निर्णय समस्याओं का अनुकूलन संस्करण

Question

यह ज्ञात है कि प्रत्येक अनुकूलन / खोज समस्या में एक समान निर्णय समस्या है। उदाहरण के लिए सबसे छोटी पथ समस्या

• ऑप्टिमाइज़ेशन / खोज संस्करण: एक अप्रत्यक्ष अनवैल्टेड ग्राफ और दो वर्टीकल , और बीच एक छोटा रास्ता ।$G = (V, E)$$v,u\in V$$v$$u$
• निर्णय संस्करण: एक अप्रत्यक्ष अनवैल्टेड ग्राफ , दो कोने हुए और एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक , क्या और बीच का एक पथ है, जिसकी लंबाई बीच सबसे अधिक है ?$G = (V, E)$$v,u\in V$$k$$G$$u$$v$$k$

सामान्य तौर पर, "खोज सेंट !" हो जाता है "वहाँ है x \ में एक्स सेंट f (x) \ Leq कश्मीर ?"।$x^*\in X$$f(x^*) = \min\{f(x)\mid x\in X\}$च ( $x\in X$$f(x) \leq k$

लेकिन क्या रिवर्स भी सच है, यानी हर निर्णय समस्या के लिए एक समान अनुकूलन समस्या है? यदि नहीं, तो एक निर्णय समस्या का क्या उदाहरण है जिसमें कोई समतुल्य अनुकूलन समस्या नहीं है?

Comments

क्या यह शून्य के बराबर है?

— जेफई

आपको "समतुल्य" को और अधिक विस्तार से समझाना होगा, जैसे कि क्या आपका मतलब है कि दूसरे को बहुपद समय (या लघुगणक अंतरिक्ष में) में एक ओरेकल / ब्लैकबॉक्स के रूप में उपयोग करके हल किया जा सकता है? क्या आप सभी समस्याओं या केवल sf {NP} के अंदर की समस्याओं की परवाह करते हैं $\sf{NP}$?

— केव

आपके दृष्टिकोण के आधार पर, प्रश्न या तो तुच्छ है (कोई भी निर्णय समस्या जिसमें " " नहीं है) या उत्तर देने योग्य नहीं है (यह कैसे साबित करें कि "कोई समान विकल्प नहीं है?")। $k$

— राफेल

Answer 1

जैसा कि टिप्पणियों में पहले ही कहा गया है, यह हमेशा की तरह परिभाषाओं पर निर्भर करता है। इसका उत्तर देने का मेरा प्रयास काफी कुछ परिभाषाओं की जरूरत है, इसलिए संक्षिप्त जवाब देने में असमर्थता का यह एक और उदाहरण होगा।

---

परिभाषा: एक अनुकूलन समस्या एक टपल है$(X,F,Z,\odot)$

• $X$ उपयुक्त रूप से एन्कोडेड (स्ट्रिंग्स) इंस्टेंस या इनपुट का सेट ।
• एक्स ∈ एक्स एफ ( एक्स ) $F$ एक समारोह है कि प्रत्येक उदाहरण के नक्शे है एक सेट करने के लिए के संभव समाधान की ।$x\in X$$F(x)$$x$
• $Z$ , एक ऐसा फंक्शन है जो प्रत्येक जोड़ी मैप करता है , जहां और , वास्तविक संख्या को का मान कहते हैं ।एक्स ∈ एक्स वाई ∈ एफ ( एक्स ) जेड ( एक्स , वाई ) $(x, y)$$x \in X$$y\in F(x)$$Z(x, y)$$y$
• न्यूनतम $\odot$ है अनुकूलन दिशा , या तो या ।$\min$$\max$

परिभाषा: अनुकूलन समस्या के उदाहरण का एक इष्टतम समाधान एक व्यवहार्य समाधान है , जिसके लिए । एक इष्टतम समाधान के मूल्य को साथ चिह्नित किया जाता है और इसे इष्टतम कहा जाता है ।पी ओ वाई ∈ एफ ( एक्स ) जेड ( एक्स , वाई ) = ⊙ { जेड ( एक्स , वाई ' ) | y ' ∈ एफ ( एक्स ) } हे पी टी ( एक्स $x\in X$$P_O$$y\in F(x)$$Z(x, y)=\odot\{Z(x, y')\mid y'\in F(x)\}$$Opt(x)$

