काल्पनिक जड़ों के साथ विशेषता बहुपद के माध्यम से पुनरावृत्ति को हल करना

एल्गोरिथ्म विश्लेषण में आपको अक्सर पुनरावृत्ति को हल करना होगा। मास्टर प्रमेय, प्रतिस्थापन और पुनरावृत्ति विधियों के अलावा, एक विशेषता बहुपद का उपयोग कर रहा है ।

मान लें कि मैंने निष्कर्ष निकाला है कि एक विशिष्ट बहुपद की काल्पनिक जड़ें हैं, अर्थात् और । तब मैं उपयोग नहीं कर सकता $x^2 - 2x + 2$ $x_1 = 1+i$ $x_2 =1-i$

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

समाधान प्राप्त करने के लिए, है ना? मुझे इस मामले में कैसे आगे बढ़ना चाहिए?

algorithms algorithm-analysis recurrence-relation

— Koray
स्रोत

स्वागत हे! ध्यान दें कि आप LaTeX का उपयोग कर सकते हैं $...$ ।

— राफेल

मैं उलझन में हूं। मुझे यकीन है कि आप वर्णवादी बहुपद का उपयोग करने की विधि का मतलब है , समीकरण नहीं। क्या है

j

$j$ ? आपके द्वारा दिए गए समीकरण के समाधान काल्पनिक नहीं हैं, लेकिन केवल तर्कहीन हैं। आप "बहुपद [लागू करें]" से क्या मतलब है?

— राफेल

उन्होंने भौतिक विज्ञानी की गलत वर्तनी की आदत को अपनाया है

i

$i$ ।

— जेफ ई

बेशक, आप वास्तव में कर सकते हैं। सबसे पहले, समाधान पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है। दूसरा, समाधान स्थान आयाम 2 का है।

— स्ट्रिन

हां, समाधान वास्तव में है $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ कुछ स्थिरांक के लिए $\alpha$ तथा $\beta$ आधार मामलों द्वारा निर्धारित। यदि आधार मामले वास्तविक हैं, तो (प्रेरण द्वारा) सभी जटिल शब्दों में $T(n)$ सभी पूर्णांक के लिए रद्द कर देगा $n$ ।

उदाहरण के लिए, पुनरावृत्ति पर विचार करें $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$ आधार मामलों के साथ $T(0)=0$ तथा $T(1)=2$ । इस पुनरावृत्ति की विशेषता बहुपद है $x^2-2x+2$ , तो समाधान है $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ कुछ स्थिरांक के लिए $\alpha$ तथा $\beta$ । बेस मामलों में प्लगिंग हमें देता है

टी (0) = α (1 + मैं)^{0} + β (1 - मैं)^{0} = α + β = 0 टी (1) = α (1 + मैं)^{1} + β (1 - मैं)^{1} = (α + β) + (α - β) मैं = 2

$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$ जो ये दर्शाता हे

α + β = 0 α - β = - 2 मैं

$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$ जो ये दर्शाता हे

α = - i

$\alpha = -i$ तथा

β = i

$\beta = i$ । तो समाधान है

T (n) = i \cdot ((1 - i)^{n} - (1 + i)^{n}) .

$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$

यह कार्य बीच में दोलन करता है $\sqrt{2}^n$ तथा $-\sqrt{2}^n$ 4. "अवधि" के साथ 4. विशेष रूप से, हमारे पास है $T(4n) = 0$ सबके लिए $n$ , चूंकि $(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$ (और क्योंकि मैंने बेस केस चुना है $T(0)$ सावधानी से)।

— JeffE
स्रोत

मुझे याद है कि विशेषता बहुपद की काल्पनिक जड़ें हैं (जो कि, अगर मुझे सही से याद है, तो सीक्वेंस जेनरेटिंग फंक्शन का दबदबा विलक्षणता है) कहीं न कहीं नकारात्मक तत्व हैं। क्या यह सच है? यदि हां, तो यह कहना सुरक्षित है कि आपको एल्गोरिथम विश्लेषण में इस मामले का सामना नहीं करना चाहिए।

— राफेल

जरुरी नहीं। यदि विशेषता फ़ंक्शन की जड़ें हैं

2

$2$ ,

1 + i

$1+i$ , तथा

1 - i

$1-i$ , उदाहरण के लिए, समारोह चारों ओर दोलन करेगा

α 2^{n}

$\alpha 2^n$ कुछ के लिए

α

$\alpha$ , लेकिन (उचित आधार मामलों के साथ) यह हमेशा सकारात्मक रहेगा।

— जेफ़ई