वर्गों के अनूठे झुकाव

हम दो प्रकार की टाइलों का उपयोग करके -square को टाइल करना चाहते हैं : -square टाइल और -square टाइल जैसे कि प्रत्येक अंतर्निहित वर्ग ओवरलैपिंग के बिना कवर किया गया है। आइए हम एक फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं जो वर्ग और किसी भी संख्या का उपयोग करके सबसे बड़ा विशिष्ट वर्ग का आकार देता है और वर्ग की किसी भी संख्या । $m\times m$ $1 \times 1$ $2 \times 2$ $f(n)$ $n$ $1\times 1$ $2 \times 2$

क्या यह फ़ंक्शन कम्प्यूटेबल है? एल्गोरिथ्म क्या है?

EDIT1: स्टीवन के उत्तर के आधार पर, अनूठे टाइलिंग का अर्थ है कि m के पदों के लिए एक अद्वितीय कॉन्फ़िगरेशन के साथ एक अद्वितीय कॉन्फ़िगरेशन के साथ -ququare के अंदर -squares को रखने का एक तरीका है -square $2 \times 2$ $m \times m$ $n$ $1 \times 1$ $m \times m$

computability combinatorics

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

एक विशिष्ट टीलिंग को कैसे परिभाषित किया जाता है? उदाहरण के लिए, 4 सममित टिलिंग्स हो सकते हैं। वे अद्वितीय होंगे या नहीं?

— परेश

सममित झुकाव एक विन्यास के रूप में गिना जाता है।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टानी

का उपयोग करते हुए 1-दर-1 वर्गों या का उपयोग करते हुए अधिक से अधिक ? अन्यथा को हमेशा परिभाषित नहीं किया जाता है: आप किसी भी वर्ग को 2 1-बाय -1 टाइलों और 2-बाय -2 टाइलों की किसी भी संख्या के साथ टाइल नहीं कर सकते, क्योंकि क्षेत्र और 2 एक द्विघात अवशेष नहीं है। 4. समरूपता से क्या आपका तात्पर्य है ग्रुप ?

n

$n$

n

$n$

f

$f$

4 x + 2

$4x + 2$

D_{4}

$D_4$

— साशो निकोलेव

ठीक है। उन मामलों पर परिभाषित । मैं dihedral group D4 से परिचित नहीं हूँ।

f (n) = 0

$f(n)=0$

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टानी

मुझे डर है कि मैं अभी भी एक नुकसान में हूं - एक उदाहरण समझने में मदद करने की दिशा में एक लंबा रास्ता तय करेगा , शायद। दिए गए प्रश्न का उत्तर कैसे नहीं देता है?

— स्टीवन स्टडनिक

यहां टिप्पणियों में मेरी अटकलों को साबित करने के लिए एक तर्क दिया गया है कि किसी भी गैर-वर्ग लिए ऐसी कोई अनोखी झुकाव मौजूद नहीं है । सबसे पहले, जैसा कि टिप्पणियों में द्वारा उल्लेख किया गया है, को प्रतिबंधित किया जाना चाहिए, क्योंकि या यदि ऐसी कोई मौजूद नहीं है । यदि एक पूर्ण वर्ग तो स्पष्ट रूप से वर्ग विशिष्ट रूप से तुलनीय है, इसलिए इन मामलों में स्पष्ट रूप से परिभाषित और गैर-शून्य है। तर्क को पूरा करने के लिए, यह केवल यह दिखाना है कि कोई टाइलिंग जिसमें या अधिक टाइलें शामिल हैं, अद्वितीय हो सकती हैं। $n\gt 5$ $n$ $n\equiv2$ $3\pmod 4$ $n$ $n=k^2$ $k\times k$ $f(n)$ $1$ $2\times 2$

पहले, मामले पर विचार करें , कहें । हम एक के एक खपरैल है, तो वर्ग का उपयोग कर टाइल्स, स्पष्ट रूप से भी होना चाहिए, का कहना है कि ; फिर हम टाइलों के टाइलिंग का निर्माण कर सकते हैं और फिर चार टाइल्स के 'ब्लॉक' द्वारा इनमें से को बदल सकते हैं । यह स्पष्ट है कि विभिन्न प्रतिस्थापन हमेशा या को छोड़कर अलग-अलग झुकाव को जन्म दे सकते हैं जहाँ या तो एक ही $n\equiv 0\pmod 4$ $n=4k$ $m\times m$ $n\ 1\times 1$ $m$ $m=2j$ $j\times j$ $2\times2$ $k$ $1\times 1$ $m=4, n=12$ $m=4, n=4$ $2\times 2$ टाइल या एक 'चार ब्लॉक' बायीं ओर; इन मामलों में, हालांकि, एक अलग असमान टाइलिंग है, जो एक कोने के बजाय किनारे के बीच में टाइल लगाती है। $2\times 2$

