ट्यूरिंग मशीन + समय का फैलाव = हल करने की समस्या का समाधान?

Question

वहाँ सापेक्ष स्थानिकताएँ हैं (उदाहरण MH spacetimes; हॉगर्थ 1994 देखें) जहाँ अनंत अवधि की एक विश्व रेखा को परिमित प्रेक्षक के अतीत में समाहित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि एक सामान्य पर्यवेक्षक के पास गणना चरणों की अनंत संख्या तक पहुंच हो सकती है।

यह मानते हुए कि एक कंप्यूटर के लिए पूरी तरह से समय की अनंत लंबाई के लिए कार्य करना संभव है (और मुझे पता है कि यह एक बड़ा सवाल है): कोई एक कंप्यूटर एचएम का निर्माण कर सकता है जो इस अनंत दुनिया के साथ यात्रा करता है, एक दिए गए एम के लिए हॉल्टिंग समस्या की गणना करता है। , HM परिमित प्रेक्षक को संकेत भेजता है। यदि अनंत चरणों के बाद पर्यवेक्षक को संकेत नहीं मिलता है, तो पर्यवेक्षक जानता है कि एम लूप्स, रुकने की समस्या को हल कर रहा है।

अब तक, यह मुझे ठीक लगता है। मेरा सवाल यह है: अगर मैंने जो अभी तक कहा है वह सही है, तो इससे ट्यूरिंग के प्रमाण में कैसे परिवर्तन होता है कि हॉल्टिंग समस्या अनिर्दिष्ट है? क्यों उसका प्रमाण इन स्पेसिकाइम में फेल हो जाता है ?

Comments

शायद प्रासंगिक: researchgate.net/publication/… ।

— मार्टीन-ब्लास पेरेज़ पिनिला

क्या अनंत अवधि के पर्यवेक्षक के पास अनंत गणना चरणों को पूरा करने के लिए अनंत ऊर्जा तक पहुंच होगी? (वैकल्पिक रूप से, एक समस्या निवारण परीक्षक को प्रतिवर्ती रूप से तैयार किया जा सकता है? मुझे ऐसा नहीं लगता)

— user253751

निश्चित रूप से प्रासंगिक: chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/infinity.html

— जूल्स

@ मिनीबिस: हाँ, यह करता है! मैंने कॉलेज में इसका अध्ययन किया।

— जोशुआ

ध्यान दें कि यह एक सामान्य गलत धारणा है कि ट्यूरिंग मशीन जो "लूप" को रोकती नहीं है। इसका तात्पर्य एक प्रकार की बार-बार की स्थिति, या एक ही चीज़ को बार-बार करने से है। वास्तव में हम निर्णायक रूप से बता सकते हैं कि क्या किसी मशीन के पास यह व्यवहार है या दिया गया है या नहीं यह दोनों में से एक करता है। परेशान करने वाली मशीनें जो हमें गड़बड़ करती हैं, वे लूपिंग नहीं हैं, बल्कि नियमित रूप से सभी अर्थों को धता बताते हुए लगभग यादृच्छिक पैटर्न में बंद हो जाती हैं।

— 19

Answer 1

ध्यान दें कि ट्यूरिंग का प्रमाण गणित का नहीं, भौतिकी का है। ट्यूरिंग मशीन के मॉडल के भीतर ट्यूरिंग को परिभाषित किया गया है, हॉल्टिंग समस्या की अनिर्वायता साबित हुई है और यह एक गणितीय तथ्य है। इसलिए, ट्यूरिंग का प्रमाण स्पेसकाइमों में 'विफल' नहीं होगा, यह बस हॉल्टिंग समस्या और समय के प्रसार के संबंध के बारे में कुछ भी साबित नहीं करेगा।

हालाँकि, आप जो जानना चाहते हैं वह यह है कि क्या 'टाइम डिलिंग ट्यूरिंग मशीन' हॉल्टिंग की समस्या को हल कर सकती है।