परिभाषा: मूल्यांकन समस्या , निरूपित किया , अनुकूलन समस्या के लिए इसी निम्नलिखित है: एक उदाहरण को देखते हुए , गणना यदि सर्वोत्कृष्ट समाधान और आउटपुट "कोई इष्टतम समाधान" अन्यथा है।पी ओ एक्स ∈ एक्स ओ पी टी ( एक्स ) $P_E$$P_O$$x\in X$$Opt(x)$$x$

ध्यान दें कि यह सिर्फ इष्टतम समाधान के मूल्य के लिए पूछता है न कि पूरे समाधान को अपने सभी विवरणों के साथ।

परिभाषा: निर्णय समस्या , निरूपित किया अनुकूलन समस्या के लिए इसी पीछा कर रहा है: एक जोड़ी को देखते हुए , जहां और यह तय करें कि एक व्यवहार्य समाधान है ऐसे कि अगर और ऐसे अगर ।पी ओ ( एक्स , कश्मीर ) एक्स ∈ एक्स कश्मीर ∈ क्यू x y जेड ( एक्स , वाई ) ≤ कश्मीर ⊙ = मिनट जेड ( एक्स , वाई ) ≥ कश्मीर ⊙ = $P_D$$P_O$$(x, k)$$x\in X$$k\in\mathbb{Q}$$x$$y$$Z(x, y)\le k$$\odot=\min$$Z(x, y)\ge k$$\odot=\max$

एक पहला अवलोकन अब यह है कि । प्रमाण मुश्किल नहीं है और यहाँ छोड़ दिया गया है।$P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$

अब सहज और करने के लिए इसी की तुलना में कठिन नहीं हैं ही। औपचारिक रूप से इस भावना व्यक्त करने के लिए (और इस प्रकार को परिभाषित करने के लिए क्या बराबर मतलब माना जाता है) हम में कटौती का प्रयोग करेंगे।पी डी पी ओ पी $P_E$$P_D$$P_O$$P_O$

याद है कि एक भाषा किसी अन्य भाषा में बहुपद समय कम करने योग्य है अगर वहाँ एक समारोह , बहुपद समय में शुमार कर सका, जैसे कि सभी शब्दों के लिए , । इस तरह की reducibility को Karp या कई-से-एक reducibility के रूप में जाना जाता है , और यदि इस तरीके से लिए reducible है, तो हम लिखकर इसे व्यक्त करते हैं । यह एनपी-पूर्णता की परिभाषा में एक केंद्रीय अवधारणा है।एल 2 च एक्स एक्स ∈ एल 1 ⇔ च ( एक्स ) ∈ एल 2 एल 1 एल 2 एल 1 ≤ मीटर एल $L_1$$L_2$$f$$x$$x\in L_1\Leftrightarrow f(x)\in L_2$$L_1$$L_2$$L_1\le_m L_2$

दुर्भाग्य से, कई-से-एक कटौती भाषाओं के बीच जाती है और यह स्पष्ट नहीं है कि अनुकूलन समस्याओं के संदर्भ में उन्हें कैसे नियोजित किया जाए। इसलिए हमें एक अलग तरह की रिड्यूसबिलिटी, ट्यूरिंग रेड्यूसबिलिटी पर विचार करने की जरूरत है । पहले हमें इसकी आवश्यकता है:

परिभाषा: किसी समस्या के लिए एक अलंकृत एक (काल्पनिक) उप-प्रकार है जो निरंतर समय में उदाहरणों को हल कर सकता है ।$P$$P$

परिभाषा: एक समस्या बहुपद-काल है Turing-reducible to a problem , लिखित , यदि उदाहरणों को बहुपद समय में एक एल्गोरिथ्म द्वारा पहुंच के साथ हल किया जा सकता है ।पी 2 पी 1 ≤ टी पी 2 पी 1 पी $P_1$$P_2$$P_1\le_T P_2$$P_1$$P_2$

