g \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \exists n \in \mathbb{N} \forall m \geq n, g(m) = R(m). \}$

g \in G

$g \in G$

R

$R$

G

$G$

G

$G$

इसलिए गैर-कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन बहुत सारे हैं क्योंकि हमारे पास "असीम रूप से कई" स्वतंत्रता की डिग्री हैं - कम्प्यूटेशनल मामले में "संभावित" अनंत की बजाय वास्तविक अनंतता।

— युवल फिल्मस
स्रोत