यदि आप ट्यूरिंग मशीन पर 'टाइम डिलेशन' के प्रभाव का अध्ययन करना चाहते हैं, तो आपको एक औपचारिक मॉडल निर्दिष्ट करना होगा जिसके द्वारा हम औपचारिक रूप से समझ सकें कि ट्यूरिंग मशीन के लिए समय के फैलाव का उपयोग करने का क्या अर्थ है। दुर्भाग्य से, यह प्रारूप इस तरह के एक औपचारिक मॉडल प्रदान करने के लिए बीमार है (जब तक कि किसी और ने इसके बारे में एक कागज नहीं लिखा है) क्योंकि मॉडल बनाना बहुत व्यापक है।

हालाँकि, यह संभावना नहीं है कि कुछ औपचारिकता वास्तव में हॉल्टिंग समस्या को हल करने में सक्षम है। स्कॉट आरोनसन, मोहम्मद बवेरियन और गिउलिओ गुइल्ट्रिनी का यह पत्र इस धारणा के तहत कम्प्यूटेशनल मॉडल देखता है कि तथाकथित क्लोज्ड-टाइम लूप मौजूद हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि हॉल्टिंग समस्या वास्तव में इस मॉडल के भीतर कम्प्यूटेशनल है।

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शायद यह भी उपयोगी है कि तुरंग मशीन के रूप में एक "हाइपर-ट्यूरिंग-मशीन" की औपचारिकता जो एक सीमित समय में कई अनंत चरण कर सकती है, वास्तव में एक सामान्य औपचारिकता है। आपको वहां बहुत सारी उपयोगी सामग्री मिल सकती है।

— Cort Ammon - मोनिका

Answer 2

ट्यूरिंग मशीन कम्प्यूटेशन का एक औपचारिक गणितीय मॉडल है, यह किसी भी भौतिक सीमाओं का जवाब नहीं देता है और सापेक्ष प्रभावों के बारे में परवाह नहीं करता है। इसका मतलब यह है कि ट्यूरिंग का प्रमाण विफल नहीं होता है, क्योंकि ट्यूरिंग मशीन की मानक परिभाषा में "स्पेसटाइम" की धारणा भी नहीं होती है।

आप जो कोशिश और कर सकते हैं, वह सापेक्षता से प्रेरित गणना के एक अलग मॉडल को परिभाषित करना है। फिर, यह केवल एक औपचारिक वस्तु होगी, और यह सवाल कि क्या यह हल करने की समस्या को हल कर सकता है या नहीं कर सकता है, गणित के दायरे से संबंधित है और आपकी विशिष्ट परिभाषा पर निर्भर करता है। हालाँकि, अब सही सवाल यह है कि क्या यह नया मॉडल वास्तव में सापेक्ष प्रभावों को सही ढंग से पकड़ता है, अर्थात क्या यह वास्तव में हमारे भौतिकी को दर्शाता है और इसे हमारी दुनिया में लागू किया जा सकता है?

आप क्वांटम गणना के संबंध में ऐसी चर्चा देख सकते हैं। हमारे पास "क्वांटम ट्यूरिंग मशीन" की एक औपचारिक परिभाषा है, और उनकी सटीक कम्प्यूटेशनल शक्ति गणित में एक खुली समस्या बनी हुई है (हालांकि हॉल्टिंग समस्या के करीब भी नहीं है)। फिर भी, आप यह तर्क दे सकते हैं कि यह परिभाषा वास्तव में क्वांटम भौतिकी की हमारी समझ को नहीं दर्शाती है, और एक बेहतर की आवश्यकता है। ऐसे तर्क हैं जो बताते हैं कि ऐसी मशीनों का निर्माण भी नहीं किया जा सकता है, इसलिए उनकी सटीक शक्ति का चर्च (ट्यूरिंग) के ट्यूरिंग पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

अपने सवाल पर वापस। एक अनंत समय ट्यूरिंग मशीन की एक औपचारिक धारणा है , लेकिन इसके लिए चर्च-ट्यूरिंग थीसिस पर किसी भी तरह का प्रभाव डालने के लिए आपको अभ्यास में मौजूद रहने की आवश्यकता है। आपको स्कॉट के पेपर में दिलचस्पी हो सकती है , जिसमें सापेक्षतावादी प्रभावों का उपयोग करने वाले संगणनाओं के बारे में एक खंड है, हालांकि ऐसा लगता है कि भोले तर्क निराशाजनक हैं (इस अर्थ में कि वे अव्यावहारिक हैं, क्योंकि समय लागत ऊर्जा लागत द्वारा प्रतिस्थापित होती है)।

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पुन। "... चर्च-ट्यूरिंग थीसिस पर इसका कोई प्रभाव न पड़े इसके लिए आपको अभ्यास में मौजूद रहने की आवश्यकता है।" - ट्यूरिंग मशीन भी आदर्शित मशीनें नहीं हैं जो व्यवहार में मौजूद नहीं हो सकती हैं?