अनौपचारिक रूप से, बस के साथ के रूप में , संबंध व्यक्त किया, कि से भी अधिक कठिन है । यह भी देखना आसान है कि यदि को बहुपद समय में हल किया जा सकता है, तो । दोबारा एक सकर्मक संबंध है। निम्नलिखित तथ्य स्पष्ट है:पी 1 ≤ टी पी 2 पी 1 पी 2 पी 2 पी 1 ≤ $\le_m$$P_1\le_T P_2$$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$$\le_T$

चलो , तो ।पी डी ≤ टी पी ई ≤ टी पी $P_O\in \mathrm{NPO}$$P_D\le_T P_E\le_T P_O$

क्योंकि पूर्ण समाधान दिया गया है, इसके मूल्य की गणना करना और यह तय करना कि क्या यह बाध्य से मिलता है सरल है।$k$

परिभाषा: यदि दो समस्याओं के लिए और दोनों संबंध , होल्ड करते हैं, तो हम ; तुल्यता की हमारी धारणा ।पी 2 पी 1 ≤ टी पी 2 पी 2 ≤ पी 1 पी 1 ≡ टी पी $P_1$$P_2$$P_1\le_T P_2$$P_2\le P_1$$P_1\equiv_T P_2$

अब हम यह करने के लिए तैयार हैं कि को इसी अनुकूलन समस्या को और को पूर्णांक दिया गया है । हमें यह दिखाना होगा कि धारण करता है। हम F_ साथ को P_D के लिए बाइनरी खोज के साथ । की परिभाषा यह सुनिश्चित करती है कि कुछ बहुपद लिए , इसलिए बाइनरी खोज में चरणों की संख्या बहुपद है। $P_D\equiv_T P_E$ जेड पी ई ≤ टी पी डी ⊙ { जेड ( एक्स , वाई ) | y ∈ एफ ( एक्स ) } पी डी एन पी ओ | Z ( x , y ) | ≤ 2 क्ष ( | x | ) क्ष | x | $P_O\in \mathrm{NPO}$$Z$$P_E \le_T P_D$$\odot\{Z(x,y)\mid y\in F(x)\}$$P_D$$\mathrm{NPO}$$|Z(x, y)|\le 2^{q(|x|)}$$q$$|x|$$\Box$

एक अनुकूलन समस्या के लिए के संबंध कम स्पष्ट है। कई ठोस मामलों में, कोई भी सीधे दिखा सकता है कि । यह साबित करने के लिए कि यह आम तौर पर यहां दिए गए ढांचे के भीतर है, हमें एक अतिरिक्त धारणा की आवश्यकता है।पी ई पी डी ≡ टी पी ई ≡ टी पी $P_O$$P_E$$P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O$

पहले हमें निर्णय की समस्याओं के लिए भाषाओं के जोड़े से का विस्तार करने की आवश्यकता है। तो फिर यह देखने के लिए कि आसान है से अधिक सामान्य है ।≤ टी ≤ $\le_m$$\le_T$$\le_m$

चलो और निर्णय समस्याओं हो सकता है; उसके बाद । यह इसलिए माना जाता है क्योंकि बहुत से एक-एक कमी को बहुत ही सीमित तरीके से एक ओरेकल का उपयोग करने के रूप में व्याख्या की जा सकती है: ऑरेकल को एक बार, बहुत अंत में कहा जाता है, और इसका परिणाम भी समग्र परिणाम के रूप में वापस आ जाता है। पी ' पी ≤ मीटर पी ' ⇒ पी ≤ टी पी '$P$$P'$$P\le_m P' \Rightarrow P\le_T P'$$\Box$

अब हम समापन के लिए तैयार हैं:

