क्यूबिक त्रिकोण-मुक्त रेखांकन पर स्वतंत्र सेट

Question

मुझे पता है कि क्यूबिक त्रिकोण-मुक्त ग्राफ़ पर अधिकतम स्वतंत्र सेट एनपी-पूर्ण है।

यह अभी भी एन पी-सम्पूर्ण मामले में हम स्वतंत्र सेट की आवश्यकता है वास्तव में आकार का होना ?$|V|/2$

मूल रूप से, क्यूबिक त्रिकोण-मुक्त रेखांकन समस्या पर स्वतंत्र सेट समस्या का हां उदाहरण बिल्कुल होना चाहिए नोड्स। कोई उदाहरण से कम आकार का एक स्वतंत्र सेट है | वी | / २ ।$|V|/2$$|V|/2$

Comments

cs.stackexchange.com/questions/1176/… प्रासंगिक हो सकता है।

— लुइस

कोई उदाहरण क्या हैं?

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus वह समस्या पूछ रहा है $\alpha(G) = |G| / 2$ जहां ग्राफ का क्रम है। स्वतंत्रता संख्या को बढ़ावा देने के लिए ग्राफ पर कुछ अलग-अलग छोरों को पैड करना संभव होना चाहिए। मोहम्मद, क्या आप कमी जानते हैं? क्या वांछित कमी प्राप्त करने के लिए n / 2 - k को अलग-थलग जोड़ना संभव नहीं है ? $|G|$$n/2 - k$

— पाएल जीडी

नहीं, मेरे पास कमी नहीं है।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टेनी

@ PålGD कमी होगा काम नहीं, हमेशा की तरह समस्या पूछता है के बाद से है कि क्या के बजाय α ( जी ) = कश्मीर । वास्तव में, यह भी स्पष्ट नहीं है कि समस्या एनपी में है। $\alpha(G) \geq k$$\alpha(G) = k$

— युवल फिल्मस २०

Answer 1

आइए यह साबित करके शुरू करें कि अधिकतम स्वतंत्र सेट अधिकतम आकार का है । चलो मैं एक स्वतंत्र सेट हो। प्रत्येक शीर्ष v के लिए , α ( v ) I में उसके पड़ोसियों की संख्या होने दें । यदि α ( v ) ≥ 1 , तो हम जानते हैं कि वी ∉ मैं । चूंकि ग्राफ घन है, Σ वी α ( v ) = 3 | मैं | । चूंकि α ( v ) $|V|/2$$I$$v$$\alpha(v)$$I$$\alpha(v) \geq 1$$v \notin I$$\sum_v \alpha(v) = 3|I|$ , लंबों की संख्या ऐसी है कि α ( v ) vert 1 कम से कम है | मैं | । अत: | मैं | ≤ | वी | / २ ।$\alpha(v) \leq 3$$\alpha(v) \geq 1$$|I|$$|I| \leq |V|/2$

हम समानता कब कर सकते हैं? हम होना आवश्यक है , इसलिए प्रत्येक शिखर के लिए में नहीं रहा , अपने सभी पड़ोसियों में होना चाहिए मैं । रूपांतरण भी सत्य है - I में प्रत्येक शीर्ष के लिए , उसके सभी पड़ोसी I में नहीं हैं । दूसरे शब्दों में, ग्राफ को द्विदलीय होना चाहिए। यह बहुपद समय में जाँच की जा सकती है।$\alpha(v) \in \{0,3\}$$I$$I$$I$$I$

Comments

YuvalFilmus बहुत बहुत धन्यवाद। क्या यह मेरी समस्या के लिए बहुपद समय एल्गोरिथ्म देता है?

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

मुझे ऐसा लगता है - क्या आप सहमत हैं?

— युवल फिल्मस