— डेसी

वास्तव में, यह केवल "कंप्यूटिंग मशीन" के बारे में हमारे अंतर्ज्ञान को दर्शाता है (या कम से कम प्रयास)। यही कारण है कि चर्च-ट्यूरिंग थीसिस एक थीसिस है, न कि गणितीय प्रमेय। यह केवल अनौपचारिक रूप से दावा करता है कि ट्यूरिंग मशीनें सही कम्प्यूटेशनल शक्ति पर कब्जा करती हैं जो हमारी दुनिया में मौजूद हैं।

— एरियल

मेरा कहना है: क्यों एक अनंत समय ट्यूरिंग मशीन का अस्तित्व में होना चाहिए इसके लिए सीटीटी पर कोई प्रभाव पड़ता है, जब मानक ट्यूरिंग मशीन अभ्यास में मौजूद नहीं होती हैं?

— डेसी

चर्च-ट्यूरिंग थीसिस का एक सूत्र निम्नलिखित है: हमारी दुनिया में साकार होने वाले हर संभव कम्प्यूटेशनल मॉडल में ट्यूरिंग मशीन की शक्ति से अधिक नहीं है। थीसिस खुद को कुछ जमीन मॉडल (अर्थात् ट्यूरिंग मशीन) के सापेक्ष परिभाषित किया गया है।

— एरियल

मैंने एक अनुवर्ती प्रश्न पूछा क्योंकि पोस्ट की गई स्लाइड्स पर जाने के बाद भी मैं वास्तव में इस दावे को नहीं समझता हूं कि एक व्यावहारिक क्वांटम ट्यूरिंग मशीन का निर्माण नहीं किया जा सकता है। (इस टिप्पणी को पोस्ट करने के लिए 2 बार, अब CS.SE के बजाय QC.SE को इंगित करता है)

— BurnsBA

Answer 3

ट्यूरिंग के प्रमाण से पता चलता है कि कोई भी ट्यूरिंग मशीन हल करने की समस्या को हल नहीं कर सकती है चाहे आप उसे कितना भी समय दें। यदि आपके स्पेसशिप ने कंप्यूटर को काम करने के लिए एक अरब साल देने के लिए समय फैलाव का उपयोग किया है, तो यह अभी भी आपको "अभी तक नहीं" की तुलना में अधिक निश्चित रूप से कुछ बताने में सक्षम नहीं हो सकता है।

जाहिरा तौर पर, (धन्यवाद, @DiscreteLizard!) यदि आपके पास समय यात्रा है जो विरोधाभासों का कारण नहीं बन सकता है, तो आप एक समय लूप सेट कर सकते हैं जो एक विरोधाभास का कारण होगा यदि कंप्यूटर साबित नहीं कर सकता है कि ट्यूरिंग मशीन रुकती है या नहीं। या तो यह भविष्य से उत्तर प्राप्त करता है और इसे अपने आप में वापस प्रसारित करता है, या यह हमेशा के लिए चलता है (और, चतुराई से, एक क्वांटम सुपरपोजिशन देता है जो एक स्थिर समय लूप को हल करता है)। लेकिन, इससे पहले कि आप यह कोशिश करें, यह सुनिश्चित कर लें कि समय-यात्रा विरोधाभास पैदा करना सुरक्षित है।

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"सार्थक उत्तर के लिए अभी तक अपर्याप्त डेटा है।"