बता दें कि और मान लीजिए पूर्णांक-मूल्यवान है और NP-पूर्ण है, तोपिछली टिप्पणियों के साथ यह दिखाने के लिए बना हुआ है । ऐसा करने के लिए हम जैसे । फिर हमारे पासनिर्णय और मूल्यांकन संस्करण के पहले के कारण दूसरा और तीसरा पकड़। तीसरा के एनपी- और पहले वर्णित दो तथ्यों से आता है, अर्थात् जेड पी डी पी डी ≡ टी $P_O\in \mathrm{NPO}$$Z$$P_D$पी ओ ≤ टी पी ई पी ' हे ∈ एन पी ओ पी ओ ≤ टी पी ' ई पी ओ ≤ टी पी ' ई ≤ टी पी ' डी ≤ टी पी डी ≤ टी पी ई

$$P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O.$$ $P_O\le_T P_E$$P_O'\in \mathrm{NPO}$$P_O\le_T P_E'$ $$P_O\le_T P_E' \le_T P_D'\le_T P_D\le_T P_E.$$ ≤ टी पी डी पी ओ ∈ एन पी ओ ⇒ पी डी ∈ एन पी पी ≤ मीटर पी ' हे ⇒ पी ≤ टी पी ' $\le_T$$\le_T$$P_D$$P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$ और ।$P\le_m P_O' \Rightarrow P\le_T P_O'$

अब विवरण: मान लें कि के व्यवहार्य समाधान कुल आदेश से लैस एक वर्णमाला का उपयोग करके एन्कोड हैं । चलो से शब्द हो आम लंबाई के साथ शब्दों के ब्लॉक के भीतर लंबाई और कोषगत क्रम nondecreasing के क्रम में सूचीबद्ध। (इस प्रकार खाली शब्द है।) सभी let अद्वितीय पूर्णांक निरूपित करता है जैसे कि । दोनों और गणना बहुपद समय में की जा सकती है। मान लीजिए कि एक बहुपद है, जो कि सभी Σ $P_O$$\Sigma$Σ * डब्ल्यू 0 वाई ∈ Σ * σ ( y ) मैं y = डब्ल्यू मैं σ σ - 1 क्ष एक्स ∈ एक्स वाई ∈ एफ ( एक्स ) σ ( y ) < 2 क्ष ( | x |$w_0, w_1, \ldots$$\Sigma^*$$w_0$$y\in\Sigma^*$$\sigma(y)$$i$$y=w_i$$\sigma$$\sigma^{-1}$$q$$x\in X$और सभी हमारे पास ।$y\in F(x)$$\sigma(y)<2^{q(|x|)}$

अब समस्या संशोधित उद्देश्य फ़ंक्शन को छोड़कर समान है । के लिए और हम ले । बहुपदीय समय में इस प्रकार । पीओजेड'एक्स∈एक्सवाई∈एफ(एक्स)जेड'(एक्स,वाई)=2क्ष(|x|)⋅जेड(एक्स,वाई)+σ(y)जेड'पी ' हे ∈एनपी$P_O'$$P_O$$Z'$$x\in X$$y\in F(x)$$Z'(x, y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$$Z'$$P_O'\in \mathrm{NPO}$

यह दिखाने के लिए कि हम देखते हैं कि लिए संभव है, यदि और केवल तभी यह लिए संभव है ।हम मान सकते हैं कि यह मामला है, क्योंकि विपरीत मामले को संभालने के लिए तुच्छ है। एक्स पी ओ पी ' $P_O\le_T P_E'$$x$$P_O$$P_E'$

की substituion के लिए अर्थ में monotonic है कि सभी के लिए , अगर तो । इसका मतलब है कि के लिए हर इष्टतम समाधान में का एक इष्टतम समाधान है में । इस प्रकार हमारा कार्य में के एक इष्टतम समाधान की गणना को कम करता है । जेड y 1 , y 2 ∈ एफ $Z'$$Z$जेड ( एक्स , वाई 1 ) < जेड ( एक्स , वाई 2 ) जेड ' ( x , y 1 ) < जेड ' ( एक्स , वाई 2 ) x पी ' हे एक्स पी ओ y x पी ' $y_1, y_2\in F(x)$$Z(x, y_1)<Z(x, y_2)$$Z'(x, y_1)<Z'(x, y_2)$$x$$P_O'$$x$$P_O$$y$$x$$P_O'$

