NP- पूर्ण समस्या हाँ-उदाहरणों के बहुपद संख्या के साथ?

Question

मैं धारणा है कि हर एन पी-सम्पूर्ण समस्या के लिए, असीम कई इनपुट के लिए आकार है , आकार के सभी संभव आदानों से अधिक हाँ-उदाहरणों की संख्या , है (कम से कम) में घातीय ।$n$$n$$n$

क्या ये सच है? यह साबित हो सकता है (शायद केवल इस धारणा के तहत कि )? या हम, शायद कृत्रिम रूप से, एक समस्या का पता लगा सकते हैं जहां सभी (बड़े पर्याप्त) , हाँ-उदाहरणों की संख्या में बहुपद है ?$P\neq NP$$n$$n$

मेरा तर्क मूल रूप से है कि 3-सैट के लिए हां-इंस्टेंस दिया गया है, हम प्रत्येक क्लॉज में शाब्दिक की पहचान कर सकते हैं जो इसे सही बनाता है और क्लॉज में एक और वेरिएबल को दूसरे वेरिएबल से बदल देता है, बिना यह बदले कि यह संतोषजनक हो। चूंकि हम ऐसा कर सकते हैं, इसलिए प्रत्येक खंड के साथ, यह हां-इंस्टेंस की एक घातीय संख्या की ओर जाता है। वही कई अन्य समस्याओं जैसे हैमिल्टनियन पथ के लिए है: हम स्वतंत्र रूप से किनारों को बदल सकते हैं जो पथ पर नहीं हैं। मैं तब स्पष्ट रूप से तर्क देता हूं कि चूंकि रिड्यूसबिलिटी शामिल है, जहां किसी तरह से समाधान रखा जाना चाहिए, यह सभी एनपी-पूर्ण समस्याओं के लिए पकड़ होना चाहिए।

ऐसा लगता है कि ग्राफ आइसोमोर्फिज्म की शायद एनपी-मध्यवर्ती समस्या (जहां हम मानचित्रण को जानते हैं, दोनों ग्राफ में समान परिवर्तन लागू कर सकते हैं)। मुझे आश्चर्य है कि यह पूर्णांक फैक्टराइजेशन के लिए भी है।

Answer 1

केवल बहुपद वाली कई हाँ-उदाहरणों वाली भाषा को विरल कहा जाता है । महाने की प्रमेय में कहा गया है कि यदि कोई एनपी-पूर्ण भाषा विरल है, तो पी = एनपी। चूँकि ज्यादातर लोग उम्मीद करते हैं कि P NP, यह संभावना नहीं लगती है कि केवल NPyn- पूरी भाषा में बहुपद के साथ कई हाँ-इंस्टेंस मौजूद हैं।$\ne$

यह एक अलग सवाल है कि हां-इंस्टेंस की संख्या घातीय है या नहीं। (कोई कल्पना कर सकता है कि हाँ-इंस्टेंसेस की संख्या बहुपद से कम हो सकती है लेकिन कम घातीय हो सकती है।) बर्मन-हार्टमैनिस अनुमान यहां प्रासंगिक है; इसका तात्पर्य यह है कि सभी एनपी-पूर्ण समस्याओं के घातीय रूप से कई हां-उदाहरण हैं। अनुमान एक खुली समस्या बनी हुई है।