— राबर्ट कोलंबिया

ध्यान दें कि मुख्य कारण है कि मैंने ट्यूरिंग मशीनों को बंद समय की तरह लूप के तहत उल्लेख किया है कि ट्यूरिंग मशीन मॉडल के कुछ 'भौतिक संशोधन' मौजूद हैं जैसे कि मशीन द्वारा हॉल्टिंग समस्या की गणना की जाती है। ऐसा लगता है कि अन्य लोग मेरे से अधिक समय के फैलाव के बारे में जानते हैं, लेकिन यह उदाहरण मुझे ऐसे दावे करने में कम से कम हिचकिचाहट देता है जब तक कि समय के फैलाव की औपचारिकता नहीं दी जाती है।

— छिपकली

@Discretelizard चर्चा के लिए एक महान योगदान था। मुझे यकीन नहीं है कि मैं ओपी के इरादे को पूरी तरह से समझता हूं, लेकिन आधुनिक भौतिक विज्ञान में सापेक्षतावादी समय का फैलाव एक वास्तविक अवधारणा है, और मैंने इस धारणा पर जवाब दिया कि वह शब्द की मानक परिभाषा का उपयोग कर रहा था।

— डेविसलर

@Davislor के पाठ्यक्रम समय के फैलाव को भौतिकी के भीतर अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है । ट्यूरिंग मशीन एक गणितीय वस्तु है। जहां तक ​​मुझे जानकारी है, हम दोनों को मिलाने के लिए सबसे अच्छा है कि ट्यूरिंग मशीन का 'भौतिक सादृश्य' बनाया जाए और औपचारिक रूप से यह दिखाया जाए कि यह समय के फैलाव के साथ कैसे इंटरैक्ट करता है। यह (एक उदाहरण है) 'औपचारिकता' से मेरा क्या अभिप्राय है। मुझे नहीं लगता कि इसे औपचारिक रूप देने का कोई अनूठा तरीका है और परिणाम भिन्न हो सकते हैं, इसलिए इसके बारे में कुछ भी कहने में मेरी हिचकिचाहट है।

— छिपकली

उस ने कहा, यह संभव हो सकता है कि जवाब किसी भी उचित औपचारिकता के लिए 'नहीं' है, लेकिन ऐसा दावा कम से कम मेरी विशेषज्ञता से परे है ।

— छिपकली

Answer 4

आपत्ति यह है कि आपने एक ऐसी प्रक्रिया को परिभाषित किया है जो एक कॉम्पैक्ट क्षेत्र में अनंत एन्ट्रापी का उत्पादन कर सकती है और ऐसा प्रेक्षक के अतीत के एक परिमित खंड में ऐसा प्रतीत होता है। इसका मतलब है कुछ चीजें