लिए oracle को हम का मान प्राप्त कर सकते हैं । इस संख्या के शेष भाग का गठन करते हुए modulo yields जिसमें से गणना बहुपद समय में की जा सकती है। जेड ' ( एक्स , वाई ) = 2 क्ष ( | x | ) ⋅ जेड ( एक्स , वाई ) + σ ( y ) 2 क्ष ( | x $P_E'$$Z'(x,y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ σ(y)$2^{q(|x|)}$$\sigma(y)$$y$

Comments

"एक समस्या के लिए एक ओ P एक एक (काल्पनिक) सबरूटीन है जो निरंतर समय में पी के उदाहरणों को हल कर सकता है।" एक ओरेकल केवल निरंतर समय लेना चाहिए?

— टिम

@ निश्चित रूप से किताबें हैं, मैंने कुछ अन्य उत्तर

— uli

ओरेकल के बारे में @Tim: आप मिला है, तो / कमी की कल्पना की दोनों समस्याओं के बीच और आप है कम के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म खोजने की समस्या के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म पाने के लिए । या दूसरे शब्दों में कटौती आपको बताती है कि को हल करने के लिए आप उपयोग कर सकते हैं । यह लिए एल्गोरिथ्म में लिए एक सबरूटीन का उपयोग करने जैसा है । हालाँकि समस्याएं औरए बी ए बी ए बी बी ए ए $A\le_T B$$A$$B$$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$B$अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जहाँ हम कुशल समाधान नहीं जानते हैं। और ट्यूरिंग-रिड्यूसबिलिटी के मामले में हम इसका उपयोग उन मामलों में भी करते हैं जहां शामिल समस्याएं बिल्कुल भी नहीं हैं।

— औली

@ इस प्रकार एक अज्ञात सबरूटीन है। यह जटिलता सिद्धांत में एक कस्टम के लिए काल्पनिक एल्गोरिथ्म कॉल करने के लिए बन गया है एक के रूप में कमी से प्राप्त ओरेकल के साथ एल्गोरिथ्म । के लिए अज्ञात सबरूटीन कॉलिंग दैवज्ञ बस को व्यक्त करता है कि हम के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म खोजने के लिए आशा नहीं कर सकते बस के रूप में हम के लिए एक दैवज्ञ प्राप्त करने के लिए आशा है कि नहीं कर सकते । यह विकल्प कुछ दुर्भाग्यपूर्ण है, क्योंकि यह एक जादुई क्षमता को दर्शाता है। ओरेकल के लिए लागत होनी चाहिएसबरूटीन के रूप में इनपुट को पढ़ने के लिए कम से कम है । A B B B B | x | $B$$A$$B$$B$$B$$B$$|x|$$x$

— औली

चारों ओर एक उत्कृष्ट उत्तर; केवल एक चीज जो मैं जोड़ूंगा (अब एक और प्रश्न के माध्यम से यह आ रहा है) यह है कि 'अनुकूलन दिशा' जटिलता की एक अनावश्यक बिट है और संक्षिप्तता के लिए हम हमेशा मान सकते हैं कि उद्देश्य फ़ंक्शन को अधिकतम किया जाना है; यदि इरादा कम से कम करना है, तो हम बस एक नए उद्देश्य समारोह को परिभाषित कर सकते हैं और के अधिकतमकरण के रूप में सभी न्यूनतम को फिर से लिख सकते हैं ।जेड ' = - जेड जेड जेड $Z$$Z'=-Z$$Z$$Z'$

— स्टीवन स्टडनिक

Answer 2

जैसा कि टिप्पणियां कहती हैं, उत्तर सटीक परिभाषाओं पर निर्भर करता है। मुझे बहुत बेसिक (यहां तक ​​कि भोले) तरीके से प्रश्न की व्याख्या करने दें।

चलो कुछ संबंध, यह है कि हो सकता है ।एस ⊆ { ( एक , ख ) | एक , ख ∈ Σ *$S$$S \subseteq \{ (a,b) \mid a,b \in \Sigma^*\}$