अंत में, मान लीजिए , विशेष रूप से presume (और साथ थोड़ा तुच्छ मामले को रोकने के लिए जहां निम्न तर्क के माध्यम से वर्ग में बस 'पर्याप्त जगह नहीं' है )। फिर आकार का कोई वर्ग या उससे छोटा विशिष्ट नहीं हो सकता है: वर्ग के शीर्ष पर टाइल के साथ और वर्ग के दाईं ओर नीचे टाइल पर विचार करें (किसी भी अतिरिक्त टाइल के साथ) बस सही पक्ष पर टक - वे तर्क को प्रभावित नहीं कर सकते)। अब वर्ग के ऊपरी-बाएँ में 'ब्लॉक' ( शीर्ष पर दो टाइल से मिलकर और $n\equiv 1\pmod 4$ $n=4t+1$ $t\gt 1$ $(2t+1)^2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $2\times 3$ $1\times 1$ $2\times 2$ उनके नीचे टाइल) एक टाइलिंग का निर्माण करने के लिए 'फ़्लिप' किया जा सकता है जो आवश्यक रूप से हमारे द्वारा निर्मित टाइलिंग से अलग होगा। अंत में, से बड़े आकार का कोई वर्ग बिल्कुल भी टिकने योग्य नहीं हो सकता: मान लीजिए कि हम आकार के एक वर्ग को लिए टाइल करने का प्रयास कर रहे हैं ; फिर कबूतर के सिद्धांत से हम वर्ग पर से अधिक फिट नहीं हो सकते , जिसका अर्थ है कि वर्ग शेष - लेकिन चूंकि , , हमारे पास उपलब्ध टाइल की संख्या । $(2t+1)^2$ $(2s+1)^2$ $s\gt t$ $s^2\ 2\times 2$ $(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$ $s\gt t$ $4s+1\gt 4t+1=n$ $1\times 1$

इस प्रकार, लिए मौजूद एकमात्र विशिष्ट झुकाव वे हैं जो बिना किसी टाइलों का उपयोग करते हैं , और केवल गैर-शून्य है जब एक वर्ग है (जिस स्थिति में यह बराबर है) )। $n\gt 5$ $2\times 2$ $f(n)$ $n$ $\sqrt{n}$

— स्टीवन स्टैडनिक
स्रोत

चूँकि मैं उस भाग को ढूंढ रहा था जहाँ आपने 1 टाइल को 1 टाइल से दाईं ओर iffy (शायद बिना किसी कारण के लिए) में टक किया था, यहाँ उस मामले में थोड़ा अलग नज़र आता है जहाँ और वर्ग का आकार । ध्यान दें कि या । दोनों मामलों में वर्ग के लिए मोटाई 1 की सीमा बनाने के लिए 1 को 1 टाइल्स से लेता है । फिर हम 1 को 1 टाइल के साथ छोड़ देते हैं । अगर हमारे पास और आपने इससे निपटा है। अन्यथा हम पिछले पैराग्राफ में कम हो गए हैं।

n = 4 t + 1

$n = 4t + 1$

x^{2} < (2 t + 1)^{2}

$x^2 < (2t + 1)^2$

x \equiv 1

$x \equiv 1$

x \equiv 3 (\mod 4)

$x \equiv 3 \pmod 4$

2 x - 1 \equiv 1 (\mod 4)

$2x - 1 \equiv 1 \pmod 4$

n^{'} \equiv 0 (\mod 4)

$n' \equiv 0 \pmod 4$

n^{'} = 0

$n' = 0$

x = 2 t + 1

$x = 2t + 1$

— साशो निकोलेव

मान्य अद्वितीय टाइलिंग में दोनों प्रकार की टाइलों का उपयोग करना चाहिए। मेरे प्रश्न में इसे स्पष्ट रूप से न बताने के लिए क्षमा करें।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्तानी

@ MohammadAl-Turkistany स्टीवन ऊपर साबित करते हैं कि लिए ऐसी कोई अनोखी झुकाव मौजूद नहीं है । वास्तव में आपकी परिभाषा के अनुसार एकमात्र "मान्य" अद्वितीय टाइलिंग (एक 2-बाय -2 टाइल और 5 1-बाय -1 के "कोने" के लिए है)।

n > 5

$n>5$

n = 5

$n=5$

— सशो निकोलोव

@ अपने उत्तर के लिए धन्यवाद, विशिष्टता की आवश्यकता के बारे में मेरा कथन दिलचस्प नहीं है क्योंकि यह आसानी से कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन की ओर जाता है। क्या आपको लगता है कि यह तय करके तय किया जा सकता है कि हम अधिकतम वर्ग की पैक करते हैं जबकि पॉसिबलिया में से कुछ -squares को छोड़ दिया है? मेरी प्रेरणा एक साधारण दहनशील समस्या से अपूर्ण कार्य का निर्माण करना है।

2 \times 2

$2 \times 2$

m \times m

$m \times m$

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

@ सही, आपका उत्तर मूल प्रश्न को हल करता है लेकिन यह वास्तव में ऐसा नहीं है जिसने मुझे इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए प्रेरित किया। मुझे आशा है कि आप प्रश्न को संशोधित करके परेशान नहीं होंगे क्योंकि मैंने इसे प्रीवियस टिप्पणी में वर्णित किया था।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्तानी