• कॉम्पैक्ट क्षेत्र में कम्प्यूटेशनल एन्ट्रापी बेकनस्टीन से अधिक हैएन्ट्रापी (जो बाध्य क्षेत्र के सतह क्षेत्र के लिए आनुपातिक है) पर बाध्य है, इसलिए यह एक ब्लैक होल (तुरन्त) में ढह जाता है और कोई संकेत कभी भी इसके आंतरिक भाग से आप तक नहीं पहुँच सकता है। (केर मेट्रिक एक एमएच स्पेसटाइम का वर्णन करता है। अनंत प्रक्रिया को केवल प्रेक्षक के आंतरिक घटना क्षितिज में गुजरने के रूप में पूरा करने के लिए मनाया जाता है। इस तरह के पास के भौतिकी के बारे में मौजूदा अनिश्चितता की उपेक्षा, कोई दूरस्थ पर्यवेक्षक कभी भी गणना के परिणाम तक नहीं पहुंच सकता है। - केवल एक पर्यवेक्षक जो ब्लैक होल में गायब हो गया है, उसका परिणाम है। यह एक उपयोगी प्रक्रिया का वर्णन नहीं है। परोपकार के लिए: "हमारे पास एक ऐसा आभूषण है जो किसी भी प्रश्न का सही उत्तर देता है जो आप ऐसे समय में लगातार पूछते हैं। एक तरीका है कि इसका उत्तर केवल एक पल में मौजूद होता है, इसे ब्लैक होल में प्रवाहित करके नष्ट कर दिया जाता है। "
• ट्यूरिंग मशीन हर बार एक टेप पर एक प्रतीक को अधिलेखित करने वाली जानकारी को नष्ट कर देती है, इसलिए लैंडॉउर के सिद्धांत द्वारा , एक अनंत संसार पर एक परिमित संगणना को एक परिमित खंड में संकुचित कर दिया जाता है, जो अवलोकन के पिछले प्रकाश शंकु में अनंत शक्ति और उत्सर्जन की आवश्यकता के लिए मनाया जाना चाहिए। असीम गर्मी के दौरान अनंत समय इसे संचालित करने के लिए मनाया जाता है। यही है, चूंकि परिमित समय में एक रुकावट प्राप्त की जाती है, यह बाहरी पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से तुरंत प्राप्त की जाती है, इसलिए सभी बिजली तुरंत खपत होती है और सभी गर्मी तुरन्त विकसित होती है। वैकल्पिक रूप से, यदि संगणना रुकती नहीं है, तो कॉम्पैक्ट क्षेत्र लगातार अनंत शक्ति का उपभोग करता है और अनंत ऊष्मा उत्सर्जित करता है। शुद्ध परिणाम: एक ब्लैक होल, फिर से।
• वैकल्पिक रूप से, Landauer सिद्धांत पर लागू नहीं होता प्रतिवर्ती कंप्यूटिंग और वहाँ रहे हैं ( सार्वभौमिक ) प्रतिवर्ती ट्यूरिंग मशीन । हालांकि, ऐसी ट्यूरिंग मशीन को संभावित कम्प्यूटेशनल राज्यों के पूरे स्थान का प्रतिनिधित्व करने की क्षमता की आवश्यकता होती है, जो कि उपयोग किए गए टेप की मात्रा के आकार में घातीय है, इसलिए जल्दी से बकेनस्टीन बाउंड में भाग लेता है। हम अंत में केवल बंधे-लंबाई वाले टेपों तक सीमित करके गर्मी की समस्या से बचने में सक्षम हैं। समान रूप से, हमारे पास उस क्षेत्र की सतह क्षेत्र द्वारा नियंत्रित प्रयोज्य टेप लंबाई पर एक ऊपरी बाध्य है जिसमें एक अनंत विश्वरेखा है। यदि आप इसके लिए जिम्मेदार नहीं हैं और आपकी गणना बहुत अधिक टेप का उपयोग करती है, तो आपको फिर से एक ब्लैक होल मिलता है।

यह एक दिलचस्प सवाल है कि ये बाधाएं क्वांटम कंप्यूटरों पर लागू होती हैं या नहीं। यह अच्छी तरह से हो सकता है कि एक क्वांटम कंप्यूटर द्वारा निष्पादित कम्प्यूटेशन की जटिलता कंप्यूटर के सतह क्षेत्र द्वारा सीमित है। इसलिए हमें एक और अधिक मात्रा में संगणना की मात्रा प्राप्त करने के लिए एक चरम क्वांटम कंप्यूटर के सतह क्षेत्र को दोगुना करना पड़ सकता है। यह जल्दी से अव्यवस्थित रूप से बड़े कंप्यूटरों की ओर जाता है।

Answer 5

बैंग्स, क्रंच, व्हिम्पर्स और श्रीअक्स के उद्धरण:

$\pi$

$(\exists x_1)(\exists x_2)\dots(\exists x_n)F(x_l,x_2,\dots,x_n)$$\gamma_1$$n$$\gamma_1$इन मजदूरों से अभिकथन के सत्य मूल्य का पता चलता है। लेकिन जैसे ही मिश्रित क्वांटिफायर शामिल होते हैं, विधि विफल हो जाती है। हालांकि, हॉगर्थ (1994) ने दिखाया है कि सामान्य सापेक्षतावाद में अधिक जटिल व्यवस्था कैसे सिद्धांत रूप में इस्तेमाल की जा सकती है, जो मनमाने ढंग से परिमाणात्मक जटिलता के किसी भी अंकगणितीय दावे के सत्य मूल्य की जांच करने के लिए उपयोग की जा सकती है। इस तरह के एक स्पेसटाइम के भीतर यह देखना कठिन है कि अंकगणित में सच्चाई की स्पष्ट धारणा नहीं होने के कारण हम कैसे इस दृष्टिकोण को बनाए रख सकते हैं।