अब हम लिए एक खोज समस्या को परिभाषित करते हैं :$S$

दिए गए , एक ऐसा खोजें जो ।ख ( एक , ख ) ∈ $a$$b$$(a,b) \in S$

और लिए एक निर्णय समस्या :$S$

दिए गए उत्तर देते हैं या नहीं या नहीं ।( एक , ख ) ∈ $(a,b)$$(a,b) \in S$

_{(उदाहरण के लिए, प्रश्न में दिए गए उदाहरण में, सभी जोड़े ऐसे पकड़ लेगा कि और बीच एक पथ मौजूद है जो से छोटा है ।)( यू , वी , के ) यू वी $S$$(u,v,k)$$u$$v$$k$}

ध्यान दें कि इन दो समस्याओं को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है । इस परिभाषा के लिए , हम पूछ सकते हैं कि क्या दोनों समस्याएं किसी भी लिए "समकक्ष" हैं । "समतुल्य" में मेरा मतलब है कि यदि उनमें से एक संगणनीय है (अर्थात, एक एल्गोरिथ्म मौजूद है जो इसे हल करता है) तो अन्य की तुलना में भी गणना योग्य है। सामान्य तौर पर, वे नहीं हैं।$S$

दावा 1 : निर्णय का अर्थ है खोज ।

प्रमाण: एल्गोरिथ्म है जो की निर्णय समस्या को हल करता है । इनपुट को देखते हुए , हम किसी भी लिए चला सकते हैं , एक के बाद एक, या समानांतर में। अगर वहाँ मौजूद ऐसा है कि , हम अंततः इसे पा लेंगे। यदि नहीं, तो एल्गोरिथ्म रोक नहीं सकता है । एस एक डी एस ( एक , एक्स ) एक्स ∈ Σ * ख ( एक , ख ) ∈ एस $D_S$$S$$a$$D_S(a,x)$$x\in \Sigma^*$$b$$(a,b)\in S$$^\dagger$

का दावा 2 : खोज करता है नहीं मतलब निर्णय ।

इसका कारण यह है कि खोज एल्गोरिथ्म एक अलग वापस कर सकता है जिसकी हमें ज़रूरत है। यही है, हर लिए कुछ ऐसा है जिसे खोजना बहुत आसान है, लेकिन अन्य जो नहीं है। उदाहरण के लिए, को कुछ अनिर्दिष्ट भाषा होने दें , फिर परिभाषित प्रत्येक लिए खोज एल्गोरिदम वापस आ सकता है । लेकिन कोई निर्णय एल्गोरिथ्म सही ढंग से जवाब कर सकते हैं कि क्या , के लिए सभी जोड़े । यदि ऐसा हो सकता है, तो यह एक अनिर्णायक समस्या का निर्णय ले सकता है, जो असंभव है।एक ख ख ' एल एस = { ( x , 0 ) | एक्स ∈ Σ * } ∪ { ( x , 1 ) | एक्स ∈ एल } । एक्स 0 ( एक्स , 1 ) ∈ एस ( एक्स , 1 $b$$a$$b$$b'$$L$

$$S = \{ (x,0) \mid x\in \Sigma^*\} \cup \{ (x,1) \mid x \in L\}.$$ $x$$0$$(x,1) \in S$$(x,1)$

एस $^\dagger$ यह पर निर्भर करता है । यदि, उदाहरण के लिए, बाध्य है, तो एक एल्गोरिथ्म मौजूद हो सकता है जो बंद हो जाता है।$S$$S$

Comments

सही निर्णय समस्या st का अस्तित्व है । ⟨ एक , ख ⟩ ∈ $b$$\langle a,b \rangle \in S$

— केवह

यदि निर्णय को के अस्तित्व के रूप में परिभाषित किया जाता है , तो खोज का अर्थ है निर्णय। $b$

— रैन जी।

एक कमजोर अर्थ में, iewrt संगणना लेकिन जटिलता नहीं एक अधिक नाजुक मुद्दा है।

— केवह